跳擴(kuò)散過程下選擇期權(quán)的定價(jià)

王心悅，李翠香，劉淑娟

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河北 石家莊 050024)

近年來，金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)迅速崛起，出于各種各樣的目的，出現(xiàn)了多種金融衍生產(chǎn)品，例如：交換期權(quán)、復(fù)合期權(quán)、重置期權(quán)、亞式期權(quán)、選擇期權(quán)等。期權(quán)定價(jià)和對(duì)沖問題也成為了金融領(lǐng)域的一個(gè)重要主題，吸引了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。Black和Scholes[1]在1973年提出了著名的Black-Scholes(BS)定價(jià)模型，模型假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r及波動(dòng)率σ為常數(shù)。但眾所周知，無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率是隨著時(shí)間變化而改變的，假設(shè)其為常數(shù),則存在著極大的局限性，并不符合實(shí)際情況。文獻(xiàn)[2]考慮了當(dāng)利率和波動(dòng)率依賴于時(shí)間時(shí)復(fù)合期權(quán)的定價(jià)問題。對(duì)于一些期限較長(zhǎng)的期權(quán)而言，假設(shè)利率是關(guān)于時(shí)間的確定函數(shù)也是不太合理的，建立隨機(jī)利率模型十分必要。李淑錦等[3]借助測(cè)度變換推導(dǎo)了在隨機(jī)利率模型下復(fù)合看漲期權(quán)和重置看漲期權(quán)的定價(jià)公式。另外，由于受到突發(fā)事件的影響，資產(chǎn)價(jià)格表現(xiàn)出跳躍的特性，在對(duì)衍生產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，一些學(xué)者考慮假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足跳擴(kuò)散模型。Peng等[4]、劉佳玥等[5]、吳桑等[6]、劉慶偉[7]分別得到了跳擴(kuò)散模型下不同期權(quán)的定價(jià)公式。

選擇期權(quán)是指在期權(quán)有效期內(nèi)的某個(gè)確定時(shí)刻，其持有者有權(quán)決定到期的是一份看漲期權(quán)還是一份看跌期權(quán)。選擇期權(quán)賦予了持有者更多的權(quán)利，能降低期權(quán)持有人的風(fēng)險(xiǎn)，它的這一特性引起了許多學(xué)者的關(guān)注。鄧國(guó)和[8]考慮了Heston模型下選擇期權(quán)的定價(jià)問題。黃國(guó)安等[9]給出了當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳擴(kuò)散模型時(shí)選擇期權(quán)的價(jià)格公式。

本文將考慮當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格服從跳擴(kuò)散過程，貼現(xiàn)債券價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)選擇期權(quán)的定價(jià)問題。期權(quán)價(jià)格是在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下到期收益期望的貼現(xiàn)值，通過構(gòu)造等價(jià)鞅測(cè)度將計(jì)算期望轉(zhuǎn)化為計(jì)算概率，同時(shí)服從跳擴(kuò)散過程的隨機(jī)變量一般不具有顯式形式的密度函數(shù)，而其特征函數(shù)容易求得，分布函數(shù)和特征函數(shù)之間具有一定關(guān)系，可以利用特征函數(shù)表示期權(quán)的價(jià)格。

1 預(yù)備知識(shí)

本文假設(shè)Q是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度,(Ω,F,{Ft}t≥0,Q)是帶域流{Ft}t≥0的概率空間，其中Ω表示樣本集，F(xiàn)t?F,{Ft}t≥0是由本文所涉及到的隨機(jī)過程所生成的。

設(shè)r(t)表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，并且是隨機(jī)的，P(t,T)為到期日為T的貼現(xiàn)債券在t時(shí)刻的價(jià)格(P(T,T)=1)，滿足以下隨機(jī)微分方程:

(1)

S(t)為標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，滿足以下隨機(jī)微分方程：

(2)

以下假設(shè)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格K和相同的到期日T。t0表示當(dāng)前時(shí)刻，Tc表示選擇時(shí)刻。c(t,S(t),T,K)和p(t,S(t),T,K)分別表示看漲期權(quán)和看跌期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格，其中0≤t0≤t≤Tc≤T。由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，選擇期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格可以表示為

其中EQ[·|Ft0]表示條件期望。

引理1 隨機(jī)微分方程(1)、(2)的解分別為

(3)

(4)

證明由It引理[10]可得結(jié)論。

(5)

將式(5)代入式(4)得到S(t)另一表達(dá)式

(6)

并且對(duì)于0≤u≤t≤T，有

證明由式(4)，對(duì)任意的t0≤u≤t≤T,

(7)

(8)

(9)

exp(λk(t-u))。

(10)

由式(7)—(10)得EQ[Λs(t)|Fu]=Λs(u)，所以{Λs(t)}是正Q-鞅過程。又EQ[Λs(T)]=Λs(t0)=1。引理3得證。

由引理2可定義概率測(cè)度QS，使得

(11)

(12)

證明因?yàn)閅t關(guān)于Ft可測(cè)，所以由引理2及(11)式得

把式(5)、(6)代入整理得

類似于引理3中式(8)—(10)的推導(dǎo)可得式(12)，引理4證畢。

證明由式(3)，對(duì)任意的t0≤u≤t≤T，

類似于引理3證明可得EQ[ΛT(t)|Fu]=ΛT(u)，所以{Λs(t)}是正Q-鞅過程。又EQ[ΛT(T)]=ΛT(t0)=1。引理5得證。

由引理2可定義概率測(cè)度QT，使得

(13)

引理6 對(duì)于t0≤t≤T，Yt在QT下的特征函數(shù)為

(14)

其中σ2(t0,t)由引理4中給出。

證明因?yàn)閅t關(guān)于Ft可測(cè)，所以由引理2及式(13)得

把式(5)、(6)代入整理得

類似于引理3中式(8)—(10)的推導(dǎo)可得式(14)，引理6證畢。

引理7[11]若隨機(jī)變量X在概率測(cè)度Q下的特征函數(shù)為ΦX(u)，則

2 主要結(jié)果

定理1當(dāng)且僅當(dāng)S(Tc)=KP(Tc,T)時(shí)，c(Tc,S(Tc),T,K)=p(Tc,S(Tc),T,K)。

證明由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，

c(Tc,S(Tc),T,K)-p(Tc,S(Tc),T,K)=

(15)

最后一個(gè)等號(hào)是因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，資產(chǎn)的貼現(xiàn)價(jià)格為鞅。由式(15)可知結(jié)論成立。

定理2 選擇期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t0的價(jià)格可由以下公式給出

(16)

其中

t∈[Tc,T]。

證明由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理及定理1，選擇期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t0的價(jià)格:

由引理2、式(11)及(13)，并注意到P(T,T)=1，可得

V(t0,S(t0))=S(t0)(EQS[I(S(T)>K,S(Tc)>KP(Tc,T))|Ft0]-EQS[I(S(T)

KP(t0,T)(EQT[I(S(T)>K,S(Tc)>KP(Tc,T))|Ft0]-EQT[I(S(T)

Yt與Ft0獨(dú)立，所以

V(t0,S(t0))=S(t0)(EQS[I(YT>d,YTc>d)|Ft0]-EQS[I(YT

KP(t0,T)(EQT[I(YT>d,YTc>d)|Ft0]-EQT[I(YT

S(t0)(EQS[I(YT>d,YTc>d)]-EQS[I(YT

KP(t0,T)(EQT[I(YT>d,YTc>d)]-EQT[I(YT

根據(jù)示性函數(shù)I的性質(zhì)，I(X1>a)-I(X1>a,X2>b)=I(X2

V(t0,S(t0))=S(t0)(EQS[I(YT>d)]-EQS[I(YTc

KP(t0,T)(EQT[I(YT>d)]-EQT[I(YTc

S(t0)(QS(YT>d)-QS(YTc

KP(t0,T)(QT(YT>d)-QT(YTc

由引理4、引理6和引理7可知定理2成立。

推論當(dāng)J～N(θ,δ2)時(shí)，選擇期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t0的價(jià)格仍由式(16)給出，其中

3 敏感性分析

本節(jié)考慮期權(quán)價(jià)格關(guān)于執(zhí)行價(jià)格K、到期日T和選擇時(shí)刻Tc的關(guān)系，取t0=0，S(t0)=2.5，P(t0,T)=0.9，σ1=0.1，σ2=0.2，λ=25，ρ=0.25，J～N(0.1，0.16)。

圖1(a) 給出了當(dāng)K=2、T=1時(shí)選擇期權(quán)的價(jià)格與選擇時(shí)刻Tc的關(guān)系，從圖中可以看出，此種情形下，選擇期權(quán)價(jià)格是Tc的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。圖1(b)給出了當(dāng)K=2、Tc=0.05時(shí)選擇期權(quán)的價(jià)格與到期日T的關(guān)系，從圖中可以看出在此種情形下，選擇期權(quán)價(jià)格是T的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。圖1(c)給出了當(dāng)Tc=0.05、T=1時(shí)選擇期權(quán)的價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格K的關(guān)系，通過觀察可以看出，選擇期權(quán)價(jià)格隨著K的增大呈現(xiàn)出先減后增的變化趨勢(shì)。

(a) 與Tc的關(guān)系 (b) 與T的關(guān)系 (c) 與K的關(guān)系圖1 選擇期權(quán)價(jià)格與Tc、T、K的關(guān)系

4 結(jié)論

假設(shè)貼現(xiàn)債券價(jià)格過程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，資產(chǎn)價(jià)格過程服從跳擴(kuò)散過程。由于資產(chǎn)價(jià)格帶跳，因此資產(chǎn)價(jià)格并不具有顯式形式的密度函數(shù)。注意到隨機(jī)變量的分布函數(shù)和特征函數(shù)具有一定的關(guān)系，因此考慮用特征函數(shù)的形式來表示衍生產(chǎn)品的價(jià)格。本文利用It引理和測(cè)度變換得到了當(dāng)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)具有相同到期日和相同執(zhí)行價(jià)格時(shí)選擇期權(quán)的價(jià)格公式，其形式相較于級(jí)數(shù)形式的結(jié)果更為簡(jiǎn)單?？梢钥闯鰳?gòu)造合適的等價(jià)鞅測(cè)度對(duì)于選擇期權(quán)的定價(jià)是十分重要的，并且特征函數(shù)作為一種強(qiáng)有力的工具能夠在一定程度上簡(jiǎn)化求解的過程。另外本文得到的定價(jià)公式擴(kuò)展了文獻(xiàn)[9]的結(jié)論，在資產(chǎn)價(jià)格過程跳躍的基礎(chǔ)上加入了貼現(xiàn)債券價(jià)格隨機(jī)，使所得結(jié)果更符合實(shí)際情形。