動力學(xué)系統(tǒng)的同步問題及其控制器設(shè)計(jì)研究

許思遙 于懿 陳宇

摘 要 混沌系統(tǒng)作為一類特殊的動力學(xué)系統(tǒng)，它的同步問題在工程技術(shù)、生物學(xué)等領(lǐng)域受到極大重視?；诖?，我們對Genesio混沌系統(tǒng)的同步問題進(jìn)行研究。我們考慮Genesio系統(tǒng)在參數(shù)已知及參數(shù)未知情況下的同步控制器設(shè)計(jì)，然后通過 Lyapunov 穩(wěn)定性分析使得所設(shè)計(jì)的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號漸近穩(wěn)定。最后我們通過 Matlab/Simulink 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)出的控制方法是有效的。

關(guān)鍵詞 混沌系統(tǒng);控制器;微分方程;同步

引言

混沌是指確定性動力學(xué)系統(tǒng)因?qū)Τ踔得舾卸憩F(xiàn)出的不可預(yù)測的、隨機(jī)性運(yùn)動[1-3]?；煦缤剑瑥目傮w上說，屬于混沌控制的范疇，它是指兩個混沌系統(tǒng)在耦合作用下使其混沌運(yùn)動達(dá)到一致的過程。許多混沌控制方法可以應(yīng)用于混沌同步，反之亦然。1990年，美國海軍實(shí)驗(yàn)室的L. M.Pecora和T. L. Carrol提出混沌自同步方法，首次利用驅(qū)動-響應(yīng)法實(shí)現(xiàn)了兩個混沌系統(tǒng)同步，從而拉開了混沌同步方法研究與應(yīng)用的序幕[4-5]?；煦缦到y(tǒng)的同步問題在信息技術(shù)、保密通信等眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用背景，從而受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注[6-8]。

正是由于這些原因，我們對Genesio混沌系統(tǒng)的同步問題進(jìn)行研究，首先考慮Genesio系統(tǒng)在參數(shù)已知及參數(shù)未知情況下的同步控制器設(shè)計(jì)，然后通過Lyapunov穩(wěn)定性分析使得所設(shè)計(jì)的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號漸近穩(wěn)定。最后，我們利用 Matlab/Simulink 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)出的控制方法是有效的。

1主要內(nèi)容

本文主要研究一類混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)名稱為Genesio系統(tǒng)，表達(dá)式如下：

其中a=6，b=2.92，c=1.2，系統(tǒng)混沌。

1.1 參數(shù)已知時Genesio系統(tǒng)的同步控制器設(shè)計(jì)

將兩個初值不同的Genesio系統(tǒng)表示為驅(qū)動系統(tǒng)S1和響應(yīng)系統(tǒng)S2：

（2-1）

（2-2）

其中u1，u2，u3為控制信號。

定義偏差

（2-3）

得到如下系統(tǒng)誤差，

（2-4）

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

（2-5）

其導(dǎo)數(shù)為

（2-6）

構(gòu)造控制器：

（2-7）

將式（2-4）和式（2-7）代入式（2-6）得

（2-8）

此時滿足條件：

（2-9）

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，有

（2-10）

即加入控制信號后，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以有效地同步。

1.2 參數(shù)未知時Genesio系統(tǒng)的同步控制器設(shè)計(jì)

考慮驅(qū)動系統(tǒng)的參數(shù)已知，而響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)未知的情況。則驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)寫為

（2-11）

（2-12）

其中a1=6，b1=2.92，c1=1.2，a2，b2，c2未知。

定義偏差：

（2-13）

得到如下系統(tǒng)誤差，

（2-14）

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

（2-15）

其導(dǎo)數(shù)為

（2-16）

構(gòu)造控制器

（2-17）

有m1>0，m2>0，m3>0。參數(shù)的自適應(yīng)律為

（2-18）

將式（2-14）、式（2-17）和式（2-18）帶入式（2-16）得

（2-19）

選取任意m1>0，m2>0，m3>-c1，m4，m5，m6>0則有

（2-20）

取m1=10，m2=10，m3=5，m4=m5=m6=1。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)誤差（2-13）接近穩(wěn)定，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以有效地同步。

1.3 Matlab仿真實(shí)驗(yàn)

（1）參數(shù)已知的Genesio系統(tǒng)

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)初始值為（x1，y1，z1）=（0.2，0.1，-0.2），響應(yīng)系統(tǒng)初始值為（x2，y2，z2）=（0.5，0.3，-0.4）。仿真結(jié)果如圖1所示：

根據(jù)仿真曲線我們看到，參數(shù)已知的兩個Genesio系統(tǒng)的誤差趨近于0，這表明所設(shè)計(jì)的控制器可以使參數(shù)已知的兩個Genesio系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。

（2）參數(shù)未知的Genesio系統(tǒng)

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)初始值為（x1，y1，z1）=（0.2，0.1，-0.2），響應(yīng)系統(tǒng)初始值為（x2，y2，z2）=（0.5，0.3，-0.4）。響應(yīng)系統(tǒng)未知參數(shù)估計(jì)的初始值為（a2，b2，c2）=（1，1，3）。仿真結(jié)果如圖2：

根據(jù)仿真曲線我們看到參數(shù)未知的兩個Genesio系統(tǒng)誤差趨近于0，這表明所設(shè)計(jì)的控制器可以使參數(shù)未知的兩個Genesio系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。

2結(jié)論及展望

本文討論了Genesio系統(tǒng)的同步及其控制器的設(shè)計(jì)問題，將混沌系統(tǒng)的同步化問題轉(zhuǎn)化為混沌同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)計(jì)出同步控制器。目前我們只對Genesio系統(tǒng)進(jìn)行了相關(guān)控制器設(shè)計(jì)，接下來我們還會在更多混沌系統(tǒng)上進(jìn)行相關(guān)控制器設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步[M].北京：科學(xué)出版社，2003：52.

[2] 方錦清.駕馭混沌與發(fā)展高新技術(shù)[M].北京：原子能出版社，2002：29.

[3] 王興遠(yuǎn).復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌[M].北京：電子工業(yè)出版社， 2004：76.

[4] 李飛飛.混沌同步方法及應(yīng)用研究[D].南京：南京航天航空大學(xué)，2007.

[5] 張學(xué)義.混沌同步及其在同心中的應(yīng)用研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2001，

[6] Lorenz E N.Deterministic nonperodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20（2）：130-141.

[7] D. Ruelle，F(xiàn). Takes.On the nature pf turbulence[J].Communications in Mathematical Physics，1971，20（1）：167-192.

[8] Li T Y，Yorke J A.Period three implies chaos[J].The American Mathematical Monthly，1975，82（10）：985-992.

作者簡介

許思遙，女，華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生。

于懿，女，華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生。

陳宇，男，華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生。