填空題中的數(shù)形結(jié)合技巧

張 忠

(福建省福安市第一中學(xué) 355000)

數(shù)形結(jié)合技巧是解答一些相應(yīng)的填空題中非常有效的一類方法，破解的基本思維就是利用題目條件，建立對(duì)應(yīng)的圖形、圖象，借助圖形或圖象的直觀性，利用圖形或圖象的形象以及數(shù)量的關(guān)系來(lái)合理轉(zhuǎn)化，巧妙破解.數(shù)形結(jié)合法處理時(shí)，直觀形象，簡(jiǎn)捷有效，是破解小題中的一大常見(jiàn)思維，在數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位.

一、函數(shù)問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合技巧

破解一些函數(shù)的填空題時(shí)，直接聯(lián)系函數(shù)圖象，通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的分析，結(jié)合相應(yīng)的圖象，對(duì)相應(yīng)的函數(shù)或方程問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)題意條件，結(jié)合性質(zhì)簡(jiǎn)捷分析與求解.

例1已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=x，那么在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1，k≠0)的根的個(gè)數(shù)最少有____個(gè)，最多有____個(gè).

分析直接確定相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)無(wú)從下手，而通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用直線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合來(lái)處理相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題.

解析先作出x∈[0，1]時(shí)，f(x)=x的函數(shù)圖象，根據(jù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，作出在區(qū)間[-1，3]內(nèi)的圖象，而由于直線y=kx+k+1過(guò)點(diǎn)(-1，1)的一簇直線，結(jié)合y=f(x)的圖象(如下圖)，易知相應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù)最少有1個(gè)，圖中上面的那條直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況；最多有4個(gè)，圖中下面的那條直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，

故分別填答案：1，4.

圖1

點(diǎn)評(píng)抓住函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要相應(yīng)直線所表示的是一簇直線，利用一簇直線的變化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題.通過(guò)方程中的相關(guān)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)處理，結(jié)合方程與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系作出相應(yīng)的圖象，達(dá)到求解的目的.

二、幾何問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合技巧

涉及一些三角形、圓等幾何問(wèn)題時(shí)，若有效借助數(shù)形結(jié)合，根據(jù)數(shù)中思形，以形助數(shù)，可以直觀有效地加以轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)建關(guān)系，正確破解相應(yīng)問(wèn)題.

分析根據(jù)曲線的實(shí)質(zhì)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的一部分之間有一個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合加以直觀化，從而形象直觀，簡(jiǎn)捷處理.

圖2

點(diǎn)評(píng)抓住題目條件中直線與曲線的本質(zhì)，回歸圖象原型，正確畫圖，準(zhǔn)確直觀，利用直線與曲線的圖象的交點(diǎn)情況加以正確解決，從而合理破解相應(yīng)的解析幾何問(wèn)題.

三、三角問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合技巧

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是三角函數(shù)的重要部分，借助三角函數(shù)圖象與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，模型熟悉，直觀快捷.

分析通過(guò)條件中輔助角公式的應(yīng)用，借助正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合，從而直觀確定方程的解的和問(wèn)題.

圖3

點(diǎn)評(píng)結(jié)合三角函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合，正確判斷出對(duì)應(yīng)的方程的解的對(duì)稱情況，從而得以直觀確定兩個(gè)角的和的值，直觀形象，快速處理.

四、不等式問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合技巧

對(duì)于一些含有不等式背景的填空題，通過(guò)平面區(qū)域等關(guān)系知識(shí)的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，往往能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

例4設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2+(y-1)2=1，若對(duì)于滿足條件的x，y，x+y+c≥0恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)___.

分析結(jié)合題目條件，把對(duì)應(yīng)不等式中的恒成立問(wèn)題求解參數(shù)的值，轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)處理相應(yīng)的參數(shù)的取值問(wèn)題.

圖4

點(diǎn)評(píng)：抓住不等式恒成立與平面區(qū)域之間的關(guān)系是破解問(wèn)題的關(guān)鍵所在.合理借助圖象直觀，數(shù)形結(jié)合，可以把不等式恒成立問(wèn)題直觀化，形象化，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用.

當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合技巧只是解答填空題的一種特殊的策略，有時(shí)還要多種方法并重，與其他的破解方法加以組合，共同形成合力，進(jìn)而快速有效地破解填空題，實(shí)現(xiàn)小題不大做，小題巧解，小題妙算，小題直觀形象處理.