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    2020年新高考全國Ⅰ卷(山東卷)數學第21題解法研究
    ——同構放縮攜起手導數不等式難題不再有

    2020-10-19 09:20:34高振寧
    數理化解題研究 2020年28期
    關鍵詞:通性增函數同構

    高振寧

    (山東省新泰市第一中學 271200)

    原題再現已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

    (1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

    (2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    當a=1時,f′(1)=0,當x∈(0,1),f′(x)<0,f(x)在(0,1)上是減函數;x∈(1,+)時,f′(x)>0,f(x)在(1,+)上是增函數.∴f(x)min=f(1)=1,故f(x)≥1恒成立.

    綜上所述,實數a的取值范圍是[1,+∞).

    方法二(放縮法):當0

    當a>1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx,由a=1的結論可知f(x)=ex-1-lnx≥1恒成立.

    綜上可知:a的取值范圍是[1,+).

    方法四(同構函數y=xex):

    因f(1)=a+lna≥1,設g(a)=a+lna,顯然y=g(a)在區(qū)間(0,+)上是增函數,g(a)≥g(1)=1,故a≥1.f(x)=aex-1-lnx+lna≥1,得顯然則原不等式等價于設g(x)=xex,顯然g(x)在(0,+)上是增函數,則上述不等式等價于當時顯然成立;當時,原不等式等價于由于ex≥1+x,且a≥1則可得故a的取值范圍是[1,+).

    方法六(分而治之法):

    方法三、四、五可以歸結成同構法,同構法的本質是構造目標函數,借助目標函數單調性把復雜函數簡單化遞減,比方說若F(x)≥0能等價變形為F(f(x))≥F(g(x)),若F(x)遞增,則問題轉化為f(x)≥g(x),若F(x)遞減,則問題轉化為f(x)≤g(x).此類方法的關鍵是構造目標函數,高考壓軸題中的構造常見形式可分為兩類:

    (1)aea≤blnb可以同構aea≤lnbelnb,借助函數f(x)=xex解決,也可以同構ealnea≤blnb,借助f(x)=xlnx解決,更可以同構為lna+a≤lnb+ln(lnb),借助f(x)=x+lnx解決.

    方法六屬于解決問題的巧妙方法,不屬于通性解法,一般情況下f(x)≥g(x)不等價于f(x)min≥g(x)max,但是對于極個別的問題,利用上分而治之的方法,會極大地降低運算程度,但是構造不等式兩側的目標函數有一定的技巧性,學生不易掌握.

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