基于偏序集的PROMETHEE方法優(yōu)化研究

張 飛，岳立柱，王國(guó)輝

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 公共管理與法學(xué)院,遼寧 阜新 123000； 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院,遼寧 葫蘆島 125105;3.遼寧省重要技術(shù)創(chuàng)新與研發(fā)基地建設(shè)工程中心,遼寧 沈陽(yáng) 110000)

0 引言

PROMETHEE法是最受歡迎的多準(zhǔn)則決策方法之一。Brans在1982年首次提出PROMETHEE法，由于在概念和應(yīng)用上均簡(jiǎn)便易行，PROMETHEE被廣泛應(yīng)用于處理國(guó)防需求[1]、環(huán)境管理[2]、化學(xué)[3]、物流與運(yùn)輸[4]、企業(yè)管理[5,6]等各領(lǐng)域問(wèn)題的決策中。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，PROMETHEE法逐漸由單一方法發(fā)展為方法族。PROMETHEE方法族最初包括部分排序的PROMETHEE I和完全排序的PROMETHEE II，后來(lái)又發(fā)展出多個(gè)版本：如基于區(qū)間估計(jì)的PROMETHEE III、對(duì)連續(xù)方案集進(jìn)行排序的PROMETHEE IV、解決部分約束問(wèn)題的PROMETHEE V、人腦表示的PROMETHEE VI、用于群決策的PROMETHEE GDSS、用圖形表示的視覺(jué)交互模塊GAIA，以及處理分類問(wèn)題的PROMETHEE TRI和用于名義分類的PROMETHEE CLUSTER等。在實(shí)踐應(yīng)用中，準(zhǔn)則權(quán)重是PROMETHEE方法不可缺少的先驗(yàn)信息，其強(qiáng)烈地影響著PROMETHEE方法族的應(yīng)用效果和決策質(zhì)量。一些學(xué)者采用的賦權(quán)方式存在誤區(qū)，使得該模型應(yīng)用不當(dāng)，增加了決策風(fēng)險(xiǎn)。因此，亟需研究賦權(quán)問(wèn)題，避免應(yīng)用錯(cuò)誤，提升該模型的應(yīng)用質(zhì)量。

當(dāng)前，與PROMETHEE模型相結(jié)合使用的賦權(quán)方法，可歸結(jié)為主觀賦權(quán)法、客觀賦權(quán)法和組合賦權(quán)法三種類型，不過(guò)后兩種類型并不適用。主觀賦權(quán)法是決策者根據(jù)自己的偏好和經(jīng)驗(yàn)給出準(zhǔn)則權(quán)重信息的方法，如Dephi法[7]、層次分析法[8]。該方法能較好地反映準(zhǔn)則的相對(duì)重要性程度，有效提取決策情境信息。但該方法主觀性過(guò)強(qiáng)，精確性不夠。為了克服賦權(quán)過(guò)于主觀問(wèn)題，有學(xué)者提出客觀賦權(quán)法，如熵權(quán)法[9]、離差法[10]等。但客觀賦權(quán)法得到的“權(quán)重”無(wú)法體現(xiàn)屬性自身的重要性，只是該屬性在決策方案排序上的作用大小，且“權(quán)重”值會(huì)隨數(shù)據(jù)變化而變化，穩(wěn)定性和可繼承性較差[11]。組合賦權(quán)法是在綜合主、客觀賦權(quán)法基礎(chǔ)上提出的，受客觀賦權(quán)法無(wú)法得到真正“權(quán)重”的限制，組合權(quán)重也無(wú)法有效反映指標(biāo)重要性差異。因此，在三種賦權(quán)類型中，主觀賦權(quán)法恰恰是一種更為合適賦權(quán)方法。主觀賦權(quán)法易于把握研究對(duì)象質(zhì)性信息，例如指標(biāo)重要性排序，但一般不易給出精確的量化信息；即使能夠給出精確權(quán)重，在方法論層面也存在挑戰(zhàn)。事件的隨機(jī)性和信息的不完備性導(dǎo)致現(xiàn)實(shí)中任何精確權(quán)重?cái)?shù)值的給出都過(guò)于主觀武斷[12]。應(yīng)用PROMETHEE家族中的任何一個(gè)模型進(jìn)行決策時(shí)需要精確權(quán)重，沒(méi)有具體權(quán)重，模型便無(wú)法應(yīng)用。如何解決權(quán)重本質(zhì)上具有的不確定性和模型需要精確權(quán)重的矛盾？

偏序集是一個(gè)非常有吸引力的決策支持工具[13]，不僅可自身獨(dú)立分析，更可以與其它模型進(jìn)行結(jié)合，進(jìn)而增強(qiáng)后者的應(yīng)用范圍與魯棒性。偏序集方法表明，對(duì)于含有權(quán)重參數(shù)的模型，若獲取指標(biāo)權(quán)重的定性排序信息，便可以借助偏序集方法運(yùn)行該模型。岳立柱等[14]在僅知權(quán)重順序信息的基礎(chǔ)上，應(yīng)用偏序集方法表示TOPSIS模型。通過(guò)偏序集方法，在僅獲取屬性序數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上即可完成方案的排序[15]，結(jié)果不僅具有客觀性和保序性[16]，而且能夠進(jìn)行類別比較。因此本文在借鑒現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，選擇PROMETHEE家族中應(yīng)用最為廣泛的成員PROMETHEE II，應(yīng)用偏序集方法解決其賦權(quán)難題(沒(méi)有特殊說(shuō)明，以下PROMETHEE均指PROMETHEE II)。

1 PROMETHEE決策方法

PROMETHEE法是基于偏好指數(shù)的一種多準(zhǔn)則決策方法。在構(gòu)建偏好函數(shù)基礎(chǔ)上，結(jié)合特定評(píng)估尺度計(jì)算偏好指數(shù)并確立方案間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系。優(yōu)勢(shì)關(guān)系以流量形式表示，通過(guò)比較方案的凈流來(lái)對(duì)進(jìn)行排序，凈流最大的方案為最優(yōu)方案。

1.1 偏好函數(shù)的確定

令M={1,2,3,…,m}，N={1,2,3,…,n}，A={ai|i∈M}表示方案集，C={cj|j∈M}表示準(zhǔn)則集，函數(shù)fj(j∈N)為方案在屬性cj上的測(cè)度值。對(duì)于?al,ak∈A，dj(al,ak)為方案ai和方案ak在屬性cj上的屬性值之差，即dj(al,ak)=fj(al)-fj(ak)。構(gòu)建偏好函數(shù)Pj(al,ak)，表示在屬性cj上al優(yōu)先于ak的程度。即:

F(d)為al相對(duì)于ak的優(yōu)先程度值。Brans等人[17]給出函數(shù)F(d)的六種常用評(píng)估尺度類型，包括通用類型、類似類型、線性偏好類型、水平類型、線性偏好及無(wú)差異區(qū)類型和高斯類型，這些類型基本包括了發(fā)生在實(shí)際應(yīng)用中的大部分狀況。其取值范圍介于0到1之間。一般Pj(al,ak)∈[0,1]，Pj(al,ak)的值越趨近于1，表示方案al在屬性cj上越優(yōu)于方案ak。偏好函數(shù)也可表示為：

1.2 偏好指數(shù)的計(jì)算

(1)

1.3 優(yōu)序關(guān)系的流量表示

方案之間的優(yōu)序關(guān)系以流量來(lái)進(jìn)行表示，包括流出、流入和凈流三種形式。流出即某一方案優(yōu)于其他方案之和，用Φ+來(lái)表示；流入為其他方案優(yōu)于某一方案之和，用Φ-來(lái)表示；凈流量是方案流出和流入的差值，用Φ來(lái)表示。對(duì)于?al∈A，其流入、流出和凈流分別表示如下：

Φ(al)Φ+(al)-Φ-(al)

(2)

PROMETHEE根據(jù)Φ(al)的大小對(duì)方案進(jìn)行排序，取值越大表示方案越優(yōu)。

2 PROMETHEE方法的偏序集表示

2.1 偏序集基礎(chǔ)知識(shí)

定義2.1[19]設(shè)R是集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，若滿足自反性、反對(duì)稱性和傳遞性，則稱R為A上的偏序關(guān)系，用“≤”來(lái)表示，集合A與其上的偏序關(guān)系“≤”一起稱為偏序集，記作(A,≤)。

若評(píng)價(jià)集M=(A,IC)存在偏序關(guān)系，則對(duì)?al,ak∈A有al≤ak?cj(al)≤cj(ak),j=1,2,…,n。

給定偏序集(A,≤)，對(duì)于?al,ak∈A，若al≥ak，則記rlk=1，若al

(3)

偏序集決策方法根據(jù)各方案在偏序集上的hav(al)大小來(lái)進(jìn)行排序。

2.2 用偏序集表示PROMETHEE的流出排序

定理2.1可用如下等價(jià)矩陣形式表示:

其中，E為上三角陣，若在矩陣G中，第l行之和大于第k行之和，則Φ+(al)≥Φ+(ak)。

2.3 偏序集表示流出與流入的關(guān)系

在Brans等給出的函數(shù)F(d)的六種常用偏好函數(shù)基礎(chǔ)上得到的方案流出與流入值之和往往等于或者接近于一個(gè)常數(shù)。例如，當(dāng)F(d)使用常用類型，即Usual Criterion時(shí)，F(xiàn)(al,ak)∈{0,1}，此時(shí)Φ+(al)+Φ-(al)=m-1。為了表示的一般性，令Φ+(al)+Φ-(al)=θ,θ∈R。

定義2.2[22]給定一個(gè)偏序集P，可以如下構(gòu)造出與P對(duì)偶的偏序集P′：P′與P具有完全相同的元素，只是P′上的序關(guān)系與P上的序關(guān)系相反：a≤b在P′上成立當(dāng)且僅當(dāng)b≤a在P上成立。若P是有限的，則簡(jiǎn)單地將P的序圖倒置便得到P′序圖。

定理2.2若Φ+(al)+Φ-(al)=θ，則偏序集(A,M+≤)與(A,M-,≤)是對(duì)偶偏序集。

證明設(shè)M+的第l行為Φ+(al)，第k行為Φ+(ak)，M-的第l行為Φ-(al)，第k行為Φ-(ak)。

由于Φ+(al)+Φ-(al)=θ，所以Φ+(al)=θ-Φ-(al)。

若Φ+(al)≥Φ+(ak)，即知θ-Φ-(al)≥θ-Φ-(ak)，所以Φ-(ak)≥Φ-(al)。

根據(jù)定義2.2，偏序集(A,M+,≤)與(A,M-,≤)是對(duì)偶偏序集。證畢。

由對(duì)偶偏序集定義2.2可知，方案的流出序圖與流入序圖一定是互為倒置的，只需獲得流出或流入偏序集中的任意一個(gè)，即可得到流出和流入兩個(gè)互為倒置的方案關(guān)系排序圖。

2.4 偏序集表示凈流排序

定理2.3對(duì)?al∈A，若Φ+(al)+Φ-(al)=θ，當(dāng)矩陣G=M+-E的第l行大于第k行，E為上三角陣，則al優(yōu)于ak。

證明由于al優(yōu)于ak?Φ(al)≥Φ(ak)，若Φ(al)≥Φ(ak)成立，則定理成立。

由于矩陣G=M+-E的第l行大于第k行，于是Φ+(al)≥Φ+(ak)。根據(jù)定理2.2，Φ-(al)≤Φ-(ak)。

又Φ(al)=Φ+(al)-Φ-(al)，于是Φ(al)-Φ(ak)≥0，即Φ(al)≥Φ(ak)，證畢。

根據(jù)定理2.3可知，當(dāng)方案的流入和流出之和為常數(shù)時(shí)，方案集A中方案的凈流(Φ)排序與流出(Φ+)排序一致，與流入(Φ-)排序相反。在常見(jiàn)的六種類型偏好表達(dá)式中，常用類型和類似類型的方案流出與流入值之和等于常數(shù)m-1，其余類型接近于這個(gè)常數(shù)。因此，PROMETHEE模型所采用的基于凈流的排序方式存在信息冗余，只需單獨(dú)獲取流入或流出矩陣，即可完成所有方案排序。

2.5 方案的關(guān)系矩陣生成與HASSE矩陣轉(zhuǎn)換

設(shè)評(píng)價(jià)集M=(A,IC)對(duì)于?al,ak∈A，若Φ+(al)≥Φ+(ak)，則稱al≥ak。根據(jù)方案間的比較關(guān)系可得比較關(guān)系矩陣R。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化關(guān)系數(shù)量，可將關(guān)系矩陣轉(zhuǎn)化為HASSE矩陣，進(jìn)而通過(guò)HASSE圖來(lái)表示方案間的偏序關(guān)系。文[23]給出了比較關(guān)系矩陣與HASSE矩陣之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

HR=(R-I)-(R-I)2

(4)

其中，R代表比較關(guān)系矩陣，HR代表HASSE矩陣，I為單位陣，矩陣(R-I)2為布爾代數(shù)。

綜上所述，應(yīng)用偏序集表示權(quán)重未知的PROMETHEE模型的排序步驟如下：

第二步：按權(quán)重大小對(duì)指標(biāo)進(jìn)行重新排序和編號(hào)，使第j個(gè)指標(biāo)權(quán)重為第j大；

第三步：根據(jù)定理2.1，分別得到流出、流入和凈流的比較關(guān)系矩陣R+、R-、R。

第四步：通過(guò)式(4)將方案比較關(guān)系矩陣轉(zhuǎn)換為HASSE矩陣，并繪制HASSE圖對(duì)排序結(jié)果進(jìn)行分析。

3 算例研究

利用文獻(xiàn)[24]中的實(shí)例，驗(yàn)證偏序集排序的有效性。該實(shí)例包含10個(gè)備選方案，方案集A={A1,A2,…,A10}，包含5個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，均為效益型準(zhǔn)則，準(zhǔn)則集為IC={c1,c2, …,c5}，權(quán)重向量為W={ω1,ω2,…,ω5}，偏好函數(shù)選擇通用類型，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。算例中雖然給出具體權(quán)重值，本文僅提取權(quán)重順序，即ω2>ω1>ω4>ω3>ω5>0,通過(guò)該序數(shù)對(duì)方案進(jìn)行排序分析。

表1 方案原始數(shù)據(jù)表

表2 方案在不同指標(biāo)上的流出、流入及凈流量表

其次，根據(jù)算例中所給出的權(quán)重順序，即ω2>ω1>ω4>ω3>ω5>0對(duì)準(zhǔn)則進(jìn)行重新排列，根據(jù)定理2.1對(duì)不同指標(biāo)上方案的流出、流入和凈流進(jìn)行兩兩比較，分別得到流出、流入和凈流的關(guān)系矩陣R+、R-和R，見(jiàn)表3～表5。

表3 關(guān)于流出的方案比較關(guān)系矩陣

表4 關(guān)于流入的方案比較關(guān)系矩陣

表5 關(guān)于凈流量的方案比較關(guān)系矩陣

最后，依公式(4)，由方案比較關(guān)系矩陣得到HASSE矩陣，并繪制HASSE圖，如圖1～圖3所示。

由圖1～圖3可見(jiàn)，無(wú)論是基于流出、流入還是凈流的方案關(guān)系HASSE圖都包括四個(gè)層集：其中，方案A4和A6屬于同一層集，方案A3和A7同一層集，方案A1、A2、A5、A8和A9同一層集，方案A10一個(gè)層集。層集之間的比較關(guān)系為{A4,A6}?{A1,A2,A5,A8,A9}?{A10}?{A3,A7}。

圖1 基于流出的方案關(guān)系HASSE圖

圖2 基于流入的方案關(guān)系HASSE圖

圖3 基于凈流量的方案關(guān)系HASSE圖

對(duì)比分析：

本文方法的排序結(jié)果為{A4,A6}?{A1,A2,A6,A8,A9}?{A10}?{A3,A7}，是一種偏序結(jié)構(gòu)。文[24]給出的結(jié)果為全序結(jié)構(gòu)A4?A6?A9?A2?A8?A5?A1?A10?A3?A7。為進(jìn)一步與文[24]進(jìn)行對(duì)比分析，利用式(3)計(jì)算方案在(A,≤)上的高度值，展開(kāi)更細(xì)致的方案排序，結(jié)果為：hav(A1)=8.8，hav(A2)=5.5,hav(A3)=1.1,hav(A4)=9.7778,hav(A5)=4.7143,hav(A6)=9.7778,hav(A7)=1.1,hav(A8)=5.5,hav(A9)=7.7,hav(A10)=3.3,于是可得A4=A6?A1?A9?A2=A8?A5?A10?A3=A7。由此可見(jiàn)，本文方法與文[24]方法的排序結(jié)果非常相似。但是本文方法有如下不同之處：

(1)本文方法在操作中更為簡(jiǎn)便。文[24]方法采用精確權(quán)重參與計(jì)算，卻沒(méi)有明確給出權(quán)重來(lái)源。本文方法充分考慮權(quán)重賦值困難且充滿爭(zhēng)議的特點(diǎn)，僅使用權(quán)重順序即完成方案排序。權(quán)重順序在實(shí)際決策中易于獲取，大大降低了應(yīng)用的難度。應(yīng)用本文方法免去了仿真的麻煩，并且可以對(duì)結(jié)果進(jìn)行解析分析。

(2)本文方法的理論框架更為穩(wěn)健。文[24]方法將一組具體的權(quán)重向量引入到PROMETHEE模型中影響決策，本文方法則是將權(quán)重空間引入PROMETHEE模型，充分考慮權(quán)重賦值變化的可能。只要滿足權(quán)重順序不變，評(píng)價(jià)結(jié)果就不變，因而本文的方法穩(wěn)健性更強(qiáng)。

(3)本文方法可對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分析。文[24]給出的是方案的線性序，僅反映方案優(yōu)劣關(guān)系。本文方法給出的結(jié)果是同時(shí)包含可比關(guān)系和不可比關(guān)系的偏序結(jié)構(gòu)。實(shí)際決策中，偏序集排序更接近決策本質(zhì)。它不僅能夠進(jìn)行方案排序，且能夠?qū)Ψ桨高M(jìn)行分層、歸類。一方面排序結(jié)果中的可比關(guān)系凸顯排序結(jié)果的穩(wěn)定性；只要權(quán)重順序保持不變，方案間可比關(guān)系就不會(huì)發(fā)生改變；另一方面不可比關(guān)系體現(xiàn)排序結(jié)果的可變性；隨著權(quán)重的變化，方案排序在一定概率條件下會(huì)發(fā)生顛倒。偏序結(jié)構(gòu)提供一個(gè)方案的識(shí)別框架，這種結(jié)構(gòu)化屬性保證了評(píng)價(jià)結(jié)果的穩(wěn)定性和靈活性。

4 結(jié)論

針對(duì)多準(zhǔn)則決策方法PROMETHEE在應(yīng)用中具體權(quán)重信息無(wú)法獲知的情況，提出一種應(yīng)用偏序集表示的改進(jìn)方法，應(yīng)用該方法僅需獲取權(quán)重序數(shù)信息即可進(jìn)行方案排序。本文方法本質(zhì)上是通過(guò)序關(guān)系將權(quán)重空間融入到模型當(dāng)中，取代原方法的單一權(quán)重，由此展示了排序結(jié)果的穩(wěn)定性與靈活性。通過(guò)算例表明，該排序方法排序穩(wěn)健、復(fù)制容易，且體現(xiàn)定性與定量相結(jié)合的特點(diǎn)。盡管本文結(jié)果與算例中排序結(jié)果基本一致，但本文進(jìn)一步揭示了排序中穩(wěn)健方案和易變方案。