基于蘭徹斯特方程的有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)

毛煒豪，劉網(wǎng)定，盧洪濤

(陸軍指揮學院，江蘇 南京 210045)

現(xiàn)代戰(zhàn)場上，戰(zhàn)場無人機、機器人等無人化、智能化武器的成建制使用，已經(jīng)成為現(xiàn)實[1]。2015年12月，敘利亞政府軍在俄軍戰(zhàn)斗機器人的強力支援下，成功攻占“伊斯蘭國”武裝分子控制的拉塔基亞754.5高地[2]。美國陸軍也組建了有人/無人混編陸航營，為戰(zhàn)斗航空旅的攻擊直升機營編配24架AH-64E和3個RQ-7R(V2)“影子”200無人機系統(tǒng)排，使其具備有人/無人機的協(xié)同作戰(zhàn)能力[3]。美空軍還開始量產(chǎn)“忠誠僚機”，1架F-35能指揮3至6架XQ-58A無人機協(xié)同作戰(zhàn)[4]。俄、美對于無人化裝備的作戰(zhàn)運用說明無人化裝備通過接收指控信號可實現(xiàn)“人機一體”，發(fā)揮與有人裝備相同甚至更強的作戰(zhàn)效能。本文嘗試結(jié)合現(xiàn)代戰(zhàn)爭無人化和智能化特點，根據(jù)有人/無人協(xié)同戰(zhàn)術運用方式，通過加入新型變量、調(diào)整方程結(jié)構(gòu)、修正方程因子等方法，構(gòu)建基于蘭徹斯特方程的“有人/無人協(xié)同”作戰(zhàn)模型，并通過實例加以驗證，探索對于無人化作戰(zhàn)集群的最佳戰(zhàn)術運用方式。

1 蘭徹斯特方程

蘭徹斯特方程[5]是在一些假設的前提下描述損耗過程的微分方程組，主要可用來測算兵力和武器裝備的損耗，主要有三個定律：第一線性律、第二線性律和平方律。下面以平方律為例，從戰(zhàn)斗力影響因子的角度對其進行簡要介紹和再解讀，這也是構(gòu)建基于蘭徹斯特方程的“有人/無人協(xié)同”作戰(zhàn)模型的邏輯起點。

1.1 蘭徹斯特平方律

蘭徹斯特平方律又稱蘭徹斯特直接開火模型。在使用火炮或其他兵器集中射擊時，按平均數(shù)量計算，每一件武器在特定時間內(nèi)都會有效地命中一定數(shù)量的目標，因此，在單位時間內(nèi)消滅敵方目標的數(shù)量，就與射擊一方兵力或武器的數(shù)量成正比。于是得到了如下的平方律方程。兵力損耗模型為

(1)

式中，x、y為紅、藍雙方在t時刻的瞬時兵力(或剩余兵力)；α、β分別表示紅方、藍方的平均戰(zhàn)斗效能。

由式(1)推導可得

(2)

1.2 戰(zhàn)斗力影響因子分析

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，進攻方對于防御方發(fā)起的地面“沖鋒”或兩棲“突擊上陸”行動，是打破敵防御體系的關鍵行動，往往是整個作戰(zhàn)進程的高潮部分，并決定攻防戰(zhàn)斗的最終結(jié)果。因此，雙方指揮員往往投入大量兵力兵器，力求贏得這一作戰(zhàn)階段的勝利。由于近距離戰(zhàn)斗時，兵力規(guī)模因子對于戰(zhàn)斗力的影響大于單兵戰(zhàn)斗效能因子，因此，指揮員往往采取“集中兵力”的方式，對敵形成局部優(yōu)勢，進而，破擊敵整體防御體系。這也是“集中兵力”用兵原則背后的數(shù)學原理。

使用無人機、機器人等無人化作戰(zhàn)集群參與地面或兩棲作戰(zhàn)，尤其是在發(fā)起沖鋒或突擊上陸等攻堅作戰(zhàn)階段，具有如下優(yōu)勢：第一，在進攻時，無人機、機器人等裝備機動速度快、自帶傳感器和火控系統(tǒng)，可以更加高效地對防御方實施偵測和打擊；第二，無人化武器裝備與士兵協(xié)同作戰(zhàn)，相當于增加了進攻方的兵力，這在近距離戰(zhàn)斗中可顯著增強進攻方的整體戰(zhàn)斗力；第三，防御方對于這類無人化武器目標的打擊，減少了進攻方的兵力消耗，相當于降低了防御方的兵力優(yōu)勢。綜上所述，使用無人化裝備集群可顯著增強整體戰(zhàn)斗力，并削弱對方兵力優(yōu)勢。

2 “有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)”混合模型

為了充分驗證有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)的整體效能，下面嘗試構(gòu)建三類不同的交戰(zhàn)模型。為了便于對比，分別對紅方“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”與藍方“傳統(tǒng)有人作戰(zhàn)”、紅方“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”與藍方“傳統(tǒng)有人作戰(zhàn)”、紅方“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”與藍方“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”三種情況構(gòu)建數(shù)學模型，并進行分析。由于“有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)”中，無人作戰(zhàn)集群依賴于有人作戰(zhàn)集群而存在，因此，在模型中將無人作戰(zhàn)集群數(shù)量設置為兵力數(shù)量的一定比例。

2.1 交戰(zhàn)一方“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”模型

交戰(zhàn)一方“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”模型設想紅藍雙方交戰(zhàn)，其中，紅方為“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”，而藍方為“傳統(tǒng)有人作戰(zhàn)”。所謂“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”是指在作戰(zhàn)過程中，紅方士兵與無人機和戰(zhàn)斗機器人集群共享戰(zhàn)場情報，但分別相對獨立作戰(zhàn)。如，在空間上處于不同的作戰(zhàn)地域，或在時間上參與不同的作戰(zhàn)階段，以遂行不同的作戰(zhàn)任務。例如，敘政府軍在俄軍戰(zhàn)斗機器人的支援下攻占拉塔基亞754.5高地[6]，先由機器人實施“火力精確拔點”，然后，敘政府軍實施戰(zhàn)場掃蕩，就屬于有人/無人相對獨立作戰(zhàn)的類型。這種協(xié)同方式有利于發(fā)揮有人集群和無人化集群各自的優(yōu)勢，但缺點在于二者之間僅存在有限的協(xié)同，容易被各個擊破。

由此，構(gòu)建模型為

(3)

式中，Q為藍方偵察效能(即紅方被全部發(fā)現(xiàn)的概率，因此，Q≤1)，P1、P2分別為紅方有人和無人化集群的偵察效能(即藍方分別被紅方有人集群和無人化集群發(fā)現(xiàn)的概率，因此，P1+P2≤1)；β為藍方單兵作戰(zhàn)效能，α1、α2分別為紅方單兵和單個無人裝備的作戰(zhàn)效能；γ為無人化裝備數(shù)量與兵力數(shù)量的比例，即無人化裝備數(shù)量為γx(t)；x(t)、y(t)分別為紅方、藍方在t時刻的剩余兵力。由式(3)可推導出

(4)

2.2 交戰(zhàn)一方“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”模型

類似地，紅藍交戰(zhàn)，設想紅方為“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”，而藍方為“傳統(tǒng)有人作戰(zhàn)”。所謂“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”，是指在作戰(zhàn)過程中，紅方士兵與無人化集群密切協(xié)同作戰(zhàn)，如在空間上處于同一作戰(zhàn)地域，或在時間上參與相同的作戰(zhàn)階段，共同遂行同一作戰(zhàn)任務[7]。例如，美軍演習中，隱形戰(zhàn)機和無人機前出協(xié)同突防，并通過“戰(zhàn)斗云”共享戰(zhàn)場態(tài)勢。首先，遙控X-47B型無人機實施多波次突擊，壓制敵防空系統(tǒng)，一旦取得局部制空權(quán)，常規(guī)戰(zhàn)機迅速跟進，對敵目標實施精確火力打擊[8]。這種協(xié)同方式有利于快速共享戰(zhàn)場情報，并充分發(fā)揮有人集群和無人化集群協(xié)同作戰(zhàn)的優(yōu)勢，但缺點在于目前協(xié)同難度較大，尤其在地面作戰(zhàn)中，要確保無人化裝備具有強大的自組織和敵我識別能力，操作人員也要具備一定的專業(yè)素養(yǎng)，避免在協(xié)同作戰(zhàn)時造成誤傷[4]。

由此，構(gòu)建模型為

(5)

類似式(3)，上式中，Q為藍方偵察效能(Q≤1)，P1、P2分別為紅方有人和無人化集群的偵察效能(P1+P2≤1)；β為藍方單兵作戰(zhàn)效能，α1、α2分別為紅方單兵和單個無人裝備的作戰(zhàn)效能；γ為無人化裝備數(shù)量與兵力數(shù)量的比例，即無人化裝備數(shù)量為γx(t)；x(t)、y(t)分別為紅方、藍方在t時刻的剩余兵力。由式(5)可推導出

(6)

2.3 兩種協(xié)同方式對戰(zhàn)混合模型

設想紅方為“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”，而藍方為“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”。由此，構(gòu)建模型為

(7)

類似地，上式中，Q1、Q2分別為紅方有人和無人化集群的偵察效能(Q1+Q2≤1)，P1、P2分別為紅方有人和無人化集群的偵察效能(P1+P2≤1)；β1、β2分別為藍方單兵和單個無人裝備的作戰(zhàn)效能，α1、α2分別為紅方單兵和單個無人裝備的作戰(zhàn)效能；v為藍方無人化裝備數(shù)量與兵力數(shù)量的比例，即無人化裝備數(shù)量為vy(t)；γ為紅方無人化裝備數(shù)量與兵力數(shù)量的比例，即無人化裝備數(shù)量為γx(t)；x(t)、y(t)分別為紅方、藍方在t時刻的剩余兵力。由式(7)可推導出

(8)

令Q1=P1,Q2=P2；β1=β2,α1=α2；且v=γ,y0=x0，則可推導出

(9)

式(9)中，由于右側(cè)始終為正值，因此,紅方必勝。這就說明，在紅藍雙方均采取有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)，且雙方偵察效能、作戰(zhàn)效能、兵力規(guī)模完全一致的情況下，采取“有人/無人密切協(xié)同”作戰(zhàn)方式，必然能夠擊敗“有人/無人相對獨立”作戰(zhàn)方式。

3 仿真實例

為了進一步驗證三類模型，使結(jié)果對比更加直觀，本文使用Matlab進行仿真驗證。由于有人/無人作戰(zhàn)集群在自主性、協(xié)同性、偵察效能、作戰(zhàn)效能、抗毀傷能力等方面各有優(yōu)勢，很難逐一量化比較，為了聚焦核心問題，即對比分析有人/無人作戰(zhàn)集群不同協(xié)同方式帶來的影響，在下面的實例中，均假設有人/無人作戰(zhàn)集群的偵察效能、作戰(zhàn)效能完全一致。

3.1 交戰(zhàn)一方“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”模型

假設紅藍對戰(zhàn)，其中,紅方為有人/無人作戰(zhàn)集群，士兵與無人化裝備的偵察效能、作戰(zhàn)效能完全一致，紅方擁有無人作戰(zhàn)集群，但兵力處于劣勢；藍方為有人作戰(zhàn)集群，兵力處于優(yōu)勢。在“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”條件下:

1)紅方兵力與無人集群數(shù)量之和等于藍方兵力時，令紅方初始兵力為500人，藍方初始兵力為1 000人，偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方無人作戰(zhàn)集群作戰(zhàn)效能為0.5，偵察效能為0.6，數(shù)量比例為1(無人化裝備等于士兵數(shù)量)。即x0=500,y0=1 000，Q=P1=0.5，α1=β=0.6，P2=0.5，α2=0.6，γ=1。如圖1所示。

圖1 有人/無人相對獨立作戰(zhàn)模型(紅方有人/無人集群數(shù)量相等，且二者之和等于藍方兵力)

2)令紅方初始兵力為600人，藍方初始兵力為1 000人，偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方無人作戰(zhàn)集群作戰(zhàn)效能為0.5，偵察效能為0.6，數(shù)量比例為0.67(即無人化裝備數(shù)量約為400)。即x0=600，y0=1 000，Q=P1=P2=0.5，β=α1=α2=0.6，γ=0.67。如圖2所示。

圖2 有人/無人相對獨立作戰(zhàn)模型(紅方兵力增加、無人集群減少，且有人/無人集群數(shù)量之和等于藍方兵力)

3)令紅方初始兵力為400人，藍方初始兵力為1 000人，偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方無人作戰(zhàn)集群作戰(zhàn)效能為0.5，偵察效能為0.6，數(shù)量比例為1.5(即無人化裝備數(shù)量為600)。即x0=400，y0=1 000，Q=P1=P2=0.5，β=α1=α2=0.6，γ=1.5。如圖3所示。

圖3 有人/無人相對獨立作戰(zhàn)模型(紅方兵力減少、無人集群增加，且有人/無人集群數(shù)量之和等于藍方兵力)

以上三種情況說明，假設紅藍對戰(zhàn)，其中，紅方擁有無人作戰(zhàn)集群，但兵力處于劣勢；藍方為有人作戰(zhàn)集群，兵力處于優(yōu)勢。在“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”條件下，當紅方有人/無人集群數(shù)量相同且二者之和等于藍方兵力時，紅方兵力消耗速度顯著小于藍方，紅藍方最終同歸于盡；經(jīng)過有人/無人集群數(shù)量比例調(diào)整后，紅方在兵力增加條件下才可能取勝。由此得出以下結(jié)論。

結(jié)論一：在“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”條件下，紅方對藍方優(yōu)勢較大。在兵力相同的情況下，紅方必勝；即使紅方兵力處于劣勢，依然有大約一半概率獲勝。

結(jié)論二：在“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”條件下，兵力規(guī)模因子對作戰(zhàn)的影響比無人作戰(zhàn)集群大。

3.2 交戰(zhàn)一方“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”模型

假設紅藍對戰(zhàn)，其中，紅方為有人/無人作戰(zhàn)集群，士兵與無人化裝備的偵察效能、作戰(zhàn)效能完全一致，紅方擁有無人作戰(zhàn)集群，但兵力處于劣勢；藍方為有人作戰(zhàn)集群，兵力處于優(yōu)勢。在“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”條件下：

1)紅方兵力與無人集群數(shù)量之和等于藍方兵力時，令紅方初始兵力為500人，藍方初始兵力為1 000人，偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方無人作戰(zhàn)集群作戰(zhàn)效能為0.5，偵察效能為0.6，數(shù)量比例為1(無人化裝備等于士兵數(shù)量)。即x0=500,y0=1 000，Q=P1=0.5，α1=β=0.6，P2=0.5，α2=0.6，γ=1。如圖4所示。

圖4 有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)模型(紅方有人/無人集群數(shù)量相等，且二者之和等于藍方兵力)

2)令紅方初始兵力為800人，藍方初始兵力為1 000人，偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方無人作戰(zhàn)集群作戰(zhàn)效能為0.5，偵察效能為0.6，數(shù)量比例為0.25(即無人化裝備數(shù)量為200)；即x0=800，y0=1 000，Q=P1=P2=0.5，β=α1=α2=0.6，γ=0.25。如圖5所示。

圖5 有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)模型(紅方兵力增加、無人集群減少，且有人/無人集群數(shù)量之和等于藍方兵力)

3)令紅方初始兵力為200人，藍方初始兵力為1 000人，偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方無人作戰(zhàn)集群作戰(zhàn)效能為0.5，偵察效能為0.6，數(shù)量比例為4(即無人化裝備數(shù)量為800)；即x0=500，y0=1 000，Q=P1=P2=0.5，β=α1=α2=0.6，γ=4。如圖6所示。

圖6 有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)模型(紅方兵力減少、無人集群增加，且有人/無人集群數(shù)量之和等于藍方兵力)

以上三種情況說明，假設紅藍對戰(zhàn)，其中，紅方擁有無人作戰(zhàn)集群，但兵力處于劣勢；藍方為有人作戰(zhàn)集群，兵力處于優(yōu)勢。在“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”條件下，當紅方有人/無人集群數(shù)量相同且二者之和等于藍方兵力時，紅方兵力消耗速度遠遠小于藍方，藍方必??；紅方增加兵力，可顯著加快藍方兵力消耗速度，藍方必??；只有當紅方兵力遠遠小于藍方時，藍方才有可能獲勝。由此得出以下結(jié)論。

結(jié)論一：在“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”條件下，紅方對藍方具有非常大的優(yōu)勢，即使兵力處于劣勢，依然有較大概率擊敗對方；

結(jié)論二：在“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”條件下，兵力規(guī)模因子比無人作戰(zhàn)集群對作戰(zhàn)的影響更大。

3.3 兩種協(xié)同方式對戰(zhàn)混合模型

假設紅藍對戰(zhàn)，雙方均為有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)集群，且士兵與無人化裝備的偵察效能、作戰(zhàn)效能均完全一致；但紅方為“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”，藍方為“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”：

1)紅方兵力與無人作戰(zhàn)集群數(shù)量與藍方完全一致時，令紅藍雙方初始兵力均為1 000人，雙方有人/無人偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，數(shù)量比例均為1(無人化裝備等于士兵數(shù)量)。即x0=y0=1 000，Q1=Q2=P1=P2=0.5，α1=α2=β1=β2=0.6，γ=v=1。如圖7所示。

圖7 兩種協(xié)同方式對戰(zhàn)模型(紅藍雙方有人/無人集群數(shù)量完全一致)

2)令紅方初始兵力為700人，藍方初始兵力為1 000人，雙方有人/無人偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方數(shù)量比例為1.43(無人化裝備數(shù)量約為1 000)，藍方數(shù)量比例為1(無人化裝備數(shù)量為1 000)。即x0=400,y0=1 000，Q1=Q2=P1=P2=0.5，α1=α2=β1=β2=0.6，γ=1.43，v=1。如圖8所示。

圖8 兩種協(xié)同方式對戰(zhàn)模型(紅方兵力較少，無人作戰(zhàn)集群數(shù)量與藍方相同)

3)令紅方初始兵力為1 000人，藍方初始兵力為1 000人，雙方有人/無人偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方數(shù)量比例為0.1(無人化裝備數(shù)量為100)，藍方數(shù)量比例為1(無人化裝備數(shù)量為1 000)。即x0=1 000,y0=1 000，Q1=Q2=P1=P2=0.5，α1=α2=β1=β2=0.6，γ=0.1，v=1。如圖9所示。

圖9 兩種協(xié)同方式對戰(zhàn)模型(紅方無人作戰(zhàn)集群數(shù)量較少，兵力與藍方相同)

4)令紅方初始兵力為1 000人，藍方初始兵力為1 000人，雙方有人/無人偵察效能均為0.5，作戰(zhàn)效能均為0.6，紅方數(shù)量比例為0.5(無人化裝備數(shù)量為500)，藍方數(shù)量比例為2(無人化裝備數(shù)量為2 000)。即x0=1 000,y0=1 000，Q1=Q2=P1=P2=0.5，α1=α2=β1=β2=0.6，γ=0.5，v=2。如圖10所示。

圖10 兩種協(xié)同方式對戰(zhàn)模型(紅藍兵力相同，無人作戰(zhàn)集群比例紅方減至0.4、藍方增至2)

以上四種情況說明，假設紅藍對戰(zhàn)，雙方均為有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)集群，且士兵與無人化裝備的偵察效能、作戰(zhàn)效能均完全一致；但紅方為“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”，藍方為“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”。當紅方兵力、無人作戰(zhàn)集群數(shù)量與藍方完全一致時，藍方必??；當紅方兵力較少、無人作戰(zhàn)集群數(shù)量與藍方相同時，紅方仍有一定概率獲勝；當紅方無人作戰(zhàn)集群數(shù)量較少、兵力與藍方相同時，只有在特定情況下藍方才可能獲勝(如第四種情況)。由此得出以下結(jié)論。

結(jié)論一：“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”相對于“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”，具有較大優(yōu)勢，紅方即使兵力處于劣勢，依然有一定概率擊敗對方；

結(jié)論二：“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”中，兵力規(guī)模對作戰(zhàn)的影響遠遠大于無人作戰(zhàn)集群。

4 結(jié)束語

根據(jù)現(xiàn)代戰(zhàn)爭中無人化裝備的運用特點，本文提出了基于蘭徹斯特方程的“有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)”模型，推導了三種情況下的數(shù)學模型表達式，并進行了仿真分析。研究結(jié)果表明：在兵力相同且其他條件一致的情況下，從整體作戰(zhàn)效能來看，“有人/無人密切協(xié)同作戰(zhàn)”?“有人/無人相對獨立作戰(zhàn)”?“傳統(tǒng)有人作戰(zhàn)”，且前者對后者均具有較大優(yōu)勢；此外，兵力仍然是“有人/無人協(xié)同作戰(zhàn)”最重要的影響因子。這對無人化作戰(zhàn)集群的協(xié)同運用提供了借鑒和參考，如將無人裝備編配到班排級，加強“有人/無人”戰(zhàn)術協(xié)同訓練等。本文也存在一定不足：一是未區(qū)分空中無人機、地面機器人、無人自行火炮等不同無人化裝備的性能特點；二是未設置打擊、機動、防御、后勤等相關能力因子，不能全面反映無人作戰(zhàn)集群優(yōu)勢；三是模型比較粗糙，對協(xié)同問題沒有考慮協(xié)同控制層級[9]。上述問題將在下一步研究中進一步深化。