關(guān)注運(yùn)算能力發(fā)展的計(jì)算教學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)

宋曉春

（廈門市同安區(qū)第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 廈門 361109）

計(jì)算教學(xué)中的習(xí)題，很多是純粹的計(jì)算類練習(xí)，比如“口算”“列豎式計(jì)算”“脫式計(jì)算”等，其目標(biāo)指向是訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算技能，提高學(xué)生運(yùn)算的速度和正確率。這樣的習(xí)題設(shè)計(jì)關(guān)注的僅僅是計(jì)算的結(jié)果，即停留在“會(huì)計(jì)算，能算對(duì)”的運(yùn)算技能培養(yǎng)。這樣的運(yùn)算訓(xùn)練是機(jī)械的、重復(fù)的，往往給學(xué)生留下“計(jì)算枯燥無味”的印象，也容易導(dǎo)致學(xué)生思維刻板。在新課程改革以及關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的時(shí)代背景之下，數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)不能僅僅關(guān)注運(yùn)算技能，更要關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題?！卑l(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，可促進(jìn)學(xué)生理解運(yùn)算意義，明晰運(yùn)算原理，掌握運(yùn)算方法，選擇運(yùn)算途徑，學(xué)會(huì)正確、合理、靈活地計(jì)算。

一、豐富現(xiàn)實(shí)原型，促運(yùn)算意義理解

運(yùn)算意義是學(xué)生學(xué)習(xí)具體運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是解決相關(guān)實(shí)際問題的依據(jù)。把握準(zhǔn)確、深刻的運(yùn)算意義，才能發(fā)展運(yùn)算能力。運(yùn)算意義的獲得，是學(xué)生從現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)，不斷抽象、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程。張奠宙教授指出，數(shù)學(xué)中的基本概念和基本算法都可以叫作數(shù)學(xué)模型，加減乘除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的。教師在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)，可多提供豐富的現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)學(xué)生在辨析、比較、體驗(yàn)多種現(xiàn)實(shí)原型中尋找基本原型，不斷抽象加、減、乘、除運(yùn)算的意義。加法的原型可以是“合并”“移入”“增加”等，基本原型是“合并”；減法的原型有“剩余”“相差”“加法的逆運(yùn)算”等，基本原型是“求部分?jǐn)?shù)”；乘法的原型有“幾個(gè)相同加數(shù)的和”“倍的問題”“面積”等，基本原型是“幾個(gè)相同加數(shù)的和”；除法的原型有“平均分”“比率”或乘法逆運(yùn)算等，基本原型是“平均分”。例如，教師可運(yùn)用文字描述豐富的現(xiàn)實(shí)情境，提供以下現(xiàn)實(shí)原型：

以下四個(gè)問題中，不可以用25×5 這個(gè)算式解答的數(shù)學(xué)問題是（ ）。

A.三年級(jí)參加足球興趣小組的有男生25 人，女生5 人，一共有學(xué)生多少人？

B.街道綠化工程，種了25 棵楊樹，種的柳樹是楊樹的5 倍，種了多少棵柳樹？

C.學(xué)生做操，每排站了25 人，排了5 排，一共有多少人?

D.一個(gè)長方形的長是25cm，寬是5cm，面積是多少平方厘米？

這些選項(xiàng)里有加法的現(xiàn)實(shí)原型，也有乘法的現(xiàn)實(shí)原型。學(xué)生在不同的情境中抽象出現(xiàn)實(shí)原型，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)乘法的三種現(xiàn)實(shí)原型“幾個(gè)相同加數(shù)的和”“倍的問題”“面積”的本質(zhì)是相同的。比如B 選項(xiàng)中“倍的問題”，教師通過畫圖，讓學(xué)生體會(huì)到“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”，即“求幾個(gè)幾是多少”，也就是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”。D 選項(xiàng)中“長方形的面積”問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶面積公式的推導(dǎo)過程，明晰求一個(gè)長方形的面積是多少，相當(dāng)于求這個(gè)長方形可以擺幾個(gè)邊長1cm 的小方格，長方形的長相當(dāng)于每排擺了幾個(gè)，寬相當(dāng)于擺了幾排，長×寬相當(dāng)于“每排擺幾個(gè)×擺幾排”，其實(shí)質(zhì)也是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”。由此，學(xué)生認(rèn)識(shí)到乘法的基本原型是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”，對(duì)乘法意義的認(rèn)識(shí)更加深刻到位。

二、呈現(xiàn)多元表征，促運(yùn)算原理明晰

學(xué)生不僅要“會(huì)算”，還要明白“為什么這樣算”，即明白“算理”。算理是運(yùn)算的原理。曹培英指出，算理是運(yùn)算能力的核心成分，它與算法構(gòu)成運(yùn)算能力的“一體兩翼”。以往的習(xí)題設(shè)計(jì)更多的是關(guān)注學(xué)生計(jì)算的結(jié)果，關(guān)注學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率，忽視對(duì)學(xué)生計(jì)算過程的關(guān)注，忽視學(xué)生是否真正理解算理而不只是機(jī)械地計(jì)算。教師在進(jìn)行計(jì)算習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，呈現(xiàn)多種表征方式，引導(dǎo)學(xué)生聚焦不同的表征方式背后相同的算理，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理結(jié)構(gòu)化的理解。下面以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法”的習(xí)題設(shè)計(jì)為例。

1.與口算勾聯(lián)

口算是豎式計(jì)算基礎(chǔ)，有些口算的過程和豎式計(jì)算的算理在本質(zhì)上是一致的。這時(shí)，可以對(duì)比口算與豎式計(jì)算，溝通兩者的聯(lián)系，進(jìn)行勾聯(lián)。習(xí)題設(shè)計(jì)如下：

下面是小明口算一道題的過程。請(qǐng)問，他計(jì)算的乘法算式是（ ）

16×10＝160

16×2＝32

160+32＝192

2.與直觀模型勾連

在算理教學(xué)過程中，往往要借助一定的直觀模型幫助學(xué)生理解算理。這些直觀模型有小棒、計(jì)數(shù)器、點(diǎn)子圖、格子圖、數(shù)軸等。在習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，可以將豎式與直觀模型勾連，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的領(lǐng)悟。習(xí)題設(shè)計(jì)如下：

3.與具體情境勾連

在具體的情境中理解列豎式計(jì)算每一步的含義，讓學(xué)生對(duì)算理的理解有了情境的直觀化依托。習(xí)題設(shè)計(jì)如下：

陳師傅平均每小時(shí)做19 個(gè)零件，那么工作13 小時(shí)做了多少個(gè)零件？在下列豎式中箭頭表示（ ）

A.工作3 小時(shí)做了190 個(gè)零件。

B.工作10 小時(shí)做了19 個(gè)零件。

C.工作10 小時(shí)做了190 個(gè)零件。

D.工作13 小時(shí)做了190 個(gè)零件。

4.在“去情境化”中抽象

習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，拋開口算、直觀模型、情境等依托，從算理本質(zhì)入手，直接用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征算理。這就是“去情境化”練習(xí)，可以提高學(xué)生對(duì)算理的抽象化理解水平。習(xí)題設(shè)計(jì)如下：

在19 乘13 的豎式中，箭頭這一步表示的是（ ）

A.10 個(gè)19 的和

B.13 個(gè)19 的和

C.1 個(gè)19 的和

D.3 個(gè)19 的和

三、重視理法融合，促運(yùn)算方法掌握

算法是計(jì)算的程序和要領(lǐng)，重在對(duì)算理的提煉和總結(jié)。算理和算法相互融合，共同支撐運(yùn)算能力的形成。習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，重視算理算法相互融合，促進(jìn)學(xué)生掌握運(yùn)算方法。

1.加強(qiáng)算法的比較

計(jì)算算法多樣化，可以加強(qiáng)不同算法之間的比較，分析異同點(diǎn)，在比較分析中進(jìn)一步聚焦計(jì)算本質(zhì)。如“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算，可以運(yùn)用“格子乘法”和“多層列豎式”法，請(qǐng)學(xué)生觀察對(duì)比，習(xí)題設(shè)計(jì)如下：

以上兩題借助數(shù)學(xué)史上的算法，開闊學(xué)生的視野，同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生觀察、比較、分析“與熟悉的豎式算法”的異同點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生理解筆算乘法內(nèi)在的本質(zhì)。不管是哪種方法，實(shí)質(zhì)都是將拆分成的幾個(gè)幾、幾十個(gè)幾、幾百個(gè)幾等用豎式加以記錄，本質(zhì)上都是相同計(jì)數(shù)單位的累加。

2.突顯算法的“關(guān)鍵步驟”

算法中有“關(guān)鍵步驟”，習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)可以突顯“關(guān)鍵步驟”，在關(guān)鍵處理法融合，在關(guān)鍵處強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生掌握算法，不易出錯(cuò)。如“三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”算法是：從被除數(shù)的最高位除起，如果最高位不夠除，就看被除數(shù)的前兩位，除到哪一位時(shí)，商就寫在哪一位上。在計(jì)算過程中，關(guān)鍵的一步是“判斷商的最高位”。這是計(jì)算的第一步，為順利進(jìn)行接下來的計(jì)算奠定基礎(chǔ)。針對(duì)這個(gè)“關(guān)鍵步驟”，教師可以先設(shè)計(jì)習(xí)題“要使口76÷6 的商是兩位數(shù)，口中最大能填()”。學(xué)生在觀察、討論、交流的基礎(chǔ)上，小結(jié)出“被除數(shù)的最高位大于或等于6 時(shí)，商是三位數(shù)；被除數(shù)的最高位小于6 時(shí)，商是兩位數(shù)”。教師追問為什么，引發(fā)學(xué)生深思并理解“被除數(shù)的最高位小于6 時(shí)，不夠1個(gè)百，商的最高位只能在十位”。由此，算理算法相融，促學(xué)生深刻理解“判斷商的最高位”的方法。接著，教師設(shè)計(jì)“不計(jì)算，快速判斷下面的商是幾位數(shù)”的習(xí)題，進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生真正掌握“判斷商的最高位”的方法。

四、引導(dǎo)比較分析，促運(yùn)算途徑選擇

學(xué)生在解決純運(yùn)算問題，或者在解決實(shí)際問題的運(yùn)算決策與實(shí)施過程中，能根據(jù)問題的條件尋找并設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，這是學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的表現(xiàn)。教師在習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生的比較意識(shí)，使學(xué)生對(duì)問題的不同運(yùn)算途徑能夠及時(shí)分析比較，選擇合理、簡捷的運(yùn)算途徑。

1.改變習(xí)題設(shè)計(jì)的指導(dǎo)語

以往經(jīng)常用“口算”“估算”“筆算”“脫式計(jì)算”等指導(dǎo)語為學(xué)生指定運(yùn)算途徑，導(dǎo)致學(xué)生不需要思考就可以解決問題，或者滿足于一種運(yùn)算途徑，造成思維“僵化”“程式化”。教師可以將習(xí)題設(shè)計(jì)的指導(dǎo)語改為“選擇你喜歡的方法進(jìn)行計(jì)算”“你認(rèn)為怎樣簡便就怎樣算，記錄你的計(jì)算過程”“如果不列豎式，還可以怎樣算”等，給學(xué)生自主思考、自主選擇運(yùn)算途徑的機(jī)會(huì)。同時(shí)，教師調(diào)整跟進(jìn)相應(yīng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)比反思“解決這一個(gè)問題有哪些方法？哪個(gè)方法最簡捷？”等。

2.增加分析比較類習(xí)題

“計(jì)算”并不是一項(xiàng)機(jī)械化的工作，計(jì)算中也蘊(yùn)含著觀察、推理、分析、比較等思維成分。教師設(shè)計(jì)分析比較類的習(xí)題時(shí)，可引領(lǐng)學(xué)生感受單純的“計(jì)算”并不是解決問題的唯一方法。解決問題的運(yùn)算途徑多樣化，增強(qiáng)學(xué)生計(jì)算過程中分析思考的意識(shí)，積累豐富經(jīng)驗(yàn)，避免思維定式。如“判斷錯(cuò)題和連線找算式”這兩種題型，要求學(xué)生不要列豎式計(jì)算，而是運(yùn)用自己的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、判斷、說明。學(xué)生可以運(yùn)用乘積個(gè)位上的數(shù)字特征、估算比大小等多種策略進(jìn)行綜合分析，充分體驗(yàn)到不需要列豎式計(jì)算也可以快速作出判斷，其觀察能力、推理能力、估算能力、計(jì)算思維都得到發(fā)展。

題一：205×42=6023

不列豎式計(jì)算，請(qǐng)判斷上面這題是否出錯(cuò)？寫出你的判斷依據(jù)。

題二：不列豎式計(jì)算，直接判斷。（將左邊算式與右邊對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果連起來）

75×48 1794

26×69 3600

36×69 972

82×11 2484

81×12 902

總之，運(yùn)算能力是在學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育背景下提出來的一種重要的數(shù)學(xué)能力。教師在計(jì)算習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)鍵要發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力，實(shí)現(xiàn)正確、合理、靈活地計(jì)算。