疊梁的變形與彎曲切應(yīng)力影響的關(guān)系討論

李 澳 胡偉平 孟慶春 詹志新

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191)

在材料力學(xué)中，梁的應(yīng)力分析是非常重要的一部分內(nèi)容。其中包括彎曲正應(yīng)力分析和彎曲切應(yīng)力分析。學(xué)生對于彎曲正應(yīng)力的分析過程比較容易接受，因?yàn)槠潴w現(xiàn)了材料力學(xué)中桿件應(yīng)力分析的最基本方法，即從實(shí)驗(yàn)觀察到變形規(guī)律假設(shè)，再到幾何方程、物理方程和平衡方程，最后得到應(yīng)力解答。而彎曲切應(yīng)力的分析相對比較抽象，其核心是基于分離體的平衡和切應(yīng)力互等定理，并假設(shè)了純彎正應(yīng)力公式仍然適用于橫力彎曲的情況[1-3]。很多文獻(xiàn)對這一解法的近似性進(jìn)行了討論[4-6]，對于一般細(xì)長實(shí)心梁，這一解答足夠精確。但是，彎曲切應(yīng)力的分析模型不是從變形觀察開始的，這主要是由于梁彎曲時(shí)剪切變形并不明顯，難以直接觀察。如果能夠通過簡單的演示實(shí)驗(yàn)來說明彎曲切應(yīng)力的存在，使學(xué)生先有直觀感性認(rèn)識，則有助于提高學(xué)生對于后續(xù)理論推導(dǎo)的興趣，并啟發(fā)學(xué)生將理論與實(shí)際緊密聯(lián)系。

關(guān)于梁彎曲切應(yīng)力存在的演示實(shí)驗(yàn)主要有兩種，第一種是用木梁的彎曲破壞實(shí)驗(yàn)[7]，通過木梁沿縱向截面破壞能夠很好地演示彎曲切應(yīng)力的作用效果，但是一般不便于現(xiàn)場演示；第二種是對比疊梁和整體梁的彎曲變形[8]，通過兩種變形的不同來說明層間存在切應(yīng)力。在現(xiàn)場演示時(shí)可采用橡膠或硅膠材料制備疊梁和整體梁，以便于明顯觀察到兩種不同的變形效果。對于第二種演示實(shí)驗(yàn)，初想之下，覺得能夠很好地說明層間切應(yīng)力的存在。但仔細(xì)分析后，發(fā)現(xiàn)有可能引起概念上的混淆。下面就來具體討論一下。

1 疊梁與整體梁彎曲變形的對比

采用相同材料制備疊梁和整體梁。疊梁由兩個(gè)尺寸相同的梁無摩擦疊合而成，如圖1(a)所示。整體梁的尺寸與兩個(gè)疊合起來的梁的總體尺寸相同，如圖1(b)所示。疊梁和整體梁均在左側(cè)固支，右端施加集中力。

圖1 疊梁和整體梁結(jié)構(gòu)及載荷示意圖

隨著載荷的增加，疊梁發(fā)生彎曲變形，由于上下梁之間是無摩擦疊合，上下梁各自獨(dú)立彎曲，可以認(rèn)為上下梁的彎曲曲率相同[9]，則其變形圖如圖2所示。如果是橡膠或硅膠材料梁，可以觀察到上梁的下表面與下梁的上表面之間存在明顯的錯(cuò)動。而整體梁則是整體彎曲，各層之間無相對錯(cuò)動。整體梁可以視為由疊梁的上下梁之間完全粘接而成。因此，在整體梁中必然是由層間的相互作用力阻止了兩層間的錯(cuò)動，這自然就是層間切應(yīng)力了。由此可以得出結(jié)論，整體梁的層間存在切應(yīng)力。上述分析符合直觀感受，看似邏輯清晰，結(jié)論合理。但仔細(xì)思考之后，有幾個(gè)概念需要辨析。

2 疊梁彎曲變形描述的辨析

首先，在疊梁的變形中，圖2(a)變形現(xiàn)象是客觀事實(shí)，確實(shí)能夠明顯觀察到，即相比于圖2(b)所示整體梁，疊梁上梁下表面與下梁上表面之間錯(cuò)開了。但是，這種現(xiàn)象與剪切引起兩個(gè)面的相對錯(cuò)動完全不同。疊梁接觸表面的錯(cuò)開恰好與剪切變形幾乎無關(guān)，其主要是上梁下表面的縮短和下梁上表面的伸長所導(dǎo)致的，即這種錯(cuò)開的變形主要是兩接觸表面長度變化差別的反映。下面根據(jù)材料力學(xué)方法建立一個(gè)簡單的分析模型來進(jìn)行說明。圖2(c)所示為考慮了疊梁由于彎曲切應(yīng)力導(dǎo)致橫截面翹曲后的彎曲變形示意圖。

圖2 疊梁與整體梁的變形示意圖

不考慮橫截面翹曲時(shí)，上下梁接觸處的縱向長度變化差為

式中，l為梁的總長度，b為梁的寬度，h為單個(gè)疊梁的高度，E為材料的彈性模量，εmax為下梁的最大軸向正應(yīng)變，即下梁上表面的軸向正應(yīng)變。

當(dāng)考慮兩梁的剪切變形時(shí)，橫截面產(chǎn)生翹曲。同時(shí)，由于沿梁長度方向剪力不變，即所有橫截面的翹曲變形相同。因此上梁下表面產(chǎn)生附加長度變化AA′，下梁上表面產(chǎn)生附加長度變化BB′。

式中，γ(y) 為梁在y處的切應(yīng)變，y坐標(biāo)原點(diǎn)位于下梁軸線上，且垂直x軸朝向上為正，如圖1(a)所示。G為材料的切變模量，μ為材料的泊松比。

對比式（1）和式（2），并考慮到一般梁滿足條件l≥5h，可以看到，一方面梁的剪切變形實(shí)際上減小了接觸面上下層的縱向長度變化差；另一方面，這種減小作用十分有限，相比于正應(yīng)力導(dǎo)致的縱向長度變化差小一個(gè)數(shù)量級以上，可以忽略不計(jì)。

因此，雖然從直觀來看，疊梁彎曲變形時(shí)上下梁的接觸面錯(cuò)開了，但這種變形從力學(xué)性質(zhì)上看主要是由上下層的縱向長度變化差所致，而與剪切變形相關(guān)的“錯(cuò)動”無關(guān)。

3 上下疊梁粘接作用的力學(xué)分析

前一節(jié)討論了疊梁彎曲變形時(shí)導(dǎo)致上下梁接觸面錯(cuò)開的主要原因，那么，將兩梁粘接成整體梁后，粘接的層間在限制層間錯(cuò)開時(shí)到底是起到了何種作用？

一種基于直觀的認(rèn)識認(rèn)為，既然是限制了兩個(gè)面的錯(cuò)開，那么粘接必然是提供了面內(nèi)的剪切應(yīng)力。這種觀點(diǎn)具有一定的迷惑性，因?yàn)閺淖陨磉壿媮砜词钦_的。但是在第2節(jié)中已經(jīng)分析了，兩個(gè)面的錯(cuò)開主要是由兩個(gè)面的縱向長度變化不同引起的，并不是與剪切變形相關(guān)的“錯(cuò)動”。因此，不能通過施加剪切應(yīng)力來抵消這種“錯(cuò)開”變形，必須通過施加正應(yīng)力才能消除這種變形。這一概念正是符合廣義力與其相應(yīng)廣義位移的基本概念。

3.1 純彎疊梁粘接時(shí)的力學(xué)分析

通過上面的分析，疊梁的粘接面所起的主要作用應(yīng)該是提供正應(yīng)力而非切應(yīng)力，這一點(diǎn)似乎違背了直觀認(rèn)識。為了更好地說明這一力學(xué)性質(zhì)，先以純彎梁為例進(jìn)行分析。圖3(a)所示為兩端受線性分布正應(yīng)力的一段純彎疊梁。兩層的粘接直接來說是提供位移約束，為了清楚理解這種位移約束的作用，將位移約束等效成力的約束，就像靜不定問題分析時(shí)所采用的方法一樣。假設(shè)不將疊梁粘接，而是通過施加載荷，如圖3(b)所示，然后將圖3(a)和(b)疊加得到整體梁受載時(shí)的應(yīng)力分布，如圖3(c)所示，則所施加的載荷就是與粘接作用等效的力的作用。

圖3 純彎疊梁粘接作用的力等效分析

假設(shè)單個(gè)疊梁高為h，寬為b，疊梁上下梁各自施加的最大應(yīng)力為σ，則有

解得

因此，疊梁粘接時(shí)的位移約束可以等效為在接觸面處施加了一個(gè)相互作用的沿軸向載荷，該沿軸向載荷使原來存在縱向長度差的兩個(gè)面長度相等，并改變了整個(gè)橫截面上的正應(yīng)力分布。

這里有一點(diǎn)需要說明，接觸面的載荷應(yīng)該只能直接作用于接觸面上，不能施加到梁橫截面上。首先，直接接觸處確實(shí)只能通過作用在接觸面上的方式傳載，但是在遠(yuǎn)離接觸面后，根據(jù)圣維南原理，載荷作用效果等效成了沿軸向載荷。利用圖4可以簡單地說明這一點(diǎn)。圖4(a)為一沿表面受載的桿，當(dāng)分析遠(yuǎn)離載荷作用區(qū)域的AA′橫截面上的載荷時(shí)，可以等效為圖4(b)所示情況。進(jìn)一步，可以得到AA′橫截面上的應(yīng)力分布，如圖4(c)所示。其次，對于實(shí)際的粘接純彎疊梁，其實(shí)只有兩端的粘接面處會產(chǎn)生約束載荷，中間的粘接面并不產(chǎn)生約束載荷。圖5所示的有限元計(jì)算結(jié)果說明了這一特點(diǎn)。圖5(a)，(b)，(c)為兩處粘接后的四點(diǎn)彎疊梁，以及受載后的正應(yīng)力分布云圖和切應(yīng)力分布云圖。圖5(d)，(e)，(f)為四處粘接后的四點(diǎn)彎疊梁，以及受載后的正應(yīng)力分布云圖和切應(yīng)力分布云圖。兩種情況下在靠近梁兩端面的粘接處，正應(yīng)力和切應(yīng)力分布都比較復(fù)雜，遠(yuǎn)離粘接處之后，正應(yīng)力呈現(xiàn)典型的純彎梁正應(yīng)力分布特點(diǎn)，而切應(yīng)力則近似為零。同時(shí)，還會發(fā)現(xiàn)，有四處粘接的疊梁，在靠內(nèi)的兩個(gè)粘接面處正應(yīng)力和切應(yīng)力并沒有呈現(xiàn)出不同，也就是說，靠內(nèi)的粘接面上并沒有提供約束載荷。這一計(jì)算結(jié)果與圖4所示的分析模型相一致。

圖4 作用于表面的載荷在遠(yuǎn)離力作用區(qū)域處的等效分析

圖5 純彎疊梁不同粘接形式的效果對比

3.2 懸臂疊梁粘接時(shí)的力學(xué)分析

3.1節(jié)針對純彎疊梁粘接時(shí)位移約束的等效力的作用進(jìn)行了分析，然而在橫力彎曲時(shí)，情況要復(fù)雜一些。下面，以圖1(a)所示懸臂疊梁為例來分析粘接時(shí)的作用。從梁的x位置取一長為dx的微段，如圖6(a)所示，該微段兩側(cè)截面同時(shí)作用有正應(yīng)力和切應(yīng)力。根據(jù)第2節(jié)的分析結(jié)論，接觸面處的錯(cuò)開主要是由上下面的軸向長度變化不同造成的。進(jìn)而，根據(jù)3.1節(jié)的分析，要使得上下面的長度相同，粘接的作用應(yīng)等效為沿軸向載荷。直接利用3.1節(jié)的結(jié)果，得到接觸面兩端的沿軸向載荷。

圖6 懸臂疊梁微段粘接的力等效分析

但是，僅在接觸面兩端作用有Fc和F′c不能平衡，必須在接觸面上還作用有Fs，即

將圖6(a)，(b)疊加，即得到圖6(c)所示受力狀態(tài)，接觸面上的切應(yīng)力為

這正是疊梁粘接成整體梁后的應(yīng)力狀態(tài)。因此，對于任意微段來說，粘接的作用等效為作用于接觸面兩端的沿軸向載荷和作用在接觸面上的剪切載荷。并且，沿梁長度不同位置時(shí)，接觸面端部的沿軸向載荷不相同，但接觸面上的剪切載荷相同。將以上微段的受力分析推廣到整個(gè)梁上，可以得到粘接作用的等效載荷形式，如圖7所示。

圖7 整個(gè)懸臂疊梁層間粘接作用的力等效

上述結(jié)果似乎說明了懸臂疊梁層間粘接作用正是在粘接面上提供了剪切載荷，而正是該剪切載荷才消除了疊梁接觸面的錯(cuò)開。然而，這種說法會造成概念的混淆，這就好比在解釋圖4(a)所示桿件上表面伸長時(shí)，不能說是剪切載荷引起了桿件上表面伸長，而是應(yīng)該理解為是橫截面上的彎矩和軸力引起了桿件上表面伸長。因此，對于懸臂疊梁層間粘接作用的正確理解也應(yīng)該是粘接作用在上下兩梁橫截面產(chǎn)生的附加正應(yīng)力使得接觸面上下層的縱向長度變得相同，從而消除了層間的錯(cuò)開。而此時(shí)層間剪切載荷對接觸面上下層的縱向長度變化的直接貢獻(xiàn)恰恰可以忽略，它的主要作用是平衡由于彎矩沿梁長度變化造成的兩橫截面上的縱向載荷差。反過來，就可以理解，通過疊梁層間錯(cuò)開的消失來證明整體梁層間必然存在切應(yīng)力在力學(xué)概念上的不足之處了。

4 結(jié)論

本文通過對疊梁的變形分析以及層間粘接作用的力等效分析，討論了疊梁層間錯(cuò)開的原因，以及層間粘接作用的力學(xué)本質(zhì)，總結(jié)如下。

（1）疊梁彎曲時(shí)層間的錯(cuò)開主要是由接觸面上下層的縱向長度變化差所致，疊梁上下梁的剪切變形對接觸面上下層的錯(cuò)開貢獻(xiàn)很小，對于一般細(xì)長實(shí)心梁而言，其相比于正應(yīng)力的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。

（2）在純彎疊梁中，層間粘接作用可以等效為作用于接觸面上下層的沿軸向載荷。并且除了在兩端粘接面會產(chǎn)生約束載荷外，其他部位的粘接面不產(chǎn)生任何載荷。

（3）在懸臂疊梁中，對微段而言，層間粘接作用等效為作用于接觸面上下層的沿軸向載荷，以及作用于接觸面上的剪切載荷。對整體而言，層間粘接作用等效為作用于接觸面上的均布剪切載荷。

（4）疊梁粘接后層間錯(cuò)開的消失，應(yīng)理解為粘接作用產(chǎn)生的接觸面上下層的沿軸向載荷使得接觸面縱向長度一致，而不是接觸面上的剪切載荷消除剪切變形后的結(jié)果。