復(fù)合型加載條件下HCCD試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子的研究

楊 旺， 巫緒濤， 仰 濤

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

由于具有強(qiáng)度高、造價(jià)低、材料來(lái)源廣泛、耐久性好等優(yōu)點(diǎn),混凝土在現(xiàn)代土木工程中被大量使用。但混凝土內(nèi)部不可避免地存在大量原生微裂紋,往往導(dǎo)致結(jié)構(gòu)沒(méi)有達(dá)到承載力時(shí)就發(fā)生破壞,這是由裂紋的快速擴(kuò)展而發(fā)生的低應(yīng)力脆性斷裂。應(yīng)力強(qiáng)度因子反映了裂紋尖端彈性應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)弱,對(duì)于建立脆性斷裂準(zhǔn)則及研究構(gòu)件內(nèi)的裂紋擴(kuò)展具有重要的意義。為了建立脆性斷裂準(zhǔn)則,人們利用巴西圓盤試驗(yàn)時(shí)試樣內(nèi)部可以產(chǎn)生拉應(yīng)力和切應(yīng)力的特點(diǎn),通過(guò)在圓盤試樣內(nèi)預(yù)制裂紋,并改變裂紋與載荷夾角,從而實(shí)現(xiàn)純Ⅰ型、純Ⅱ型及復(fù)合型斷裂。但由于預(yù)制裂紋較困難、裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子較小以及加載處存在較嚴(yán)重的應(yīng)力集中,人們對(duì)帶裂紋的巴西圓盤試驗(yàn)進(jìn)行了多種改進(jìn)。文獻(xiàn)[1-5]分別研究了帶裂紋扁平巴西圓盤、人字型切槽巴西圓盤、中心直裂紋平臺(tái)巴西圓盤、帶裂紋中心圓孔圓盤(hollow centre cracked disc,HCCD)的改進(jìn)形式。其中HCCD試驗(yàn)很好地解決了上述難題,得到了一些學(xué)者的關(guān)注,但由于具有較復(fù)雜的邊界條件,HCCD試樣裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子尚無(wú)法得到理論解。文獻(xiàn)[6-8]均采用有限元方法給出了擬合公式,但為了減少變量,上述公式均固定了試樣的尺寸和加載角,不具有普適性,且重點(diǎn)研究純Ⅰ型斷裂,復(fù)合型斷裂研究不充分。

本文對(duì)復(fù)合型加載條件下HCCD試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬,結(jié)合量綱分析得到了一般性的Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子擬合公式。該組公式同時(shí)包含裂紋傾角θ、圓盤內(nèi)徑r、裂紋長(zhǎng)度a3個(gè)變量,當(dāng)3個(gè)變量在較寬范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí),公式均具有較高精度。且通過(guò)該組公式可以方便地計(jì)算各種條件下KⅠ/KⅡ及純Ⅱ型斷裂條件，從而方便了HCCD試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

1 有限元模型及公式擬合

1.1 有限元模型

HCCD試驗(yàn)簡(jiǎn)圖如圖1a所示,其中,a為裂紋長(zhǎng)度；R為試樣外半徑；r為試樣內(nèi)半徑；θ為裂紋傾角；F為集中荷載。采用有限元軟件ANSYS進(jìn)行數(shù)值模擬,單元類型為SOLID186。由于裂紋尖端的應(yīng)力奇異性,用不含奇異性的常規(guī)有限元計(jì)算,需要很密的網(wǎng)格,計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)且精度不高。因此通過(guò)KSCON命令在圍繞裂尖一圈實(shí)現(xiàn)退化奇異等參元,且采用單元均勻變化的輻射式網(wǎng)格劃分方式,如圖1b所示。裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子用相互作用積分法計(jì)算。這種方法計(jì)算方便,適用性強(qiáng),且對(duì)裂紋區(qū)域網(wǎng)格密度的依賴性小。試樣采用線彈性本構(gòu),其彈性模量E為30 GPa；泊松比ν為0.2。試樣厚度B為0.025 m,外圓半徑R為0.05 m,內(nèi)外圓半徑比r/R從0.05變化至0.50,相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)從0.1變化至0.6,裂紋傾角θ從0°變化至30°,承受集中力F=1 000 N。

圖1 復(fù)合型加載HCCD試驗(yàn)簡(jiǎn)圖

1.2 Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子公式擬合

根據(jù)大量算例結(jié)果并結(jié)合量綱分析法,選擇Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ擬合公式的形式為:

(1)

(1)式的前半部分滿足應(yīng)力強(qiáng)度因子的量綱形式,f為無(wú)量綱形狀因子,是相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)、內(nèi)外半徑比r/R、裂紋傾角θ的函數(shù)。為了分析方便,將(1)式轉(zhuǎn)換為:

(2)

由數(shù)值模擬得到KⅠ的散點(diǎn)值,由(2)式計(jì)算f值。研究發(fā)現(xiàn)f隨著cosθ的減小而單調(diào)遞減,并且具有良好的線性關(guān)系,因此,對(duì)f采用以下形式,即

(3)

(3)式中的G和H都是關(guān)于r/R和a/(R-r)的函數(shù),其變化規(guī)律具有相似性,因此采用相同的擬合形式,即

(4)

(5)

對(duì)于(4)式中的b0、b1、b2,分別采用以下公式進(jìn)行擬合,即

(6)

(7)

(8)

其中,n0=0.56；n1=74.97；n2=0.06；n3=-1.06；n4=-0.29；m0=0.06；m1=-1.27；m2=1.54；d0=2.56；d1=18.60；d2=-39.25；d3=21.66。

對(duì)于(5)式中的c0、c1和c2,采用與(6)～(8)式相同的擬合形式,僅系數(shù)值不同,即

n0′=-1.14,n1′=-85.59,n2′=0.06,

n3′=1.40,n4′=-0.33;

m0′=-0.05,m1′=1.09,m2′=-1.29;

d0′=2.56,d1′=18.60,

d2′=-39.25,d3′=21.66。

采用上述公式計(jì)算復(fù)合型加載條件下HCCD試樣的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子,最大計(jì)算誤差不超過(guò)9%。在a/(R-r)為0.2,r/R從0.05變化至0.50時(shí)其擬合效果如圖2所示。

圖2 KⅠ擬合效果

1.3 Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子公式擬合

根據(jù)量綱分析法,選擇Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ擬合公式的形式為:

(9)

(9)式的前半部分滿足應(yīng)力強(qiáng)度因子的量綱形式,Y為無(wú)量綱形狀因子,與相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)、內(nèi)外半徑比r/R、裂紋傾角θ相關(guān)。為了方便分析,將(9)式轉(zhuǎn)換為:

(10)

根據(jù)模擬的KⅡ值按(10)式計(jì)算Y,發(fā)現(xiàn)Y與a/(R-r)具有很好的線性關(guān)系,即

(11)

(11)式中的U和I都是關(guān)于r/R和θ的函數(shù)。分別采用的擬合形式如下：

(12)

(13)

(12)式中的q0擬合公式如下：

q0(θ)=e0+e1exp(e2θ)

(14)

其中的系數(shù)值分別為:e0=-0.38；e1=0.39；e2=0.02。

(12)式中的q1與q0具有相同形式,僅擬合系數(shù)值不同,即e0′=-0.03,e1′=-0.15,e2′=0.05。

(13)式中t0的擬合形式如下:

t0=k0+k1θ+k2θ2+k3θ3+k4θ4

(15)

其中的系數(shù)值分別為:k0=0.48；k1=-0.16；k2=0.02；k3=-0.96E-5；k4=1.28E-5。

(13)式中的t1與t0形式相同,只是系數(shù)值不同:k0′=-2.71；k1′=1.56；k2′=-0.12；k3′=4.00E-3；k4′=-5.14E-5。

采用上述公式計(jì)算復(fù)合加載條件下HCCD試樣的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子,其最大計(jì)算誤差小于10%。在相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)為0.2時(shí)其擬合效果如圖3所示。

圖3 KⅡ擬合效果圖

2 發(fā)生純Ⅱ型斷裂的起始位置

在r/R為0.3,不同裂紋傾角下,Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的值隨相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)的變化如圖4所示。

圖4 KⅠ隨a/(R-r)的變化關(guān)系

由圖4可以看出,當(dāng)r/R不變時(shí),KⅠ的值隨裂紋傾角的增大而減小,隨a/(R-r)的增大單調(diào)遞減。并且當(dāng)裂紋傾角越大其下降趨勢(shì)越快,最終趨向于0。這表示裂紋的擴(kuò)展方式由Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型逐漸轉(zhuǎn)變至純Ⅱ型。

根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果,可以得到不同相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)、內(nèi)外半徑比r/R和裂紋傾角θ的情況下KⅠ值近似為0的點(diǎn),即為開(kāi)始發(fā)生純Ⅱ型斷裂的起始位置。當(dāng)裂紋傾角θ大于20°時(shí),也可以使用Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子公式計(jì)算得到純Ⅱ型斷裂的起始位置。使用公式計(jì)算和數(shù)值模擬的對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 純Ⅱ型斷裂起始位置對(duì)比

3 結(jié) 論

(1) 本文對(duì)復(fù)合型加載條件下HCCD試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬,得到Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的擬合公式。

當(dāng)裂紋傾角θ在0°～15°,內(nèi)外圓半徑比r/R在0.05～0.50,相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)在0.1～0.6的范圍內(nèi)時(shí),KⅠ公式最大誤差小于8%;當(dāng)裂紋傾角θ在15°～30°,內(nèi)外圓半徑比r/R在0.05～0.50,相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)在0.1～0.4范圍內(nèi)時(shí),KⅠ公式的最大誤差小于9%;且當(dāng)裂紋傾角θ等于0°時(shí),該公式可以退化為文獻(xiàn)[9]給出的純Ⅰ型公式。

當(dāng)裂紋傾角θ在0°～30°,內(nèi)外圓半徑比r/R在0.1～0.5,相對(duì)裂紋長(zhǎng)度a/(R-r)在0.1～0.6的范圍內(nèi)時(shí),KⅡ公式的最大誤差小于10%。

(2) 當(dāng)裂紋傾角θ大于20°時(shí),可以使用本文得到的KⅠ公式計(jì)算純Ⅱ型斷裂位置。

上述結(jié)論大大方便了復(fù)合型HCCD試驗(yàn)設(shè)計(jì),可以快速計(jì)算各種情況下的KⅠ/KⅡ及純Ⅱ型斷裂條件。