基于PolyMax模態(tài)參數(shù)識別法的軸裝式制動盤模態(tài)試驗(yàn)

焦標(biāo)強(qiáng)，曹建行，呂寶佳，張化謙，宋躍超，陳德峰

（1.北京縱橫機(jī)電科技有限公司，北京 100094；2.中國鐵道科學(xué)研究院 研究生部，北京 100081）

模態(tài)參數(shù)識別技術(shù)在工程結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測、日常維護(hù)和振動控制等方面，有重要的科學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用價值［1］。任何結(jié)構(gòu)都能被簡化為“彈簧—質(zhì)量—阻尼”系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)損失將引起模態(tài)參數(shù)的變化［2］。因此，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)變化標(biāo)志著結(jié)構(gòu)發(fā)生了損傷［3］，能夠用來表征結(jié)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)行工況和真實(shí)的動力學(xué)特性。模態(tài)分析是求解物理空間中復(fù)雜耦合運(yùn)動方程特征值，并將其轉(zhuǎn)化為1組解耦的單自由度運(yùn)動方程，是研究結(jié)構(gòu)動態(tài)特性、避免發(fā)生共振、提高工作穩(wěn)定性的重要方法［4-5］。

制動盤作為高速列車制動系統(tǒng)的關(guān)鍵核心部件之一，其振動特性直接影響整車運(yùn)行安全和運(yùn)營成本，深入研究制動盤動力學(xué)特性對列車的穩(wěn)定安全運(yùn)營具有重要科學(xué)參考價值［6-7］。然而，軸裝式制動盤盤體具有多個小圓柱腹板，盤轂上具有錐形空洞，因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜不易通過有限元法獲得精確地模態(tài)參數(shù)，相比之下試驗(yàn)方法更能精確地獲取其模態(tài)參數(shù)。根據(jù)信號域的不同，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法主要有頻域法［8］、時域法［9］和時頻域法。頻域法通過結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)（FRF）進(jìn)行模態(tài)識別；時域法是直接利用實(shí)測信號建模進(jìn)行模態(tài)識別，一定程度上彌補(bǔ)了頻域法的不足；時頻域法在非線性非穩(wěn)定信號的模態(tài)識別方面具有一定優(yōu)勢，但在實(shí)際工程中能夠應(yīng)用的時頻域法較少。Poly-Max模態(tài)參數(shù)識別法屬于頻域法，采用離散時間頻域模型，能夠較好解決頻域法中的數(shù)值病態(tài)問題，既適用于弱阻尼數(shù)據(jù)，也適用于強(qiáng)阻尼數(shù)據(jù)，能夠得到清晰易分離的穩(wěn)態(tài)圖。

本文基于PolyMax模態(tài)參數(shù)識別法，對軸裝式制動盤進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別試驗(yàn)，研究制動盤的主要振動形式，分析制動盤動態(tài)特性，探究了附加質(zhì)量對制動盤模態(tài)頻率的影響，為進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)制動盤的動力學(xué)提供理論參考。

1 PolyMax法模態(tài)參數(shù)識別原理

PolyMax模態(tài)參數(shù)識別法是集最小二乘復(fù)頻域法（LSCF）和最小二乘復(fù)指數(shù)法（LSCE）各自的優(yōu)點(diǎn)，得到清晰易分離的穩(wěn)態(tài)圖，通過穩(wěn)態(tài)圖對極點(diǎn)和結(jié)構(gòu)模態(tài)參與因子進(jìn)行整體估計(jì)，獲得制動盤結(jié)構(gòu)振動模態(tài)頻率、阻尼和模態(tài)參與因子，進(jìn)而將非線性目標(biāo)函數(shù)線性化處理得到頻響函數(shù)參數(shù)矩陣的線性矩陣分布模型，求解基于壓縮正則方程的最小二乘問題得到相關(guān)模態(tài)參數(shù)［10-11］。針對高度密集模態(tài)和FRF數(shù)據(jù)被噪聲污染等問題，PolyMax模態(tài)參數(shù)識別法仍能獲得清晰的穩(wěn)態(tài)圖，精確地識別每一階模態(tài)參數(shù)［12］。頻域中系統(tǒng)的輸出和輸入關(guān)系可用右矩陣分式模型來描述，其數(shù)學(xué)模型為

其中，

式中：ω為角頻率；H(ω)為制動盤系統(tǒng)理論頻響函數(shù)矩陣；B(ω)為輸出參數(shù)矩陣；A(ω)為輸入?yún)?shù)矩陣；Ωj(ω)為基函數(shù)；n為多項(xiàng)式階次；βj和αj（j=0，1，…，n）分別為分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)。

加權(quán)線性最小二乘估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

其中，

式中：0 為零矩陣；J為雅可比（Jacobian）矩陣；θ為參數(shù)矩陣；（·）H為矩陣的厄米特共軛矩陣；?為克羅內(nèi)克（Kronecker）積；Nf為識別頻段內(nèi)包含的譜線數(shù)；Ho（·）實(shí)測頻響矩陣的第o行；N為輸出參數(shù)最大通道數(shù)。

考慮標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)特性下，根據(jù)線性方程組求解理論，求得分母系數(shù)矩陣α及其伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可得到系統(tǒng)極點(diǎn)和相應(yīng)模態(tài)參與因子，其方程為

式中：I 為單位矩陣；V為特征向量矩陣；Λ為酉矩陣的特征值矩陣。

對角元素Λik與系統(tǒng)極點(diǎn)pi和pi*間存在以下關(guān)系。

其中，

式中：i為階數(shù)；Ts為采樣時間；σi為阻尼因子；ωdi為有阻尼固有頻率。由式（4）可解得

由此可解得頻率ωi和阻尼比ζi為式中：ωi為第i階無阻尼固有頻率；ζi為阻尼比。

2 制動盤模態(tài)試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)對象及設(shè)備

軸裝式制動盤主要由盤體、盤轂、擋塊、壓環(huán)、連接螺栓、防松螺母和油堵組成。采用LMS多功能數(shù)據(jù)采集器（SCADAS）進(jìn)行信號采集、LMS TestLab 軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，傳感器為B&K單向壓電式加速度傳感器（4個），力錘為PCB型。

2.2 測量方案

2.2.1 測量系統(tǒng)

測量系統(tǒng)是整個動態(tài)測試系統(tǒng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，直接關(guān)系試驗(yàn)的成敗和精度。測量系統(tǒng)主要由激勵裝置、傳感器及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)組成。通常情況下選擇測量系統(tǒng)時要考慮試驗(yàn)要求的幅值量級、頻率范圍和測量參數(shù)以及試驗(yàn)環(huán)境等諸多因素。制動盤模態(tài)試驗(yàn)測量系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 制動盤模態(tài)試驗(yàn)測量系統(tǒng)

2.2.2 激勵點(diǎn)和測量點(diǎn)布置

制動盤是典型的循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)，采用柱坐標(biāo)建模方式建立軸裝式制動盤幾何模型。綜合考慮模態(tài)測點(diǎn)覆蓋整個制動盤和激勵點(diǎn)數(shù)量，布置激勵點(diǎn)時沿徑向方向?qū)⒅苿颖P劃分為4等份，即在制動盤面上2 圈、輪轂1 圈、擋圈1 圈，共4 圈位置上均勻布置激勵點(diǎn)，共有36個激勵點(diǎn)，如圖2（a）所示，圖中紅色圓點(diǎn)代表激勵點(diǎn)位置。

圖2 激勵點(diǎn)和測量點(diǎn)布置

為提取到制動盤的重根模態(tài)，試驗(yàn)時采用了多激勵點(diǎn)方式，4 個加速度傳感器分別安裝在激勵點(diǎn)2，點(diǎn)10，點(diǎn)18 和點(diǎn)30 的背面，如圖2（b）所示，圖中綠色方塊代表傳感器位置。

試驗(yàn)中，采用傳感器固定、力錘移動的方式進(jìn)行。分析頻率為4 096 Hz，力錘錘頭選用尼龍頭。錘擊測試時，采樣點(diǎn)數(shù)為4 096個。

2.2.3 試驗(yàn)步驟

1）建立幾何模型

試驗(yàn)前在軟件LMS Test Lab 軟件中建立制動盤簡易幾何模型，按照試驗(yàn)時布置的36 個激勵點(diǎn)和4個測量點(diǎn)，用粉筆在制動盤表面標(biāo)記出36個激勵點(diǎn)和4個測量點(diǎn)，所建幾何模型和試驗(yàn)裝置如圖3所示。

圖3 制動盤幾何模型和試驗(yàn)裝置

2）數(shù)據(jù)采集

試驗(yàn)時采用彈性繩將制動盤懸掛，使其處于自由狀態(tài)，將力錘和加速度傳感器與LMS 多功能數(shù)據(jù)采集器對應(yīng)通道連接好，采用磁力座吸附方式將加速度傳感器吸附在制動盤標(biāo)記點(diǎn)表面。

3）參數(shù)識別

將采集到的各激勵點(diǎn)數(shù)據(jù)輸入到LMS Test lab軟件的模態(tài)分析模塊中進(jìn)行參數(shù)識別，選擇恰當(dāng)?shù)胤治鲱l段得到各測量點(diǎn)的頻響函數(shù)和相關(guān)函數(shù)曲線。

3 制動盤模態(tài)分析結(jié)果

試驗(yàn)選用的單向B&K 型加速度傳感器，質(zhì)量為2.9 g，為評價傳感器附加質(zhì)量對制動盤模態(tài)頻率的影響，下文分2 步進(jìn)行分析。第一步，僅安裝1 個傳感器測量得到頻響函數(shù)曲線；第二步，在第1 個傳感器上再安裝1 個同型號傳感器，僅用于增加附加質(zhì)量，測量傳感器仍用第1 個傳感器。2 次測量獲得的頻響函數(shù)曲線如圖4所示。從圖4可以看出：2 次測量獲得的頻響函數(shù)完全重合，這一結(jié)果表明傳感器附加質(zhì)量對制動盤結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)頻率無影響。

圖4 附加質(zhì)量對頻響函數(shù)的影響

試驗(yàn)中當(dāng)力錘產(chǎn)生的脈沖達(dá)到觸發(fā)水平時，數(shù)據(jù)采集器同時采集4 個傳感器的振動加速度信號，每個測量點(diǎn)進(jìn)行3次敲擊，采用譜平均法得到不同激勵點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線。這些頻響函數(shù)曲線變化規(guī)律相同，隨機(jī)列出10#測量點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 10#測量點(diǎn)頻響函數(shù)曲線

對36 個激勵點(diǎn)，分別進(jìn)行錘擊實(shí)驗(yàn)采集各點(diǎn)振動信號，通過采集制動盤振動信號，根據(jù)式（1）計(jì)算得到制動盤頻響函數(shù)曲線，然后采用PolyMax 模態(tài)參數(shù)識別法，根據(jù)式（3）和式（4）計(jì)算獲得極點(diǎn)與參與因子，進(jìn)而根據(jù)式（7）和式（8）提取制動盤模態(tài)參數(shù)，建立穩(wěn)態(tài)圖如圖6所示，制動盤前10 階固有頻率和阻尼見表1，前10階模態(tài)振型如圖7所示。表1中，模態(tài)振型（m，n）表示振型中含有m個節(jié)圓和n個節(jié)徑。

綜合表1、圖5—圖7可知：制動盤振動模態(tài)有周向模態(tài)、徑向模態(tài)和混合模態(tài)，在頻率1 627 Hz附近存在頻率幾乎一致的重根模態(tài)；制動盤模態(tài)復(fù)雜性比較小，近似為實(shí)模態(tài)振型，滿足循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)的典型模態(tài)振型特征。

表1 制動盤模態(tài)參數(shù)

圖6 穩(wěn)態(tài)結(jié)果

圖7 制動盤模態(tài)振型

將模態(tài)振型映射為Hilbert 空間中的向量，用振型向量間的點(diǎn)積即模態(tài)判定準(zhǔn)則（Auto MAC）表征2 個模態(tài)振型向量幾何上的相關(guān)性［13］。Auto MAC值接近0，表明2個振型向量間相關(guān)性很小或正交；Auto MAC 值接近1，表明2 個振型向量間彼此平行或相關(guān)性很大。

基于PolyMax模態(tài)參數(shù)識別法獲得的制動盤模態(tài)Auto MAC 值如圖8所示。由圖8可以看出，非對角線的Auto MAC 值接近于0，對角線的Auto MAC值為1，這一結(jié)果表明制動盤不同階次振型相關(guān)性很小，無虛假模態(tài)存在，振型結(jié)果準(zhǔn)確可靠。

4 結(jié) 論

（1）分析傳感器附加質(zhì)量對制動盤模態(tài)頻率的影響，結(jié)果表明傳感器附加質(zhì)量對制動盤結(jié)構(gòu)各階模態(tài)頻率無影響。

圖8 模態(tài)判定準(zhǔn)則結(jié)果

（2）基于PolyMax模態(tài)參數(shù)識別法計(jì)算軸裝式制動盤模態(tài)，得到制動盤前10 階固有頻率、阻尼和振型。結(jié)果表明制動盤的模態(tài)振型主要有周向模態(tài)、徑向模態(tài)和混合模態(tài)3種。制動盤為循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)，存在大量的重根模態(tài)。

（3）相較于有限元法，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)采用PolyMax 模態(tài)參數(shù)識別法能更準(zhǔn)確地識別模態(tài)參數(shù)，為制動盤結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)，同時也為工程應(yīng)用提供了理論指導(dǎo)。