時(shí)標(biāo)上Leakage項(xiàng)變時(shí)滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的概周期解*

高瑾，林園，王其如

（1. 深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東深圳518172；2. 深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東深圳518172；3. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510275）

Kosko［1?3］首先研究了一種新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，叫做雙向聯(lián)想記憶(BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。從此，BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)被廣泛地研究，它可以應(yīng)用到圖像處理，模式識(shí)別，優(yōu)化問(wèn)題，聯(lián)想記憶等方面。在其應(yīng)用中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的概周期解、周期解、漸近概周期解和偽概周期解等都是很具有吸引力的研究方向。因此，雙向聯(lián)想記憶(BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的概周期解被很多學(xué)者深入研究［4?8］。

經(jīng)過(guò)多年的研究和發(fā)展，時(shí)標(biāo)理論已經(jīng)成為研究連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的有效手段，具有廣泛的應(yīng)用前景，尤其在解的存在性、振動(dòng)性、周期解、穩(wěn)定性等方面發(fā)展迅速［9?10］。但是時(shí)標(biāo)上BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的概周期解卻很少被研究。

鑒于此研究的重要性，在本文中，我們將要研究以下形式的時(shí)標(biāo)上Leakage 項(xiàng)變時(shí)滯雙向聯(lián)想記憶(BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

其中i= 1，2，…，n，j= 1，2，…，m，t∈T，T 是一個(gè)概周期時(shí)標(biāo)，n和m是每個(gè)細(xì)胞層的細(xì)胞數(shù)量，xi(t)和yj(t)分別是第i個(gè)細(xì)胞和第j個(gè)細(xì)胞時(shí)刻t的活動(dòng)狀態(tài)；ai(t)和bj(t)分別代表第i個(gè)細(xì)胞和第j個(gè)細(xì)胞和網(wǎng)絡(luò)與外部輸入在第t時(shí)刻脫節(jié)時(shí)，他們將電勢(shì)重置為孤立情形下的休克狀態(tài)的重置率；fi，fj是激活函數(shù)；αi(t)，βj(t)是時(shí)刻t的傳遞時(shí)滯；Kji，Lij是時(shí)滯核函數(shù)；Ii(t)和Jj(t)分別表示第i個(gè)細(xì)胞和第j個(gè)細(xì)胞時(shí)刻t的偏差。

系統(tǒng)(1)的初始條件為

其中φi，ψj∈C1(( ?∞，0]T，R)且有界，( ?∞，0]T ={t|t∈( ?∞，0]?T}，i= 1，2，…，n，j= 1，2，…，m。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)我們給出一些基本的定義和定理［11?15］。

定義1［13］稱(chēng)T 是一個(gè)時(shí)標(biāo)，若T 是實(shí)數(shù)集R 的任意非空閉子集并且繼承實(shí)數(shù)集R 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和有序性。對(duì)于t∈T，時(shí)標(biāo)上的前跳算子σ：T →T 定義為：σ(t)：= inf{s∈T：s＞t}；后跳算子ρ：T →T 定義為：ρ(t)：= sup{s∈T：s＜t}。

定義2［13］設(shè)T 是一個(gè)時(shí)標(biāo)，t∈T 被稱(chēng)為左稠密點(diǎn)，如果t＞inf T 且ρ(t)=t；左稀疏點(diǎn)如果ρ(t)＜t；右稠密點(diǎn)如果t＜sup T 且σ(t)=t；右稀疏點(diǎn)如果σ(t)＞t。如果T 有一個(gè)最大的左稀疏點(diǎn)m，則Tk：= T{m}；否則Tk?T。如果T有一個(gè)最小的右稀疏點(diǎn)m，則Tk：= T{m}；否則Tk：= T。

定義3［13］函數(shù)f：T →R 被稱(chēng)為左稠連續(xù)或者ld?連續(xù)函數(shù)，如果其在T 中的左稠密點(diǎn)連續(xù)，且在T中右稠密點(diǎn)的右極限存在。函數(shù)f：T →R 被稱(chēng)為右稠連續(xù)或者rd?連續(xù)，如果其在T 中的右稠密點(diǎn)連續(xù)，且在T中左稠密點(diǎn)的左極限存在。

定義4［15］設(shè)T 是一個(gè)時(shí)標(biāo)，f：T →R，稱(chēng)函數(shù)f在t∈Tk是??可導(dǎo)，對(duì)任意ε＞0，若存在t的δ?鄰域U(即U=(t?δ，t+δ)∩T)使得

定義7［14］時(shí)標(biāo)T被稱(chēng)為一個(gè)概周期時(shí)標(biāo)，如果∏：={τ∈R：t±τ∈T，?t∈T}≠{0}。

2 概周期解的存在唯一性

本節(jié)，我們給出了系統(tǒng)(1)概周期解的存在唯一性的充分條件。

對(duì)于i= 1，2，…，n，j= 1，2，…，m，我們有如下表示：因此，由條件(H3)知，T是一個(gè)壓縮映射。所以T在E中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。也就是說(shuō)，系統(tǒng)(1)在E中有唯一的概周期解。證畢。

3 概周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

本節(jié)，我們給出了系統(tǒng)(1)概周期解全局指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。

4 例子和數(shù)值模擬

在本節(jié)，對(duì)于T = Z，我們給出一個(gè)例子來(lái)證明前面得到結(jié)果的正確性。

考慮下列BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，n= 2，m= 2，

圖1 狀態(tài)變量x1和x2的軌跡圖Fig.1 Transient response of state variables x1and x2

圖2 狀態(tài)變量y1和y2的軌跡圖Fig.2 Transient response of state variables y1 and y2

5 結(jié) 論

本文給出了時(shí)標(biāo)上的Leakage 項(xiàng)變時(shí)滯雙向聯(lián)想記憶(BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)概周期解存在性、唯一性和全局指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件，另外還在T = Z 上，給出了一個(gè)例子和數(shù)值模擬來(lái)說(shuō)明得到結(jié)果的正確性。本文所用的方法后續(xù)可以推廣運(yùn)用到其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究上。