框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)的改進(jìn)方法

劉嘉達(dá)仁，楊綠峰，張 偉，馮瑛琪

(1.廣西大學(xué) 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；2.阿爾伯塔大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，阿爾伯塔 埃德蒙頓 T6G1H9；3.廣西建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西 南寧 530003)

0 引 言

在工業(yè)和民用建筑中，相較于桁架結(jié)構(gòu)及砌體結(jié)構(gòu)，框架結(jié)構(gòu)具有整體性和剛度較好、空間分布靈活、自重輕等優(yōu)點(diǎn)，是一種被廣泛使用的結(jié)構(gòu)形式。為兼顧框架結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟(jì)性，有必要對(duì)其開展整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法包括數(shù)學(xué)規(guī)劃法和優(yōu)化準(zhǔn)則法，其中優(yōu)化準(zhǔn)則法原理簡(jiǎn)單，且迭代分析次數(shù)與優(yōu)化變量數(shù)目無關(guān)，收斂快，計(jì)算效率高，是框架結(jié)構(gòu)承載力優(yōu)化主要采用的方法[1-3]。優(yōu)化準(zhǔn)則法通常根據(jù)設(shè)計(jì)荷載工況下的彈性分析結(jié)果開展構(gòu)件承載力優(yōu)化，不能對(duì)結(jié)構(gòu)整體承載力進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。近年來，國內(nèi)外一些學(xué)者[4-7]基于塑性設(shè)計(jì)理論，將整體承載力納入到結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件中，對(duì)框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了很有意義的嘗試。這類方法通常需要根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)假定結(jié)構(gòu)失效模式，在大型復(fù)雜框架結(jié)構(gòu)中難以有效模擬結(jié)構(gòu)的真實(shí)失效模式及損傷過程，從而難以準(zhǔn)確地考慮結(jié)構(gòu)整體承載力要求。為此，楊綠峰等[8-9]初步提出了結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)的均勻承載準(zhǔn)則法，但是該方法尚未提供多內(nèi)力組合作用下截面幾何參數(shù)的調(diào)整方法，且迭代收斂速度尚需改進(jìn)，影響了該方法在框架結(jié)構(gòu)中的有效應(yīng)用。

優(yōu)化準(zhǔn)則法通常是一個(gè)迭代計(jì)算的過程，在每個(gè)迭代步結(jié)束時(shí)，各構(gòu)件的截面幾何參數(shù)需要根據(jù)本迭代步的強(qiáng)度需求進(jìn)行調(diào)整，并在結(jié)構(gòu)計(jì)算模型中進(jìn)行更新，從而開展下一個(gè)迭代步的結(jié)構(gòu)分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。由于框架結(jié)構(gòu)通常需考慮多內(nèi)力組合、材料及幾何非線性的情況，根據(jù)強(qiáng)度需求確定截面幾何參數(shù)的過程往往存在耗時(shí)長、計(jì)算過程繁瑣等問題[10]。因而如何由強(qiáng)度需求確定截面幾何參數(shù)是開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。文獻(xiàn)[11]～[13]將構(gòu)件截面幾何參數(shù)視為離散變量，基于規(guī)格型號(hào)庫選擇構(gòu)件以滿足強(qiáng)度需求，繞過了截面幾何參數(shù)調(diào)整的環(huán)節(jié)。由于優(yōu)化迭代過程中截面幾何參數(shù)始終按照構(gòu)件規(guī)格型號(hào)庫選取，此類方法往往會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件強(qiáng)度過高、耗材量增加的情況，并且難以滿足實(shí)際工程中為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特定功能要求或節(jié)省耗材而使用非定型或異形構(gòu)件的需求。文獻(xiàn)[11],[14]～[16]基于擬合得到的截面幾何參數(shù)之間的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)關(guān)系，將多參數(shù)調(diào)整問題簡(jiǎn)化為單參數(shù)調(diào)整問題，但這類方法需要事先給定各構(gòu)件截面幾何參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系，容易遺漏最優(yōu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

為解決上述框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)中的難題，基于結(jié)構(gòu)極限承載力分析的彈性模量縮減法(EMRM)，本文針對(duì)工程中常用的矩形和工字形截面，研究了多內(nèi)力組合下截面幾何參數(shù)調(diào)整方法，提出了能夠提升計(jì)算效率并兼顧優(yōu)化效果的強(qiáng)化迭代系數(shù)，據(jù)此建立了框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)的改進(jìn)方法。

1 框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.1 結(jié)構(gòu)整體承載力分析的彈性模量縮減法

結(jié)構(gòu)承載力是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的重要約束條件，本文采用EMRM分析確定框架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件和整體承載力，定義單元承載比(EBR)為

(1)

式中：re為單元e的承載比；f為齊次廣義屈服函數(shù)；M1為齊次廣義屈服函數(shù)的階次。

對(duì)于矩形截面，f為

(2)

對(duì)于工字形截面，f為

(3)

式中：nx，my，mz分別為軸力和雙向彎矩的量綱一的內(nèi)力，nx=Nx/Npx，my=My/Mpy，mz=Mz/Mpz，Mx，My和Mz分別為梁?jiǎn)卧孛嫔系妮S力和雙向彎矩內(nèi)力值，Npx，Mpy和Mpz分別為與Nx，My和Mz相對(duì)應(yīng)的全截面塑性抗力。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：P0為外荷載初始值。

定義EMRM收斂條件為

(8)

式中：ε為收斂容許誤差，本文取0.000 1。

(9)

上述計(jì)算結(jié)構(gòu)整體承載力的方法稱為彈性模量縮減法。

1.2 高、低承載構(gòu)件的判別準(zhǔn)則

在框架結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算模型中，各構(gòu)件通常被劃分為多個(gè)梁?jiǎn)卧Ｈ「鳂?gòu)件內(nèi)全部EBR的最大值為該構(gòu)件的構(gòu)件承載比(CBR)，即

(10)

(11)

(12)

(13)

1.3 兩層面承載力設(shè)計(jì)方法

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，結(jié)構(gòu)的構(gòu)件承載力和整體承載力都應(yīng)滿足預(yù)定要求。構(gòu)件或結(jié)構(gòu)整體安全系數(shù)小于目標(biāo)值時(shí)，表明構(gòu)件或整體承載力不滿足要求，此時(shí)需要改進(jìn)構(gòu)件截面設(shè)計(jì)方案。

1.3.1 構(gòu)件承載力設(shè)計(jì)的截面強(qiáng)度調(diào)整方法

(14)

(15)

1.3.2 整體承載力設(shè)計(jì)的截面強(qiáng)度調(diào)整方法

EMRM迭代末步時(shí)結(jié)構(gòu)失效破壞，結(jié)構(gòu)整體處于塑性極限狀態(tài)，因此可基于迭代末步結(jié)果計(jì)算整體層面承載力儲(chǔ)備，即整體安全系數(shù)Kg

(16)

(17)

(18)

式中：αg為整體承載力調(diào)整系數(shù)。

由于荷載和材料分項(xiàng)安全系數(shù)已在結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)方案中考慮，本文取K0=1.00，同時(shí)參考文獻(xiàn)[8]，[9]對(duì)結(jié)構(gòu)整體承載能力安全性的研究，取K0=1.40。

需要說明的是，式(15)，(18)中均提出了強(qiáng)化迭代系數(shù)η。η的取值略大于1，使得截面強(qiáng)度的調(diào)整幅度略大于1。這是由于構(gòu)件截面強(qiáng)度調(diào)整后，截面幾何尺寸及剛度也相應(yīng)改變，在超靜定框架結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件的內(nèi)力分配會(huì)發(fā)生變化，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致截面強(qiáng)度調(diào)整后無法嚴(yán)格滿足安全系數(shù)目標(biāo)值的要求，需開展多次的迭代循環(huán)。引入取值略大于1的強(qiáng)化迭代系數(shù)，可以有效降低迭代次數(shù)，提升計(jì)算效率，但其取值過大時(shí)會(huì)帶來截面強(qiáng)度調(diào)整幅度過大、降低優(yōu)化效果的問題。后文結(jié)合算例分析研究了η的取值問題，并給出了取值建議。

1.4 整體承載力的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)就是通過不斷減少低承載構(gòu)件的截面強(qiáng)度，實(shí)現(xiàn)減少結(jié)構(gòu)耗材的目的。

低承載構(gòu)件截面強(qiáng)度在調(diào)整前后應(yīng)滿足

(19)

據(jù)此可調(diào)整低承載構(gòu)件截面強(qiáng)度

(20)

從上述高、低承載構(gòu)件的強(qiáng)度調(diào)整過程可以看出，通過降低高承載構(gòu)件的CBR值及提升低承載構(gòu)件的CBR值，結(jié)構(gòu)的承載比均勻度dk得到顯著提升，使得各構(gòu)件強(qiáng)度利用更加充分。重復(fù)開展上述高、低承載構(gòu)件的強(qiáng)度調(diào)整過程，直至滿足框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的均勻承載準(zhǔn)則，即前后2次EMRM迭代末步的結(jié)構(gòu)承載比均勻度滿足

(21)

式中：εd為收斂容差，本文取0.001。

多內(nèi)力組合下框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)整體承載力設(shè)計(jì)與優(yōu)化流程

2 截面幾何參數(shù)調(diào)整方法

通過第1.3節(jié)和第1.4節(jié)可以確定多內(nèi)力組合作用下結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)所需要的構(gòu)件截面強(qiáng)度，并據(jù)此調(diào)整構(gòu)件的截面幾何參數(shù)。

2.1 矩形截面

如圖2所示矩形截面，截面高為h，寬為b，材料屈服強(qiáng)度為σs。多內(nèi)力組合作用下，平面內(nèi)外彎矩My，Mz和軸力Mx相應(yīng)的截面強(qiáng)度為

圖2 矩形截面

Mpy=0.25σsbh2，Mpz=0.25σsb2h，

Npx=σsbh

(22)

考慮Npx和Mpy時(shí)，可建立截面幾何參數(shù)調(diào)整公式，即

(23)

考慮Npx和Mpz時(shí)，可建立截面幾何參數(shù)調(diào)整公式，即

(24)

矩形截面的幾何參數(shù)調(diào)整公式為

h=max{h1,h2},b=max{b1,b2}

(25)

2.2 工字形截面

如圖3所示工字形截面，截面高度為d，翼緣寬度為bf，翼緣厚度為tf，腹板厚度為tw，材料屈服強(qiáng)度為σs，令β為腹板與單翼緣面積比，β=Aw/Af。

圖3 工字形截面

平面內(nèi)外彎矩My，Mz和軸力Nx相應(yīng)的截面強(qiáng)度為

Mpy=σsAfd(1+0.25β)，Mpz=0.5σsAfbf，

Npx=σsAf(2+β)，

(26)

工字形截面的幾何參數(shù)調(diào)整公式為

(27)

3 算例分析

3.1 算例1：工字形平面框架

圖4為一工字形截面平面框架，其中均布荷載q=24 kN·m-1，半跨長L=4.8 m，材料為Q235鋼。初始方案各構(gòu)件的規(guī)格型號(hào)如表1所示。構(gòu)件和整體安全系數(shù)目標(biāo)值分別取K0，Ks=1.40。

圖4 平面框架計(jì)算模型

表1 初始方案

3.1.1 結(jié)構(gòu)高、低承載構(gòu)件的識(shí)別

圖5 CBR迭代過程

圖6 彈性模量迭代過程

3.1.2 結(jié)構(gòu)整體承載力設(shè)計(jì)

根據(jù)EMRM迭代末步結(jié)果，可評(píng)估整體層面承載能力的儲(chǔ)備，即結(jié)構(gòu)整體安全系數(shù)Kg=1.33，小于其目標(biāo)值要求Ks=1.40，表明需進(jìn)行整體承載力的截面強(qiáng)度調(diào)整?；谑?18)，(27)進(jìn)行整體承載力設(shè)計(jì)，得到結(jié)構(gòu)整體承載力設(shè)計(jì)方案如表2所示。從表2可以看出，通過增強(qiáng)部分高承載構(gòu)件(構(gòu)件10～15)的截面強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)整體承載力安全性要求得以滿足。

表2 結(jié)構(gòu)整體承載力設(shè)計(jì)方案

3.1.3 結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化

3.1.4 強(qiáng)化迭代系數(shù)η的取值

取η=1.001～1.030，計(jì)算研究了η取值對(duì)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化效率和計(jì)算效率的影響。由表3可知：當(dāng)η取值稍大于1(1.000 1～1.001 0)時(shí)，優(yōu)化效率被略微減小，但計(jì)算效率大幅提升；進(jìn)一步增大η的取值，計(jì)算效率總體呈提升趨勢(shì)，但優(yōu)化效率被逐步減小。通過大量數(shù)據(jù)分析，η=1.001～1.020時(shí)可以在提升計(jì)算效率的同時(shí)兼顧良好的優(yōu)化效率。本算例取η=1.001。

表3 強(qiáng)化迭代系數(shù)η效應(yīng)分析

3.1.5 滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)對(duì)比

滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)以結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件的應(yīng)力在約束條件下達(dá)到最大值為準(zhǔn)則，被廣泛應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。這里采用框架結(jié)構(gòu)滿應(yīng)力設(shè)計(jì)中的浮動(dòng)應(yīng)力指數(shù)法[10]，對(duì)比分析本文方法的合理性。取截面慣性矩Iy作為設(shè)計(jì)變量，得到框架結(jié)構(gòu)的滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)方案，如表2所示。各構(gòu)件的構(gòu)件安全系數(shù)均大于目標(biāo)值K0=1.00，表明滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)可以滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件層面安全性的要求。

利用彈塑性增量法(EPIA)計(jì)算得到滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)方案的整體承載力為25.24 kN·m-1，代入式(16)可以得到其整體安全系數(shù)Kg=1.05，遠(yuǎn)小于其目標(biāo)值Ks=1.40的要求，表明滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)無法滿足結(jié)構(gòu)在整體層面安全性的要求。由表2可以看出，第二類高承載構(gòu)件1，3，4，6的截面強(qiáng)度被大幅度縮減，表明滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)無法識(shí)別這類高承載構(gòu)件，將這類高承載構(gòu)件等同為低承載構(gòu)件進(jìn)行截面強(qiáng)度的縮減，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體承載力不足。本文方法通過EMRM迭代分析，可以準(zhǔn)確識(shí)別第二類高承載構(gòu)件，克服了滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)無法滿足結(jié)構(gòu)在整體層面安全性的要求。

同時(shí)，表4對(duì)比分析了EPIA和EMRM對(duì)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，2種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合，EMRM具有較高的計(jì)算效率。

表4 整體安全系數(shù)及計(jì)算耗時(shí)

3.2 算例2：工字形空間框架

圖7為工字形截面空間框架，q=24 kN·m-1，層高H=3.0 m，材料為Q235鋼。初始方案各構(gòu)件的規(guī)格型號(hào)如表5所示。構(gòu)件和結(jié)構(gòu)整體安全系數(shù)的目標(biāo)值分別取K0=1.00和Ks=1.40，強(qiáng)化迭代系數(shù)η=1.001。

表5 工字形空間框架初始方案

圖7 空間框架

3.2.1 結(jié)構(gòu)整體承載力設(shè)計(jì)

基于結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)方案可建立線彈性有限元模型進(jìn)行EMRM分析，每根構(gòu)件被劃分為8個(gè)梁?jiǎn)卧Ｔ贓MRM迭代過程中，識(shí)別出高承載構(gòu)件包括1～16，18～35，37～50，52～64，66，低承載構(gòu)件包括2，5，7～9。其中，識(shí)別出第二類高承載包括1，6，10～11，14～16，18～20，25，29～30，33～35，37～38，40，45～46，49～50，52，54，59～60，63～64和66。

基于式(14)，(16)，可計(jì)算得到各構(gòu)件安全系數(shù)和整體安全系數(shù)，如表6所示。可以看出，各構(gòu)件安全系數(shù)和整體安全系數(shù)均滿足目標(biāo)值K0=1.00和Kg=1.42的要求，表明無需進(jìn)行構(gòu)件和整體承載力的截面強(qiáng)度調(diào)整。

表6 各設(shè)計(jì)方案桿件規(guī)格

3.2.2 結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化

基于式(19)～(21)開展結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化迭代，減小低承載構(gòu)件的截面強(qiáng)度，并基于式(27)進(jìn)行相應(yīng)的截面幾何參數(shù)調(diào)整，最終根據(jù)《熱軋型鋼》(GB/T 706—2008)規(guī)范，選擇構(gòu)件截面尺寸規(guī)格，得到整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)方案(表6)。從表6可以看出，21個(gè)低承載構(gòu)件的截面強(qiáng)度被顯著縮減，結(jié)構(gòu)耗材較初始方案節(jié)省了9.21%。由此可見，本文方法能夠保證結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和整體2個(gè)層面上的安全性，獲得承載性能與經(jīng)濟(jì)性能均優(yōu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。需要指出的是，第二類高承載構(gòu)件的截面強(qiáng)度均未被縮減。

3.2.3 滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)對(duì)比研究

對(duì)本算例進(jìn)行滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)，得到滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)方案(表6)。從表6可以看出：各構(gòu)件的構(gòu)件安全系數(shù)均滿足其目標(biāo)值要求，表明滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)可以滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件層面安全性的要求；整體安全系數(shù)為1.33，不滿足其目標(biāo)值的要求，表明滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)無法滿足結(jié)構(gòu)在整體層面安全性的要求。由表6可以看出，第二類高承載構(gòu)件11，16，30，35的截面強(qiáng)度被縮減，表明滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)無法識(shí)別這類高承載構(gòu)件，將這類高承載構(gòu)件等同為低承載構(gòu)件進(jìn)行截面強(qiáng)度的縮減，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體承載力不足。本文方法通過EMRM迭代分析，可以準(zhǔn)確識(shí)別第二類高承載構(gòu)件，克服了滿應(yīng)力準(zhǔn)則設(shè)計(jì)無法滿足結(jié)構(gòu)在整體層面安全性的要求。

表7對(duì)比分析了EPIA和EMRM對(duì)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的計(jì)算結(jié)果。可以看出，2種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合，EMRM的計(jì)算效率顯著優(yōu)于EPIA。

表7 工字形空間框架整體安全系數(shù)及計(jì)算耗時(shí)

4 結(jié) 語

(1)建立了多內(nèi)力組合作用下矩形和工字形截面的幾何參數(shù)調(diào)整方法，克服了多內(nèi)力組合作用下根據(jù)強(qiáng)度需求確定截面幾何參數(shù)耗時(shí)長、計(jì)算過程繁瑣等問題。

(2)強(qiáng)化迭代系數(shù)取值η=1.001～1.020時(shí)，可以顯著提高優(yōu)化迭代的收斂速度，并可獲得較好的框架結(jié)構(gòu)整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

(3)本文整體承載力優(yōu)化設(shè)計(jì)方法克服了傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不能準(zhǔn)確識(shí)別第二類高承載構(gòu)件，不能滿足整體承載力安全性要求的問題。