基于狀態(tài)反饋線性化的矩陣變換器非線性控制

潘月斗，郭 凱，陳繼義，徐 杰

（北京科技大學 自動化學院，北京 100083）

0 引言

矩陣變換器MC（Matrix Converter）是一種復雜的柔性電力電子變換器，具有體積小、功率因數(shù)高等優(yōu)點，在交-交變換領域具有廣泛的發(fā)展前景［1-3］。

矩陣變換器由于省略了中間儲能環(huán)節(jié)，輸出電流性能非常容易受到輸入電壓畸變、三相負載不對稱等非正常工況的影響［4］。針對上述問題，文獻［5］提出一種新的非正常輸入電壓表示方法以及抗擾分量的概念，通過在整流調制矢量中引入抗擾分量來提高雙級矩陣變換器的輸出波形質量，但是低次諧波較多。文獻［6］采用輸入電壓不平衡補償?shù)碾p電壓合成控制方法，通過輸入電流調制策略進行控制，但是缺乏負載失衡條件下的仿真實驗驗證，僅對電網(wǎng)不對稱進行了理論分析和仿真。文獻［7］提出了一種考慮輸入線電壓干擾的補償算法，系統(tǒng)的控制律十分復雜，涉及指數(shù)運算，不適合在線控制，且全文僅對線電壓干擾進行了仿真分析和實驗，對負載電機的參數(shù)變化沒有加以實驗驗證。文獻［8］采用輸出電壓前饋補償策略來改善矩陣變換器在非正常工況下的輸出性能，但是開關頻率不固定，且算法較復雜，不易實現(xiàn)。文獻［9］引入了非線性控制中的無源性理論，建立了矩陣變換器的輸出端數(shù)學模型，采用重新分配系統(tǒng)能量和阻尼使系統(tǒng)達到預期的效果。文獻［10］建立了矩陣變換器輸出端歐拉-拉格朗日無源控制模型，設計出控制器，提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。

分析上述控制方法的優(yōu)勢和不足，本文首先建立了矩陣變換器輸出端的仿射非線性模型，然后通過坐標變換，得到dq坐標下的數(shù)學模型，通過狀態(tài)反饋線性化將其轉化成線性系統(tǒng)，得到新的狀態(tài)變量。在設計出狀態(tài)變量后，最后進行控制器的設計，實現(xiàn)對矩陣變換器的輸出電流控制。由于反饋線性化與傳統(tǒng)的利用泰勒級數(shù)展開的近似線性化不同，在線性化的過程中沒有忽略任何高階項，是精確且全局的線性化，因此狀態(tài)反饋線性化和傳統(tǒng)的控制方法相比能取得更好的控制效果。

1 矩陣變換器模型建立

本文選取的三相-三相矩陣變換器由9個雙向開關組成，每個開關具有雙向導通和關斷的功能，其拓撲結構如圖 1所示［11-13］。

圖1 9開關矩陣變換器拓撲結構Fig.1 Topology of 9-switch MC

圖中，輸出端電阻為 R，電感為 L；ua、ub、uc為矩陣變換器輸出端的a、b、c相的電壓。令un為三相負載中心的相電壓；ia、ib、ic為負載上 a、b、c 三相的電流。則矩陣變換器輸出側的電壓方程為：

對式（1）進行變換，引入 Park 變換矩陣［14-15］：

ω取期望的輸出角頻率ω0，則從a、b、c三相轉化成d、q兩相，可以得到：

將式（2）整理成仿射非線性系統(tǒng)的標準形式：

即有：

2 系統(tǒng)的相對階和精確線性化判斷

式（3）為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，為了得到一個完整的系統(tǒng)，構建輸出方程：

完整的仿射非線性系統(tǒng)為：

針對上述仿射非線性系統(tǒng)，求出該系統(tǒng)的相對階：

其中，Lg1為輸出函數(shù) h1對矢量場 g1（x）的導數(shù)；Lg2為輸出函數(shù)h2對矢量場g2（x）的導數(shù)；Lf為輸出函數(shù)h對矢量場 f（x）的導數(shù)。

從式（6）、（7）可以看出，系統(tǒng)的相對階 r=r1+r2=1+1=2，而系統(tǒng)的階次n=2，所以r=n。

根據(jù)式（5）可得系統(tǒng)的2個矢量場集合：

其中，D2為非奇異的，且D1、D2是對合的，系統(tǒng)滿足可精確線性化的2個條件，因此該系統(tǒng)可以進行狀態(tài)反饋線性化［18-19］。

3 矩陣變換器的非線性控制器設計

矩陣變換器的狀態(tài)反饋線性化系統(tǒng)的結構框圖如圖 2所示［20］。

圖2 矩陣變換器的狀態(tài)反饋線性化系統(tǒng)結構框圖Fig.2 Structural diagram of state feedback linearization system of MC

基于狀態(tài)反饋線性化理論的矩陣變換器控制器的設計步驟如下。

用 z1、z2代替 y1、y2，則式（3）可以化為：

整理式（10）得：

計算后可得：

將式（12）代入式（3）中，可得：

因此，當控制器為式（12）時，經(jīng)坐標變換后得到新線性系統(tǒng)即為式（13），顯然系統(tǒng)由一個非線性系統(tǒng)轉化成一個簡單的線性系統(tǒng)，控制器設計完畢。

為了實現(xiàn)輸出電流的跟蹤控制，同時考慮到系統(tǒng)參數(shù)可能對系統(tǒng)偏差造成影響，新的控制量可以按照下式進行選?。?/p>

其中，y1ref、y2ref分別為 y1、y2的期望值。

整理式（14），可得：

由式（14）和式（16）可以看出，調整式（14）中的kij（i=1，2；j=1，2，3），就可實現(xiàn)系統(tǒng)跟蹤誤差趨于零，保證系統(tǒng)的精確性和穩(wěn)定性。

4 控制系統(tǒng)仿真

為了驗證系統(tǒng)的正確性和有效性，利用MATLAB/Simulink進行仿真實驗。矩陣變換器采用雙空間矢量調制策略，該策略將矩陣變換器分成整流和逆變2個環(huán)節(jié)。狀態(tài)反饋線性化控制器的控制量id、iq作為虛擬整流環(huán)節(jié)的輸入相電流矢量。虛擬逆變環(huán)節(jié)的調制量由輸出線電壓空間矢量結合設定的輸出頻率得到，然后對虛擬逆變環(huán)節(jié)進行調制，最后將虛擬整流和逆變環(huán)節(jié)相結合得出矩陣變換器的開關組合。

矩陣變換器的開關器件采用理想的開關模型，矩陣變換器的具體參數(shù)為：電壓源電壓為220 V；輸入頻率f=50 Hz；輸入側電感Lf=1 mH，輸入側電容Cf=20 μF；輸出側電阻 R=5 Ω；輸出側電感 L=15 mH；輸出頻率f0=10 Hz；輸出功率Pout=1000 W。

由圖2可知，本次仿真要調整的參數(shù)為2個PID模塊中的6個參數(shù)，選?。篸軸上的增益k11=3000、k12=30、k13=2；q 軸上的增益 k21=2380、k22=20、k23=0。

下面針對三相輸入電壓不對稱和三相負載不對稱2種情況進行仿真。

4.1 三相輸入電壓不對稱情況

三相不平衡輸入電壓分別為：ua=200sin（ωt），ub=220sin（ωt-140°），uc=220sin（ωt-240°）。該情況下的仿真結果如圖3所示，圖中分別為id、iq的設定值。

當輸入電流為正弦波時，電流的有功分量為電流幅值，無功分量為零。從圖3中可以看出，id、iq的跟蹤效果很好，兩者均在0.02 s前達到設定值，id的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.2 A，iq的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1 A。變頻后的三相電流也有較好的波形。從a相電流的諧波分析圖可以看出a相電流的諧波含量為0.26%，諧波很小。

同樣的輸入電壓下，未采用反饋線性化方法時的輸出電流如圖4所示。

由圖4可見，未采用狀態(tài)反饋線性化控制方法時的輸出側電流波形出現(xiàn)不對稱，并且電流波形出現(xiàn)畸變，諧波含量較高，對電流的控制結果沒有狀態(tài)反饋線性化控制方法好。

圖3 三相輸入電壓不對稱時MC的輸出電流和a相諧波分析結果Fig.3 MC output current waveforms and phase-a harmonic current spectrum when three-phase voltage inputs are asymmetrical

圖4 未采用設計的控制器情況下，三相輸入電壓不對稱時MC的輸出電流及諧波分析結果Fig.4 Output currents and harmonic current spectrum of MC without designed controller when three-phase voltage inputs are asymmetrical

4.2 三相負載不對稱情況

令三相負載為：Ra=6 Ω，Rb=5 Ω，Rc=5 Ω；La=15 mH，Lb=15 mH，Lc=17 mH。此時負載不對稱，系統(tǒng)的仿真結果如圖5所示。

圖5 三相負載不對稱時MC的輸出電流和a相諧波分析結果Fig.5 MC output currents and phase-a harmonic current spectrum when three-phase loads are asymmetrical

由圖5可知，在三相電阻、電感均不平衡時，跟蹤電流id、iq依然能夠快速地趨于設定值，穩(wěn)態(tài)誤差均在0.2 A以內。a相的諧波含量為0.28%，含量很小。仿真結果說明在負載不平衡時，系統(tǒng)有良好的調控效果。

未采用反饋線性化方法情況下，負載不對稱時矩陣變換器的輸出電流及其諧波分析結果如圖6所示。

由圖6可見，未采用狀態(tài)反饋線性化控制方法時的輸出側電流波形諧波含量高，為2.18%，與狀態(tài)反饋線性化控制方法相比較，輸出電流在0.02 s之后才逐漸穩(wěn)定，由此可見狀態(tài)反饋控制方法具有更快的響應速度。

綜合上述2種非正常工況下的仿真結果可知，采用狀態(tài)反饋進行控制的系統(tǒng)響應速度快、抗干擾能力強，大幅提高了系統(tǒng)對輸出電流的控制能力。

5 硬件實現(xiàn)

圖6 未采用設計的控制器情況下，三相不對稱負載時MC的輸出電流波形及a相諧波分析結果Fig.6 Output current waveforms and phase-a harmonic current spectrum of MC without designed controller when three-phase loads are asymmetrical

圖7 硬件系統(tǒng)結構圖Fig.7 Structure of hardware system

為了驗證所設計的控制器的有效性，本文采用TI公司的TMS320F2812DSP設計矩陣變換器的樣機。圖7給出了硬件系統(tǒng)結構圖，采用的主要元器件為主控芯片2812DSP、電流傳感器CHB-25NP/SP6、電壓傳感器CHV-25P/50A、隔離光耦TLP250、大功率開關IGBT、大功率電阻等。硬件實驗參數(shù)為：三相輸入電壓220 V，相位互差120°，輸入側電容、電感、電阻和仿真一致，負載電阻R=5 Ω、電感L=15 mH?？紤]到電網(wǎng)電壓和負載每時刻不可能是完全對稱的，因此該實驗視為電網(wǎng)、負載不對稱情況下的綜合實驗。

矩陣變換器系統(tǒng)搭建完畢后調節(jié)系統(tǒng)，調試后得到示波器波形如圖8所示。從圖中可以看出經(jīng)過開關矩陣調節(jié)后，輸出側的電流波形理想。因此，本文從實物層面上證明了設計基于狀態(tài)反饋線性化的控制器對矩陣變換器有著良好的控制效果。

圖8 MC輸出側a相實際電流波形Fig.8 Phase-a current waveform of MC output

6 實驗現(xiàn)象原因分析

綜合對比狀態(tài)反饋線性化控制和常規(guī)控制作用下系統(tǒng)輸出電流波形可以發(fā)現(xiàn)：在系統(tǒng)本身的參數(shù)（電阻、電感）或者電源輸入變化時，常規(guī)控制的系統(tǒng)響應速度較慢（見圖3—6），并且輸出電流的諧波含量大（見圖4、6），常規(guī)控制作用下三相輸出電流不對稱，控制作用不明顯。造成這種現(xiàn)象的原因解釋為：式（2）所示的系統(tǒng)為非線性，由控制理論可以知道，常規(guī)控制方法（見圖2）只適合線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)就無能為力。由于狀態(tài)反饋線性化通過反饋作用把非線性系統(tǒng)變成了線性系統(tǒng)，即使被控對象的結構參數(shù)發(fā)生變化，通過實時反饋使得其保持線性系統(tǒng)的本質，因而對系統(tǒng)的參數(shù)變化具有很好的魯棒性和參數(shù)適應性。

7 結論

本文從狀態(tài)反饋線性化的角度出發(fā)設計矩陣變換器系統(tǒng)的控制器，充分利用了矩陣變換器的結構特性，從仿真以及硬件實驗可以得出以下結論：

a.該控制器物理意義清晰，參數(shù)調節(jié)方便；

b.與未采用狀態(tài)反饋線性化控制器的系統(tǒng)相比較，該控制器在輸入三相不對稱電壓、三相負載不平衡等特殊情況下，具有系統(tǒng)響應時間短、魯棒性強的優(yōu)勢；

c.矩陣變換器在反饋線性化的控制作用下，控制效果好，諧波含量很少，具有良好的工程應用前景。