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    換一個(gè)視角看向量法求二面角問題的新思路

    2020-10-19 08:52:06付宏祥
    數(shù)理化解題研究 2020年28期
    關(guān)鍵詞:平面角共線二面角

    付宏祥

    (甘肅省定西市安定區(qū)東方紅中學(xué) 743000)

    二面角的求解是高考命題中常出現(xiàn)的問題.空間向量的引入,利用平面的法向量的夾角來度量二面角的大小,對二面角的大小求解帶來了很大的方便,不失為一個(gè)好方法.但兩個(gè)法向量均指向二面角的內(nèi)部或外部,則法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角;兩個(gè)法向量中一個(gè)指向二面角的內(nèi)部,另一個(gè)指向二面角的外部,則法向量的夾角等于二面角的平面角,需在寫出二面角的平面角的大小前做出判斷后進(jìn)行準(zhǔn)確回答.當(dāng)二面角接近直角或不宜觀察時(shí),要判斷二面角的大小范圍就有一定的難度了.

    我們能不能在求解二面角的平面角大小時(shí)避免判斷直接將問題解決呢?實(shí)質(zhì)上只需回歸二面角的平面角定義,分別在兩半平面內(nèi)尋找從棱出發(fā)垂直棱的向量m、n(如圖1),則兩向量m、n的夾角即為所求二面角的平面角.向量m、n的得到可以借助共線向量基本定理,即向量共線的充要條件:對空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb來求解向量,使得問題完美解決.下面結(jié)合2018、2019年北京卷理科兩道高考試題談?wù)剢栴}解決的具體過程.

    (1)求證:AC⊥平面BEF;

    (2)求二面角B-CD-C1的余弦值;

    (3)證明:直線FG與平面BCD相交.

    解析(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)镃C1⊥平面ABC,所以四邊形A1ACC1為矩形.

    又E,F(xiàn)分別為AC,A1C1的中點(diǎn),所以AC⊥EF.

    因?yàn)锳B=BC,所以AC⊥BE.

    因?yàn)镋F∩BE=E,所以AC⊥平面BEF.

    (2)由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.

    又CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因?yàn)锽E?平面ABC,所以EF⊥BE.如圖3建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

    (3)略.

    注:該題第(2)問利用法向量求二面角B-CD-C1的余弦值時(shí),需結(jié)合實(shí)際判斷該二面角為鈍角,才能準(zhǔn)確表達(dá)出二面角的余弦值,但若采用在二面角半平面內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)南蛄考饶芎喕\(yùn)算,又能準(zhǔn)確表示二面角的大小,避免了運(yùn)用平面法向量求解二面角的大小時(shí)判斷二面角的環(huán)節(jié),使得問題快速準(zhǔn)確的解決.

    (1)求證:CD⊥平面PAD;

    (2)求二面角F-AE-P的余弦值;

    解析(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.

    又因?yàn)锳D⊥CD,且PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.

    (2)過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖5建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

    (3)略.

    注:該題第(2)問利用法向量求二面角F-AE-P的余弦值時(shí),需結(jié)合實(shí)際判斷該二面角為銳角,才能準(zhǔn)確表達(dá)出二面角的余弦值,但是若結(jié)合空間向量的加法、減法及數(shù)乘等基本運(yùn)算尋找垂直于棱的向量,即可靈活、簡練、準(zhǔn)確地解決問題.

    在高考立體幾何試題中,有關(guān)二面角的計(jì)算問題屢屢出現(xiàn),仔細(xì)品味空間角的解法既可從幾何角度解決,又可從向量角度解決,問題解決形式多樣、靈活多變,對我們理解立體幾何問題有很大幫助.大多數(shù)二面角的求解能從實(shí)際出發(fā),找出從棱出發(fā)分別在各自半平面內(nèi)的垂直于棱的向量,此兩向量的夾角即為所求二面角的平面角,用向量的夾角計(jì)算出二面角的大小,對問題的解決快捷高效、準(zhǔn)確明了,不失為計(jì)算二面角大小的一種好方法,值得大家借鑒.

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