基于幾何畫板淺談分形幾何的價(jià)值

翟玉秀

摘 要：在分形幾何融入中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，幾何畫板利用其強(qiáng)大的迭代功能創(chuàng)設(shè)新的教學(xué)情境，為中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中分形幾何的教學(xué)提供了便利。文章以幾何畫板生成勾股樹為例，簡(jiǎn)要分析分形幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中的美學(xué)價(jià)值以及教育價(jià)值，目的在于促進(jìn)分形幾何與中學(xué)數(shù)學(xué)的融合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)分形幾何的過程中，感受數(shù)學(xué)之美，提高學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：勾股樹;分形幾何;美學(xué)價(jià)值;教育價(jià)值

一、迭代與分形概述

1.迭代

迭代是幾何畫板中一個(gè)基本且重要的功能，主要有兩種形式：一般迭代和深度迭代。

一般迭代類似于函數(shù)的映射，是指按一定的迭代規(guī)則，從原像到像的反復(fù)映射過程，是一種重復(fù)反饋過程的活動(dòng)，需要通過改變迭代的次數(shù)來改變迭代深度;深度迭代是在一般迭代基礎(chǔ)上的一種帶參數(shù)的迭代，可以直接通過改變參數(shù)的值而改變迭代深度。

2.分形幾何

分形最初是指不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的且具有自相似性的圖形或現(xiàn)象，后來，數(shù)學(xué)家曼德布羅特在定義分形圖形時(shí)，給出了分形的定義：分形即意味著其維數(shù)不是整數(shù)而是分?jǐn)?shù)，并且這些分量在某種程度上與整體相似;分形幾何就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。

二、勾股樹及其生成

在中學(xué)幾何中，勾股定理具有不可替代的地位，描繪了直角三角形三條邊之間特定的關(guān)系。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在勾股定理的基礎(chǔ)上，按照滿足勾股定理的直角三角形的三邊畫出來一個(gè)可以無限次重復(fù)的圖形，因?qū)掖畏磸?fù)之后所生成的圖形的外觀像一棵樹，因此稱作勾股樹，如圖1。由于勾股樹生成結(jié)構(gòu)與圖形的重復(fù)性，因此可以利用幾何畫板的迭代功能來制作。

本文中勾股樹的制作是在中文版幾何畫板5.0的基礎(chǔ)上完成的[1]。

觀察圖1，勾股樹可以看作是在其“樹干”的基礎(chǔ)上進(jìn)行多次迭代而形成的，具體來看：先作一條線段，并以這條線段為邊作正方形，以其對(duì)邊作為直角三角形的斜邊，并在斜邊基礎(chǔ)上作出其他兩條直角邊，然后以這兩條直角邊為新的邊，作出兩個(gè)小的正方形，得到如圖2所示的圖形，稱為勾股圖，又稱為一代勾股樹;然后在此基礎(chǔ)上，不斷地重復(fù)這一過程，當(dāng)重復(fù)次數(shù)足夠多時(shí)，得到一個(gè)樹狀的結(jié)構(gòu)，即為勾股樹。

勾股樹的制作有如下幾個(gè)步驟。

第一步：先作線段AB，利用變換菜單中的旋轉(zhuǎn)得到正方形ABCD，以CD為直徑做上半圓，任取半圓上的一點(diǎn)E，連接C、E和D、E，隱藏不必要的部分，并以CE、DE為邊長(zhǎng)，重復(fù)正方形ABCD的生成過程，得到圖2所示的一代勾股樹。

第二步：為了使迭代次數(shù)可以根據(jù)學(xué)習(xí)者的要求而隨時(shí)改變，選擇深度迭代，構(gòu)建參數(shù)n（迭代次數(shù)），依次選中點(diǎn)B、點(diǎn)A和參數(shù)n并按下shift鍵，進(jìn)行深度迭代B→D、A→E，添加映射B→E、A→C，所得到的圖像仍為圖2所示（迭代次數(shù)為0）。

第三步：我們可以通過設(shè)置顏色參數(shù)來改變勾股樹的顏色，填充圖2中三個(gè)正方形，測(cè)量AE的長(zhǎng)，以AE的長(zhǎng)為顏色參數(shù)，隨著迭代次數(shù)的增加，會(huì)得到色彩繽紛的勾股樹。

第四步：為了更加清晰地呈現(xiàn)出勾股樹的生成過程，選擇制作動(dòng)畫按鈕。

選擇參數(shù)n，在編輯中選擇【操作類按鈕】→【動(dòng)畫】，設(shè)置參數(shù)n在取值范圍單向運(yùn)動(dòng)，生成【動(dòng)畫參數(shù)】按鈕，點(diǎn)擊按鈕，勾股樹就會(huì)在迭代參數(shù)范圍內(nèi)逐漸“長(zhǎng)大”;

選擇點(diǎn)E，在編輯中選擇【操作類按鈕】→【動(dòng)畫】，生成【動(dòng)畫點(diǎn)】按鈕，點(diǎn)擊按鈕，點(diǎn)E會(huì)在弧CD上變化，從而形成“隨風(fēng)搖曳”的勾股樹。

三、分形幾何的價(jià)值

1.美學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)不僅僅有枯燥的符號(hào)、復(fù)雜的公式以及抽象的計(jì)算步驟，它還常常在不經(jīng)意間給人以美的感受。一般來講，數(shù)學(xué)的美具有三大特征：簡(jiǎn)單性、協(xié)調(diào)性、奇異性，數(shù)學(xué)之美的表現(xiàn)形式也是多樣的，通常體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)概念、命題、公式、圖形、結(jié)構(gòu)、證明、推理等。分形幾何作為幾何學(xué)中一股新的分支，體現(xiàn)了眾多的數(shù)學(xué)美，在這里，我們來討論分形幾何是如何從圖形的角度體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的。

（1）從整體來看，勾股樹像是自然界中一棵盛放的樹，具有①簡(jiǎn)單美：一是勾股圖是僅由直角三角形及其三邊分別形成的三個(gè)正方形所構(gòu)成的圖形;二是所有的勾股樹只需在勾股圖的基礎(chǔ)上根據(jù)迭代規(guī)則，改變迭代次數(shù)即可得到。②協(xié)調(diào)美：盛放的勾股樹看似是雜亂無章的圖形的堆積，實(shí)際上是每個(gè)正方形按照迭代的規(guī)則，以一定的先后順序邏輯清晰地排列所形成的樹狀結(jié)構(gòu)。③奇異美[2]：和著名的Koch曲線、謝爾賓斯基地毯類似，這類分形圖是由簡(jiǎn)單的生成元，按照獨(dú)特的迭代規(guī)則迭代多次之后所得到的，因不具有明確的奇偶性或是單調(diào)性，常常會(huì)產(chǎn)生出乎意料的美學(xué)效果。

（2）從細(xì)節(jié)來看，由勾股數(shù)的制作過程可以看出，在迭代的不同階段以及不同迭代次數(shù)下，體現(xiàn)出了不同的數(shù)學(xué)之美。①對(duì)稱美：在第二步深度迭代過程中，當(dāng)參數(shù)n的值分別為2和3時(shí)，會(huì)得到圖3和圖4所示的三代勾股樹和四代勾股樹。通過觀察可以看到，四代勾股樹只是在三代勾股樹的基礎(chǔ)上，對(duì)其“樹梢”的每一個(gè)正方形進(jìn)行一次迭代，將原來的8個(gè)正方形增加到了16個(gè)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，這里所說的對(duì)稱并不是圖形完全按照某一個(gè)對(duì)稱軸而形成對(duì)稱圖形，而是指在迭代出新的圖形的過程中，左右兩邊生成的像的個(gè)數(shù)是相等的。與此類似的還有，在奧林匹亞宙斯神廟的西門的三角楣上的雕塑，中線兩邊的人數(shù)是相等的，兩邊的雕塑卻有著很大的差別，但是它卻形成了獨(dú)特的對(duì)稱美。②結(jié)構(gòu)美：迭代通俗來講就是由自身生成自身的過程，若將生成的圖形按照一定規(guī)則進(jìn)行組合之后，就會(huì)形成各種結(jié)構(gòu)優(yōu)美的分形圖。在勾股樹中，一方面，對(duì)每一步生成的圖形依據(jù)色彩以及布局按照迭代規(guī)則進(jìn)行搭配，會(huì)得到一棵茁壯成長(zhǎng)的勾股樹，體現(xiàn)了分形圖的結(jié)構(gòu)美;另一方面，分形幾何所具有的極強(qiáng)的自相似性，任何一部分圖形都可以當(dāng)作是整體的縮小，并且一個(gè)整體圖形也可以當(dāng)作任何一部分的放大，具體來看，其任何一部分的生長(zhǎng)趨勢(shì)都與勾股圖是具有一致性的，這也體現(xiàn)出分形圖的結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性。③動(dòng)態(tài)美：數(shù)學(xué)是一門變化多端的學(xué)科，它的變化使數(shù)學(xué)充滿了無限的生機(jī)與活力，同時(shí)給人一種“眼前一亮”的感覺，使更多的人忍不住去發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)的奧秘。在幾何畫板制作勾股樹的過程中，設(shè)置的【動(dòng)畫參數(shù)】、【動(dòng)畫點(diǎn)】按鈕實(shí)現(xiàn)了勾股樹的大小、顏色以及形態(tài)在參數(shù)范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化，這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，又能夠激起學(xué)生對(duì)勾股樹的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生去探究勾股樹的變化。

勾股樹的形成一方面體現(xiàn)了勾股定理與迭代在幾何畫板中的應(yīng)用，另一方面也盡可能地與藝術(shù)相結(jié)合，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股樹的同時(shí)盡可能多地體會(huì)數(shù)學(xué)之美，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.教育價(jià)值

（1）發(fā)展學(xué)生的抽象思維。曼德布羅特在創(chuàng)立分形幾何的時(shí)候，打破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)幾何邏輯的束縛，通過抽象思維給出了分形幾何的定義。在中小學(xué)階段，學(xué)生所學(xué)習(xí)的幾何圖形絕大多數(shù)都是歐氏幾何，無論是平面幾何（長(zhǎng)方形、正方形、圓形等）還是立體幾何（長(zhǎng)方體、正方體、球體等），都屬于歐氏幾何。而要將分形幾何引入中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，就需要打破原有的思維模式，引導(dǎo)學(xué)生用抽象思維在歐氏幾何的基礎(chǔ)上建立起分形幾何的模型。勾股樹作為分形幾何的基礎(chǔ)，在幾何畫板中，不斷增大n（迭代次數(shù)）的值，就會(huì)逐漸形成枝葉繁茂的一棵勾股樹，讓學(xué)生親自體會(huì)勾股樹的變化過程，自發(fā)感受分形幾何和歐式幾何的區(qū)別，這在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。

（2）培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維。辯證唯物主義認(rèn)為，任何事物都是矛盾的共同體，并按照其固有的規(guī)律發(fā)展、變化著，因此，在勾股樹中也蘊(yùn)含著豐富的辯證唯物主義觀點(diǎn)。①對(duì)立與統(tǒng)一：從勾股樹的制作過程中可以發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單的生成元經(jīng)過多次迭代之后就會(huì)生成一棵復(fù)雜多樣的勾股樹，這其中便體現(xiàn)出簡(jiǎn)單與復(fù)雜的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系;②事物都是普遍聯(lián)系的：在幾何畫板制圖的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)改變生成元的大小或者圖3中點(diǎn)E的位置時(shí)，勾股樹的大小、形狀就會(huì)發(fā)生變化，這表明勾股樹中的每一部分并不是孤立存在的，而是普遍聯(lián)系的。在教學(xué)過程中，讓學(xué)生親自去感受勾股樹中所體現(xiàn)的辯證主義思想，可以培養(yǎng)他們用辯證的思維去看待問題。

（3）培養(yǎng)學(xué)生的審美能力。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，和我們的生活息息相關(guān)。無論是壁畫中線條的勾勒，還是建筑中磚瓦的走勢(shì)，都和數(shù)學(xué)息息相關(guān)，很多常見的圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中都是有蹤跡可尋的，這些圖形在數(shù)學(xué)課本中出現(xiàn)無一不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美。隨著分形幾何知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的融入，將生活中的圖形與分形幾何結(jié)合起來，給了學(xué)生更多發(fā)現(xiàn)美的機(jī)會(huì)，勾股樹不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)在圖形中的體現(xiàn)，更是自然界和數(shù)學(xué)的融合，學(xué)生通過直觀想象可以感受分形幾何的美，使數(shù)學(xué)之美得到延伸與發(fā)展，在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生受到美的熏陶，從而發(fā)展學(xué)生的審美能力并培養(yǎng)其直觀想象的核心素養(yǎng)。

（4）提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。中學(xué)的數(shù)學(xué)教材中更多的是縝密的邏輯和抽象的公式，對(duì)部分學(xué)生來說，對(duì)這些公式和理論進(jìn)行理解是比較困難的，學(xué)生會(huì)覺得數(shù)學(xué)是一門難以理解的科目，從而逐漸對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣，因此在教學(xué)過程中，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣便成了首要任務(wù)。分形幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的引入，打破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的模式，它給學(xué)生更多直觀的感受，基于幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生制作勾股樹，這種實(shí)踐探究式的教學(xué)能夠引起學(xué)生對(duì)勾股樹的制作過程的好奇心，并在好奇心的驅(qū)動(dòng)下，積極投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并且由于幾何畫板的直觀性，學(xué)生可以通過觀察大膽地猜想勾股樹的形狀、周長(zhǎng)、面積等，進(jìn)而驗(yàn)證結(jié)論，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，并有利于學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

作為教育理論的學(xué)習(xí)者和研究者，筆者在運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行分形圖形的制作時(shí)，對(duì)勾股樹的一些價(jià)值做了淺顯的探究，當(dāng)然，勾股樹作為勾股定理內(nèi)容的延伸，它的理論價(jià)值肯定不止這些，并且隨著信息技術(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的逐漸普及以及分形知識(shí)在中學(xué)教材中的不斷深入，勾股樹這一類分形幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的作用也會(huì)越來越顯著，無論是從教師自身的發(fā)展還是對(duì)于學(xué)生的培養(yǎng)，都值得我們做更深一步的研究。

[參考文獻(xiàn)]

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[2]金瑩，羅苑華.在《幾何畫板》中探索軌跡問題，展示數(shù)學(xué)美[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（18）：19-21.

作者簡(jiǎn)介：翟玉秀（1996—），女，揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2019級(jí)碩士在讀，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。