高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)不定積分求法的分析

摘 要：在社會不斷發(fā)展和進(jìn)步的今天，各行各業(yè)都需要應(yīng)用數(shù)學(xué)來幫助企業(yè)的管理發(fā)展。高數(shù)已經(jīng)與我們的生活緊密相關(guān)，高等數(shù)學(xué)作為理工科的基礎(chǔ)學(xué)科，具有高度抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性的特點。本文旨在討論一元函數(shù)不定積分求法的解析，縮短學(xué)生學(xué)習(xí)的時間，減輕學(xué)習(xí)不定積分法的負(fù)擔(dān)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);一元函數(shù);不定積分;湊積分法

在數(shù)學(xué)積分學(xué)當(dāng)中，積分是微積分當(dāng)中的一個核心的概念，在一個函數(shù)中可以存在定積分而不存在不定積分;抑或是只存在定積分，而不存在不定積分。定積分和不定積分作為積分學(xué)中的兩個重要組成部分。定積分是用來求某種極限，是一個具體的數(shù)值;不定積分則作為逆運算的求導(dǎo)方法，作為一種函數(shù)表達(dá)式而存在。

1 不定積分的概念

在1677年的牛頓-布萊尼茨公式中提出，一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的增量。因此在函數(shù)定積分的計算就可以通過不定積分來簡便計算[1]。求解函數(shù)f（x）的不定積分，其含義就是求出f（x）所有的原函數(shù)。求出一個原函數(shù)，加上C（任意常數(shù)）就可以得到符合原函數(shù)性質(zhì)的不定積分。

2 探索不定積分多種解法的重要性

在解決一元函數(shù)不定積分計算中，通過其中的數(shù)學(xué)邏輯以及數(shù)學(xué)思想，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。也因為不定積分的靈活性對于培養(yǎng)發(fā)散性思維具有重要的作用。

在一道題目中存在數(shù)種不同的解題方法，如何在多種解題方法中選擇到最優(yōu)解，在準(zhǔn)確解題的同時又能提高效率，最快地解出自己想要的答案。在不定積分中，要注重這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，打好基礎(chǔ)。在解題的過程中首先要學(xué)會觀察，觀察被解題目的特征，迅速地找到解決的方式，篩選出最優(yōu)的解決方法，簡潔有效地解決題目。探索最優(yōu)解題方法的過程同時也鍛煉思維方式，在解題的過程中對于觀察角度的不同以及思考方式的差異，所應(yīng)用的解題策略自然不同[2]。在不同方面思考的時候思維創(chuàng)造性也得到了鍛煉。掌握常規(guī)解題需要用到的基本公式，以及解題方法。不定積分解題主要有：換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分以及湊平方差法。熟練掌握函數(shù)與不定積分的定義和不定積分的線性性質(zhì)，以及之間存在的關(guān)系。微分與不定積分的求導(dǎo)過程是互逆的。

3 學(xué)習(xí)中存在的問題

不定積分作為高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的重點、難點之一，一個題目常常有多種解法。想要學(xué)好不定積分一定要打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在常規(guī)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，由于時間和課時限制，為了提高效率往往先熟悉概念、公式，再去例題解析，再去做課后題以鞏固學(xué)習(xí)到的知識。這種學(xué)習(xí)模式帶來的弊端就是解題方法常常只是例題中學(xué)習(xí)到的普遍的解題方式。而在課后學(xué)習(xí)以及考試當(dāng)中，對例題當(dāng)中現(xiàn)成的解題方式死板地套用。導(dǎo)致不能對題目更好地理解，解題方法的僵化，無法做到舉一反三。

4 一元函數(shù)不定積分解題方法

4.1 基本步驟

高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)不定積分的求解過程較為復(fù)雜，其中涉及很多有其本身固有的客觀規(guī)律，因此只要按照相應(yīng)的規(guī)律完成求解，就可以降低計算難度。具體的解題步驟如下：

第一，觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。被積函數(shù)的特征決定了后續(xù)需要應(yīng)用到的解題方法，只有確定了一元函數(shù)不定積分的本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征后，才能夠找出與之對應(yīng)的積分方法，求出積分。比如，被積函數(shù)結(jié)構(gòu)特征在形式上與基本積分公式一致就可以采用直接積分法，或者化簡、變形后就可以變成和基本積分公式相同的形式，也可以采用直接積分法。而被積函數(shù)結(jié)構(gòu)特征可以借助湊微分的方式變成和基本積分公式相同的形式，則采用一類換元積分方法，如果被積函數(shù)結(jié)構(gòu)特征含有根號且只能通過換元的方法脫除，則采用二類換元積分方法。如果，被積函數(shù)中是由兩類不同性質(zhì)的函數(shù)的乘積形式組成，那么這就可以采用分部積分法。

第二，按照相應(yīng)的積分方法進(jìn)行求解，并且檢驗結(jié)果的正確性，確保計算準(zhǔn)確。

除以上形式外的有理函數(shù)，皆采用固定方式。部分分式項數(shù)為原有有理函數(shù)的分母整體的次數(shù)之和。將分式分母為1的式子拆開時，分母所設(shè)的x次數(shù)相應(yīng)減一。當(dāng)分式分母x的次數(shù)為1時，將分子設(shè)為A;當(dāng)分式分母次數(shù)為2時，將分子設(shè)為Ax+B，在通過三種方法代換時可用待定系數(shù)法確定未知數(shù)。

5 正確掌握以及靈活運用

在通常的高等數(shù)學(xué)教育中一般會介紹幾種不定積分的解題方法，有基本的換元法、直接積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分、查積分表等。但對于剛剛接觸高等數(shù)學(xué)微積分的初學(xué)者來說，雖然解題方法多，解題思路靈活但常常不知道用那種方式進(jìn)行不定積分的運算[3]。因為積分計算所特有的靈活性和復(fù)雜性，為了計算中的應(yīng)用方便，將常用的公式匯集成積分表。積分表作為不定積分計算的基本，應(yīng)當(dāng)首先掌握，通過將式子進(jìn)行簡單的變形就可在基本表內(nèi)查得所要的結(jié)果。

6 結(jié)語

不定積分作為高等數(shù)學(xué)微積分當(dāng)中的基本概念，利用不定積分計算是學(xué)生需要掌握的必要能力。由于微積分計算的靈活性，可以通過不同的計算形式得到相同的結(jié)果，這種形式的計算對于培養(yǎng)開放的發(fā)散性思維具有很大的幫助，也增強(qiáng)了學(xué)生的科學(xué)探索能力與創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]高昕.簡析一元函數(shù)積分的解題策略與技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究，2019，22（06）：20-24.

[2]李聰，郭豆豆.一元函數(shù)的定積分計算[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（01）：4.

作者簡介：周鐘抗（1997—），漢族，海南海口人，本科在讀，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。