偏導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用

摘 要：函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學中的最基本的概念之一，也是高等數(shù)學中的核心概念之一，并且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有著極其廣泛的應(yīng)用。尤其是在實際生活中的應(yīng)用是最常見的。本文主要探討如何利用偏導(dǎo)數(shù)求解實際生活中的條件極值，最值等優(yōu)化問題，以及最小二乘法的應(yīng)用.如有不當之處，望讀者給予批評指正。

關(guān)鍵詞：偏導(dǎo)數(shù);條件極值;最值;最小二乘法;生活應(yīng)用

一、最優(yōu)化問題

函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學中最重要核心概念之一，其本質(zhì)反映的是函數(shù)關(guān)于自變量中的

某一個的變化率問題。在實際的生活中，常常利用偏導(dǎo)數(shù)求條件極值，最值等最優(yōu)化問題。

在多元函數(shù)極值問題中，當自變量各自獨立不受任何限制時，通常稱這種極值為無條件

極值. 然而在實際問題中，我們所遇到的許多關(guān)于極值問題，往往對自變量還有一定的條件進行約束，我們將這種自變量帶有約束條件的極值稱為條件極值。

比如，在半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中，求面積S最大的三角形。我們以 表示內(nèi)接三角形各邊所對應(yīng)的圓心角，則所給問題其實就是求目標函數(shù) ，在滿足約束條件 下的極值問題，也就是所謂的條件極值問題。

求解條件極值，最直接的方法就是想辦法將其轉(zhuǎn)化為無條件極值來處理。比如，對于上述條件極值問題，我們可將約束條件 表示為 ，然后，將其代入目標函數(shù)中，得到 ，再求此二元目標函數(shù)在有界閉區(qū)域 上最大值。

然而，只有當約束條件可以表示為顯函數(shù)形式的條件極值問題，才可以轉(zhuǎn)化為無條件極值問題來求解，但是在實際應(yīng)用中，許多情況是約束條件為隱函數(shù)的形式，我們很難將其表示為顯函數(shù)，因此我們必須尋求更為有效的求解條件極值的方法，即拉格朗日乘數(shù)法。.

以二元函數(shù)為例，設(shè)函數(shù) 及 在所考慮的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 不同時為零，求目標函數(shù) 在約束條件 下的極值. 具體步驟如下：

第1步 構(gòu)造輔助函數(shù) ，稱為拉格朗日函數(shù)，其中 稱為拉格朗日乘數(shù)。

第2步 建立聯(lián)立方程組

解出 ，其中 就是所求條件極值的可能極值點.

第3步 由實際問題本身的性質(zhì)判定點 是否為極值點，進而求出極值.

注1：.拉格朗日乘數(shù)法對于多元目標函數(shù)，以及約束條件多個的情形也適用，但約束條件的個數(shù)一定要小于目標函數(shù)中自變量的個數(shù);

目標函數(shù)的準確式，為了運算簡便，可以適當簡化 ，只要簡化后的函數(shù)與原來的目標函數(shù)有相同的極值點與極值即可 .例如目標函數(shù)為 而約束條件為 ， 條件極值問題，拉格朗日函數(shù)可簡化為 .

注3：拉格朗日乘數(shù) 前面的“+”號可以寫成“-”號，此時 的值只差一個正負號

并不影響極值的取得.

例1.求在半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中，求面積S最大的三角形.

由于半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中一定存在面積S最大的三角形，而可能最大

面積的三角形只有一個，所以，當圓內(nèi)接三角形為等邊三角形時面積最大。

二.最小二乘法

在實際生活中，對于許多經(jīng)濟管理問題，經(jīng)常需要研究某一種現(xiàn)象與影響它的某一個最主要因素之間的關(guān)系，比如在研究糧食產(chǎn)量時，在眾多影響糧食產(chǎn)量的因素中施肥量是一個最重要的因素，需要研究糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系;在消費問題的研究中，由于國民收入是影響消費的最主要因素，需要研究消費額與國民收入之間的關(guān)系等等 .為了找出這類問題中兩個變量之間的關(guān)系，往往根據(jù)兩個變量的幾組觀測值或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，找出這兩個變量的近似表達式，一般稱這樣的表達式為經(jīng)驗公式 .而一旦建立了經(jīng)驗公式，我們就可以將理論應(yīng)用于實踐，利用經(jīng)驗公式對自變量或因變量進行控制或預(yù)測，而最小二乘法是確定經(jīng)驗公式中未知參數(shù)的常用方法。

例2 某企業(yè)為了了解這種商品的收益情況，收集了這種商品在市場上的銷售量 （單位：千件）與獲得的利潤額 （單位：萬元）的幾組具體數(shù)據(jù)，如下表所示：

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)建立 與 之間的一個能使上述數(shù)據(jù)大體適合的函數(shù)關(guān)系 .

為此，在平面直角坐標系中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出實際數(shù)據(jù)的散點圖，從圖中，我們直觀分析這些點的分布規(guī)律. 如果這些點的連線大體在一條直線上，那么就用線性函數(shù)表示，否則就選取更為合適的其它非線性函數(shù)描述.

本例中，銷售量 與利潤額 的10組數(shù)據(jù)的散點圖可見，這些點的連線大致接近于一條直線，因此可以認為 是線性函數(shù)，不妨設(shè) 其中 、 為待定參數(shù).

參考文獻

[1] 江霞平. 導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用舉例[J]. 科技資訊，2013（15）.

[2] 羅蘊玲，安建業(yè)，程偉.高等數(shù)學及其應(yīng)用，第2版.北京;高等教育出版社.2016

[3] 羅蘊玲，楊卓，王秀紅，王穎，張景杰.伴你學數(shù)學---高等數(shù)學及其應(yīng)用導(dǎo)學，第二版. 北京;高等教育出版社.2016

[4] 《高等數(shù)學》（第七版）上、下冊，同濟大學數(shù)學系編，高等教育出版社

[5] 《高等數(shù)學例題與習題》 同濟大學高等數(shù)學教研室編，同濟大學出版社

作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。