二次函數(shù)中三角形面積最大值問題解法探究

■湖南省冷水江市城東學(xué)校 謝雄俊

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它綜合幾何圖形形成的綜合題和探究題更是增加了學(xué)習(xí)的深度和廣度，對(duì)學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求，成了近年來中考的熱點(diǎn)。本文將以2016年湖南省某市數(shù)學(xué)中考第26題為例，就二次函數(shù)中三角形面積最大值問題的解題思路、方法與技巧進(jìn)行探討和歸納，供大家參考。

例：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)，B(5，- 6)，C(6，0)。

圖1

（1）求拋物線的解析式：(y=x2-5x-6)

如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使ΔABP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由。

（3）若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試指出△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)？并請(qǐng)求出其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

下面著重探究問題（2）“二次函數(shù)中三角形面積最大值問題”蘊(yùn)含的解題思想、方法與技巧。

解法一：割補(bǔ)法

解：過點(diǎn)B作BD⊥x軸，連接PD

圖2

因此當(dāng)x= 2 時(shí)，S△ABP最大值27

評(píng)析：割補(bǔ)法通過靈割、巧補(bǔ)化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形或化不規(guī)則圖形為有利于面積表達(dá)的常規(guī)幾何圖形進(jìn)行面積的推導(dǎo)和計(jì)算。本題利用割補(bǔ)法求△ABP的面積，關(guān)鍵在于分割出有利用面積表達(dá)的△ADP和△BDP，利用其面積和減去△ABD的面積。使用割補(bǔ)法解題時(shí)可考慮乘法分配律與結(jié)合律，降低運(yùn)算難度。

解法二：鉛錘法

圖3

解：過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E

設(shè)P(x，x2- 5x- 6)(-1＜x＜5)，則E(x，-x- 1)

∴PE=(-x- 1)-(x2- 5x- 6)=-x2+ 4x+ 5

因此當(dāng)x= 2時(shí)，S△ABP最大值27

評(píng)析：鉛錘法是求斜置三角形面積最常用的方法，其利用“橫平豎直，改斜歸正”大大降低了解題難度。如圖：

圖4

解法三：三角函數(shù)法

圖5

解：過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E；過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F

設(shè)P(x，x2- 5x- 6)，則E(x，-x- 1)

∵A(-1，0)，B(5，- 6)

∴當(dāng)x= 2時(shí)，S△ABP最大值27

評(píng)析：銳角三角函數(shù)建立起了三角形邊角之間的關(guān)系，為此類問題的解決提供了新的思路和方法。本題因△ABP底AB為定值，求其面積只需用P點(diǎn)橫坐標(biāo)表示PF長(zhǎng)即可。借用三角函數(shù)性質(zhì)得則進(jìn)而求得△ABP面積最大值。

解法四：切線法

解：過點(diǎn)P作直線l∥AB，

設(shè)直線l的解析式為y=-x+b

圖6

當(dāng)Δ= 0 時(shí)，解得x1=x2= 2，直線l 與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。

∴P(2，- 12)，E(2，- 3)

∴PE=-3-(-12)= 9

∴S△ABP最大值

評(píng)析： 切線法從幾何模型的角度另辟蹊徑解決了二次函數(shù)中三角形面積最大值問題。題中因三角形底AB為定值，要求面積最大，只需高PF最大。又因?yàn)镻是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在AB下方，可過動(dòng)點(diǎn)P作直線AB的平行線l逐漸向下平移。移動(dòng)中發(fā)現(xiàn)直線與拋物線交點(diǎn)數(shù)從2 個(gè)變?yōu)? 個(gè)時(shí)，高PF最大，此時(shí)三角形面積最大。本文從各個(gè)角度探究了二次函數(shù)中三角形面積最大值問題的解法，但在教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生探究習(xí)題的解法，不只是為了讓學(xué)生會(huì)用不同的方法解題，重要的是啟發(fā)學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力。