一種基于稀疏正則化的地下水點(diǎn)污染源識(shí)別法*

楊方浩，呂中榮，汪利

（中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東廣州510006）

地下水是我國(guó)甚至全球重要的淡水資源之一，約占我國(guó)水資源總量的30%。而在我國(guó)部分城市，地下水幾乎是唯一的供水水源［1］。由此可見(jiàn)，地下水資源具有一定的珍貴性。但是，我國(guó)地下水污染問(wèn)題仍然相當(dāng)嚴(yán)峻。并且，由于地下水具有隱蔽性和復(fù)雜性等特性，地下水污染的預(yù)防與治理工作十分困難。因此，通過(guò)已知的水文地質(zhì)參數(shù)和監(jiān)測(cè)點(diǎn)濃度數(shù)據(jù)，反求污染源位置及釋放歷史等信息具有十分重要的研究意義和實(shí)際價(jià)值。

地下水污染源識(shí)別屬于典型的源項(xiàng)識(shí)別反問(wèn)題，目的在于反演地下水污染源的位置及釋放歷史信息。然而，對(duì)于大多數(shù)反問(wèn)題，往往是不適定的，即無(wú)法直接求解［2］。目前已有大量的研究通過(guò)正則化方法將地下水污染源識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫m定問(wèn)題進(jìn)行求解。Skaggs 等［3］將Tikhonov 正則化應(yīng)用于地下水一維均勻流模型反問(wèn)題中，在已知單個(gè)污染源的位置的情況下，反演得到污染源釋放歷史，進(jìn)而得到污染物的時(shí)空分布。Li 等［4］在Tikhonov 正則化的基礎(chǔ)上，提出了一種新的梯度正則化算法用于求解地下水一維均勻流的源項(xiàng)反演問(wèn)題，有效地識(shí)別出線(xiàn)污染源的空間強(qiáng)度變化。Huang 等［5］通過(guò)共軛梯度法反演地下水二維均勻流模型中的線(xiàn)污染源空間變化強(qiáng)度。而邢利英等［6］通過(guò)改進(jìn)的共軛梯度法重構(gòu)地下水一維均勻流的線(xiàn)污染源空間釋放函數(shù)。Onyari 等［7］對(duì)二維各向異性地下水含水層中的污染物運(yùn)輸反問(wèn)題，通過(guò)格林函數(shù)法離散、奇異值分解及Tikhonov 正則化的最小二乘法等進(jìn)行求解，重構(gòu)了一維已知位點(diǎn)的污染源隨時(shí)間變化的釋放函數(shù)以及二維線(xiàn)污染源的空間變化強(qiáng)度，從而得到污染物的時(shí)空分布。Mazaheri 等［8］則是將格林函數(shù)法應(yīng)用于一維對(duì)流?彌散方程，從而得到積分方程，并通過(guò)Tikhonov 正則化進(jìn)行求解，以此準(zhǔn)確地識(shí)別河流中的點(diǎn)污染源。Wang等［9］提出了一種基于有限元方法求解序列適定正問(wèn)題的非迭代正則化優(yōu)化算法，重構(gòu)了地下水一維均勻流模型反問(wèn)題中線(xiàn)污染源釋放函數(shù)的空間變化。

綜上可知，以上研究大多采用正則化方法對(duì)地下水非點(diǎn)污染源和已知點(diǎn)源位置情況下點(diǎn)源源強(qiáng)進(jìn)行反演識(shí)別，也就是說(shuō)目前采用正則化方法對(duì)地下水點(diǎn)污染源的空間位置識(shí)別研究較少。而已有研究是將稀疏正則化理論應(yīng)用于空氣污染源定位［10?11］、熱源定位［12］以及聲源定位［13］等領(lǐng)域。對(duì)此，本文將設(shè)計(jì)一種方法來(lái)識(shí)別地下水點(diǎn)污染源的位置及源強(qiáng)變化，即對(duì)反問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)引入l1范數(shù)項(xiàng)加以約束，然后利用交替優(yōu)化算法分別迭代求解濃度場(chǎng)和源強(qiáng)。

1 地下水污染源反演模型

1.1 地下水污染物運(yùn)移控制方程

假定承壓含水層地下水的流動(dòng)方向?yàn)閤方向，且污染物為保守性污染物，初始濃度場(chǎng)為0，故采用不考慮吸附及化學(xué)反應(yīng)的一維對(duì)流?彌散方程，為：

式中，T表示計(jì)算區(qū)域內(nèi)的時(shí)間范圍，L表示計(jì)算區(qū)域內(nèi)的空間范圍，C(x，t)表示污染物濃度，vx為沿x方向的地下水滲流速度，αL為縱向彌散度即沿x方向的彌散度，I表示源匯項(xiàng)。這里僅考慮點(diǎn)污染源，故有：

1.2 加稀疏約束的目標(biāo)函數(shù)

1.3 交替優(yōu)化法

1.4 正則化參數(shù)選取

圖1 正則化參數(shù)μ的選取Fig.1 Selection of regularization parameter μ

2 數(shù)值算例

本文研究一個(gè)一維的地下水污染源識(shí)別問(wèn)題，如圖2 所示。并令式(1)中，L= 100 m，T= 10 d，vx= 1m d，αL= 10 m，然后設(shè)空間步長(zhǎng)為dx= 0.5 m，時(shí)間步長(zhǎng)為dt= 0.01d，則將空間范圍劃分為200個(gè)單元，201個(gè)節(jié)點(diǎn)，并定義節(jié)點(diǎn)編號(hào)集合為{ni，i= 1，2，…，201}，其中ni表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)上；單元編號(hào)集合為{ei，i= 1，2，…，200}，其中ei則表示第i個(gè)單元內(nèi)。

圖2 一維地下水污染物運(yùn)移示意圖Fig.2 Schematic of a one?dimensional groundwater contaminant transport problem

式中，Cm(tj)為上文所提的t時(shí)刻真實(shí)節(jié)點(diǎn)濃度，可由式(4)求得；σ表示噪聲水平；Rn為由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(即均值等于0，標(biāo)準(zhǔn)差等于1)求得的隨機(jī)數(shù)；RMS表示均方根誤差。

表1 一維點(diǎn)源識(shí)別的四種工況Table 1 Four scenarios for one?dimensional point sources identification

3 結(jié) 語(yǔ)

圖3 工況1的稀疏正則化識(shí)別結(jié)果Fig.3 Identified results for scenario 1 with sparse regularization

圖4 工況1的無(wú)正則化識(shí)別結(jié)果Fig.4 Identified results for scenario 1 without regularization

圖5 工況2的稀疏正則化識(shí)別結(jié)果Fig.5 Identified results for scenario 2 with sparse regularization

針對(duì)地下水一維點(diǎn)污染源識(shí)別問(wèn)題，本文提出了一種基于稀疏正則化的點(diǎn)源識(shí)別方法，從而為地下水污染的預(yù)防與治理工作提供一定的理論支持。首先，構(gòu)造一維點(diǎn)污染源對(duì)流?彌散方程的時(shí)域有限元格式，并進(jìn)行拉普拉斯變化得到頻域方程，接著建立以l1范數(shù)項(xiàng)為約束的目標(biāo)函數(shù)，從而克服污染源識(shí)別的不適定性并兼顧點(diǎn)源的稀疏性，然后利用交替優(yōu)化法在不同噪聲水平下進(jìn)行迭代求解，發(fā)現(xiàn)所提方法能有效識(shí)別算例的點(diǎn)源位置及其強(qiáng)度變化，且其抗噪性較強(qiáng)，本論文方法可進(jìn)一步推廣應(yīng)用到地下水二維點(diǎn)污染源識(shí)別問(wèn)題。

圖6 工況3的稀疏正則化識(shí)別結(jié)果Fig.6 Identified results for scenario 2 with sparse regularization

圖8 工況4的稀疏正則化識(shí)別結(jié)果Fig.8 Identified results for scenario 4 with sparse regularization