《高等數(shù)學(xué)》中不定積分易錯題分類剖析

左曉虹

(三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，河南 三門峽 472000)

1 將四則運算法則中的乘除運算法則用于不定積分

受中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)運算的影響，部分學(xué)生忽視積分與代數(shù)運算的不同方式，將加減乘除四則運算直接套用到積分運算中。

剖析：初學(xué)定積分的學(xué)生容易受極限四則運算法則及導(dǎo)數(shù)四則運算法則的影響，在解題過程中認(rèn)為不定積分也具有加減乘除四則運算法則。錯誤的理解成如下計算公式：

結(jié)論：不定積分有加減運算法則，但沒有乘法運算法則，也沒有除法運算法則。例1的正確解答是：

例2的正確解答是：

2 兩類基本函數(shù)積分公式被混淆

冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)有相似的“外形”，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中混淆了二者的形式，也混淆了二者的原函數(shù)。

剖析：對于不定積分的基本公式，許多學(xué)生雖然能夠熟記，但在運用過程中常?；煜齼深惞?。本題中出現(xiàn)的錯誤在于解題者混淆了冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的積分公式，將指數(shù)函數(shù)的不定積分套用了冪函數(shù)的原函數(shù)。

結(jié)論：指數(shù)函數(shù)不定積分公式是：

冪函數(shù)不定積分公式是：

3 混淆積分變量

在積分的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生容易混淆積分變量和被積函數(shù)，尤其是當(dāng)被積函數(shù)為兩個及以上三角函數(shù)的乘積時，計算過程中學(xué)生稍一疏忽便可出錯。

剖析：該題是一個復(fù)合函數(shù)的積分，積分的中間變量是sinx，發(fā)生的錯誤原因在于解題者盲目套用基本初等函數(shù)的不定積分公式，忽略了sinx其實質(zhì)為中間變量，直接套用了正弦函數(shù)的不定積分公式進行解答。本題的正確解法為：

4 復(fù)合函數(shù)被錯誤地看成基本初等函數(shù)

湊微分法是積分的基本方法之一，在第一章節(jié)復(fù)合函數(shù)的教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生體會、感受符合函數(shù)的復(fù)合過程，即外函數(shù)、中間變量、自變量的“層層”包裹關(guān)系，通過對復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的練習(xí)，使學(xué)生明確復(fù)合函數(shù)是由六類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的復(fù)合運算而得到的函數(shù)，為導(dǎo)數(shù)和積分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

5 忽略了求出的不定積分成立區(qū)間

學(xué)生們在記憶或求解的過程中往往會錯誤地求解為：

剖析：沒有注意被積函數(shù)中x與a的大小關(guān)系，如果分段討論可有如下結(jié)果

如果不分段則可以通過如下式子表示

(1)

類似題的運算還有如下公式，注意公式(1)與公式(2)的區(qū)別

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

不定積分常見錯誤的求法還有很多，這里就不一一列舉了。初學(xué)者要對比練習(xí)、勤于思考、善于總結(jié)、舉一反三、學(xué)以致用，對所學(xué)知識做到融會貫通。