巧用“旋轉(zhuǎn)變換”添加輔助線

馬猛

【摘要】平面幾何輔助線的添加是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)變換思想添加輔助線學(xué)生更是不易掌握，本文通過(guò)幾個(gè)例題總結(jié)利用旋轉(zhuǎn)變換思想添加輔助線的規(guī)律和技巧。

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)變換? ?輔助線? ?轉(zhuǎn)化

【中圖分類號(hào)】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1992-7711（2020）20-126-02

平面幾何的輔助線添加對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)一直是不易突破的難點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)妮o助線添加往往可使一道不易解決的問(wèn)題突然柳暗花明，對(duì)復(fù)雜的幾何問(wèn)題往往起到撥云見(jiàn)日的效果。而輔助線的添加 又常具有一定的規(guī)律性和技巧性，下面就從利用旋轉(zhuǎn)思想添加輔助線加以總結(jié)。

知識(shí)基礎(chǔ)

旋轉(zhuǎn)定義：一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心），沿一個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針），旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）。

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：

1.旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等。（對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等）

2.旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

3.對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心的連線夾角相等。（都等于旋轉(zhuǎn)角）

題型一? ?等邊三角形中的“旋轉(zhuǎn)”

例? 已知：如圖，點(diǎn)P是正三角形△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得△P'AB.

（1）求點(diǎn)P、P'之間的距離

（2）求∠APB的度數(shù)

分析：?jiǎn)栴}中已告知△PAC與△P'AB是旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)圖形，因而具備旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，只需連接點(diǎn)P、P'，即可利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解得。

解：（1）連接點(diǎn)P、P'

由題意可知 △PAC≌△P'AB

易得∠P'AP =∠BAC=60°

∵P'A=PA? ? ? ? ? ? ∴△P'AP為等邊三角形

∴P'P =P'A=PA=6

（2）在△P'PB中，P'P =6，P'B=PC=10，BP=8

∴P'P2+BP2=P'B2? ? ? ? ? ∴△P'PB為Rt△，

∴∠P'PB=90°

由（1）知 ∠P'PA=60°

∴∠APB=150°

歸納：本題的圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，三條原本比較分散的已知線段得到集中，產(chǎn)生了特殊的等邊三角形和直角三角形，從而問(wèn)題得解。

變式：（2019 巴中）如圖 ，等邊三角形△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接AP、BP、CP，若PA=6，BP=8，CP=10，求S△ABP+S△BPC的值。

分析：三角形求面積，常規(guī)的方法是須知道三角形的底和底上的高的值，利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算。但此問(wèn)題中兩個(gè)需要求面積的三角形雖知道一邊長(zhǎng)，但無(wú)法求出此邊上的高。題目中線段6，8，10雖是熟悉的勾股數(shù)，但線段分散，無(wú)法建立直角三角形，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)，使三條線段進(jìn)行集中，把要求的兩個(gè)普通三角形轉(zhuǎn)化為特殊的圖形面積進(jìn)行計(jì)算。

解：∵等邊三角形△ABC

將△BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使BC與BA重合，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P'處（如圖）

連接點(diǎn)P、P'

由旋轉(zhuǎn)可知，P'B=PB=8? ，P'A=PC=10

∠P'BP =∠ABC=60° ∴△P'BP為等邊三角形

∴P'P =P'B=BP=8

在△P'PA中，P'P =8，P'A=10，PA=6

∴P'P2+AP2=P'A2? ? ? ? ? ? ? ∴△P'PA為Rt△

S△ABP+S△BPC=S△ABP+S△BP'A

=S△P'BP+S△P'PA=16? 3+24

歸納：本題方法思路與上個(gè)例題十分接近，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，把兩個(gè)普通的三角形面積轉(zhuǎn)化為特殊的三角形面積進(jìn)行計(jì)算，不再贅述。

類型二? ?正方形中的“旋轉(zhuǎn)”

例 已知：如圖? 正方形ABCD，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，且∠EAF=45°.

求證：EF=BE+DF

分析：題目求三條線段間的和差關(guān)系，但三條線段比較分散，需通過(guò)恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線，把線段集中，把不易證明的多條線段和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段相等關(guān)系，即把線段BE、DF集中成為一條線段即可。

證明：∵正方形ABCD

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AD與AB 重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F'，如圖

由旋轉(zhuǎn)可知，DF=BF'，

AF=AF'，

∠ABF'=∠ADF =∠ABC= 90°

∴點(diǎn)F'、B、E在一條直線上

∠BAF'=∠DAF

又∵∠EAF=45°

∴∠BAE+∠DAF=45°

∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=45°

∴∠EAF'=∠EAF

又∵AE=AE， AF'=AF

∴△EAF≌△EAF'

∴EF=EF'

∵EF'=BE+ BF'=BE+DF

∴EF=BE+DF

變式：已知： 如圖? 正方形ABCD，M為BC邊上任一點(diǎn)，AN平分∠DAM，交CD邊于點(diǎn)N.

求證：AM=BM+DN

分析：與上面例題類似，我們可以通過(guò)恰當(dāng)?shù)膱D形變換，將線段BM、DN進(jìn)行集中，把線段的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的相等關(guān)系。

證明：∵正方形ABCD

將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD 重合，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M'，如圖

由旋轉(zhuǎn)可知，

BM=DM'， AM=AM'， ∠DAM'=∠BAM，

∠ADM'=∠ABM =∠ADC= 90°，

∴點(diǎn)M'、D、N在一條直線上

∵AN平分∠DAM

∴∠DAN=∠MAN

∴∠DAM'+∠DAN =∠BAM+∠MAN

即∠M'AN=∠BAN

又∵AB∥CD

∴∠BAN=∠M'NA

∴∠M'AN=∠M'NA

∴M'A=M'N

又∵M(jìn)'N= M'D+DN=BM+DN

∴AM= M'A=M'N=BM+DN

歸納：在正方形中證明線段的和差關(guān)系，且線段比較分散，可以借助旋轉(zhuǎn)變換，將線段改變位置，從而把多條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的線段相等關(guān)系來(lái)證明。

題型三? ?多邊形中的“旋轉(zhuǎn)”

例 已知：如圖 五邊形ABCDE中，∠ABC =∠AED= 90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，求S五邊形ABCDE.

分析：題目中圖形為不常見(jiàn)的不規(guī)則五邊形，其面積沒(méi)有固定可用的公式計(jì)算，需要轉(zhuǎn)化為有面積公式可用的規(guī)則圖形面積進(jìn)行計(jì)算。且題目所給的條件AB=CD=AE=BC+DE=2中，由于線段BC、DE較分散，不便于應(yīng)用BC+DE=2，因而需要把線段BC、DE進(jìn)行集中，最好轉(zhuǎn)化為一條線段以便應(yīng)用。

解：如圖? 連接AC、AD，

∵AB=AE

將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AE 重合，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，如圖

由旋轉(zhuǎn)可知，BC=EC'， AC=AC'，

∠BAC=∠EAC'，∠AEC'=∠ABC

=∠AED= 90°，

∴點(diǎn)C'、E、D在一條直線上

∵AB=CD=AE=BC+DE=2

DC'=DE+ EC'=DE+BC=2

∴S△DAC'=? ? ·DC'·AE=2

又∵AD=AD'，AC= AC'，CD= DC'

∴△DAC≌△DAC'

∴S△DAC= S△DAC'=2

∴S五邊形ABCDE= S△BAC+ S△DAC+ S△DAE

= S△EAC'+ S△DAC+ S△DAE

=S△DAC+S△DAC'=4

歸納：本題通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將不規(guī)則的五邊形面積轉(zhuǎn)化為易求面積的兩個(gè)全等三角形面積進(jìn)行計(jì)算。

總結(jié)：1.通過(guò)變換題目條件或圖形，使條件或結(jié)論發(fā)生轉(zhuǎn)化，是解決問(wèn)題的一個(gè)常見(jiàn)思路，旋轉(zhuǎn)變換的使用往往能起到關(guān)鍵作用。

2.旋轉(zhuǎn)變換是添加輔助線改造原圖形的一個(gè)啟發(fā)，有一定的規(guī)律性，往往通過(guò)選擇有公共頂點(diǎn)的相等線段作為旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊。

3.旋轉(zhuǎn)的目的經(jīng)常是使分散的條件更加集中。

4.在等腰直角三角形、等邊三角形、正方形等特殊的圖形中更常使用旋轉(zhuǎn)變換方法解決問(wèn)題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]《平面幾何旋轉(zhuǎn)變換解題方法》郭琦如 2001年9月《貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào)》.

[2]《中外數(shù)學(xué)競(jìng)賽集錦》劉鴻坤.沈陽(yáng)教育出版社.1988 .