關(guān)于留數(shù)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

徐彬

摘要：留數(shù)定理是留數(shù)理論的基礎(chǔ)，它為某些類型積分的計(jì)算提供了極為有效的方法，是教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。本文從定理的引入、定理的理解、定理的應(yīng)用三個(gè)方面對(duì)留數(shù)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討，并在教學(xué)中付諸實(shí)踐，旨在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生理解定理內(nèi)涵，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

關(guān)鍵詞：留數(shù)定理;教學(xué)設(shè)計(jì);教學(xué)實(shí)踐

留數(shù)定理是《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程中非常重要的一個(gè)定理，是教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。留數(shù)定理是留數(shù)理論的基礎(chǔ)，柯西-古薩定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的特殊情況。應(yīng)用留數(shù)定理可以把計(jì)算沿閉曲線的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理還可以計(jì)算一些定積分和廣義積分，其中有些積分，在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)計(jì)算過(guò)，但計(jì)算時(shí)比較復(fù)雜，用留數(shù)理論可以在分類后作統(tǒng)一處理，所以留數(shù)定理在作理論探討與實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義。

本文結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐，不斷總結(jié)多次教學(xué)中的優(yōu)缺點(diǎn)，從定理的引入、定理的理解、定理的應(yīng)用三個(gè)方面探索留數(shù)定理的教學(xué)方法，幫助學(xué)生更好地理解這部分內(nèi)容，達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。

1關(guān)于留數(shù)定理的引入

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)掌握了一些求復(fù)積分的方法，如：參數(shù)方程法、牛頓-萊布尼茲公式、柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、復(fù)合閉路定理等，這些方法可以解決一些復(fù)積分的求解問(wèn)題，但是遇到下面的問(wèn)題，以上方法就沒辦法解決了。

例1：計(jì)算

在教學(xué)的過(guò)程中，可以先給出例1，采用啟發(fā)式教學(xué)，請(qǐng)同學(xué)們先思考這個(gè)積分如何去求解，用之前學(xué)習(xí)過(guò)的求解復(fù)積分的方法是否可以解決，學(xué)生通過(guò)積極思考發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題用學(xué)過(guò)的方法沒辦法解決，這個(gè)時(shí)候可以告訴同學(xué)們將學(xué)習(xí)一種新的方法解決以上問(wèn)題。接下來(lái)的教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步引入留數(shù)的定義、留數(shù)定理以及用留數(shù)定理具體計(jì)算積分，學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)新內(nèi)容有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好的理解定理的內(nèi)容和應(yīng)用。

2留數(shù)及留數(shù)定理

定義1 如果z₀是f（z）的孤立奇點(diǎn)，函數(shù)f（z）在區(qū)域0<|z-z₀|0