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    正交各向異性介質(zhì)反射系數(shù)精確解

    2020-10-17 07:44:08張雪瑩孫鵬遠(yuǎn)馬學(xué)軍李夢(mèng)琦
    石油地球物理勘探 2020年5期
    關(guān)鍵詞:反射系數(shù)偏振矢量

    張雪瑩 孫鵬遠(yuǎn) 馬學(xué)軍 蘆 俊 李夢(mèng)琦

    (①中國地質(zhì)大學(xué)(北京)能源學(xué)院,北京100083;②東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心,河北涿州072751;③中國石化西北油田分公司勘探開發(fā)研究院,烏魯木齊830011;④中國地質(zhì)大學(xué)(北京)地球物理與信息技術(shù)學(xué)院,北京100083)

    0 引言

    中國陸相沉積巖大多具有薄互層特征,當(dāng)受到構(gòu)造運(yùn)動(dòng)的影響時(shí),會(huì)發(fā)育垂向或近似垂向的高角度裂縫,呈現(xiàn)出典型的正交各向異性特征。作為一種重要的含油氣儲(chǔ)層,裂縫型儲(chǔ)層中發(fā)育的裂縫既可以作為油氣儲(chǔ)集空間,又可以作為滲流通道[1]。研究正交各向異性的AVO 響應(yīng)對(duì)裂縫型儲(chǔ)層的精細(xì)刻畫有重要意義。

    裂縫儲(chǔ)層的各向異性是指含裂縫地層的彈性性質(zhì)在不同方向上具有差異,且與誘導(dǎo)裂縫的構(gòu)造應(yīng)力有關(guān)[2]。國外學(xué)者在各向異性領(lǐng)域的研究起步較早,Christoffel[3]提出用彈性張量描述介質(zhì)的各向異性,因此各向異性波動(dòng)方程稱為Christoffel方程。Crampin[4]首次發(fā)現(xiàn)各向異性介質(zhì)中的地震橫波分裂現(xiàn)象,并分析了地球上常見的各向異性介質(zhì)的種類與特征。在此基礎(chǔ)上,Hudson[5-6]推導(dǎo)了由于裂縫存在而產(chǎn)生的一階和二階擾動(dòng)量,給出了含定向裂縫介質(zhì)的彈性模量的計(jì)算方法,但只適用于高頻情況。Schoenberg等[7-8]在位移不連續(xù)和旋轉(zhuǎn)不變性的假設(shè)下,忽略裂縫的形狀與結(jié)構(gòu),提出了線性滑移理論,并對(duì)多組裂縫尺度進(jìn)行了數(shù)值模擬。Thomsen[9]提出了弱各向異性理論,給出了表征弱各向異性VTI介質(zhì)的參數(shù),并據(jù)此推導(dǎo)了相速度和群速度的近似表達(dá)式。當(dāng)介質(zhì)中存在與地層走向垂直的裂隙時(shí),使用正交各向異性模型描述更合理。Tsvankin[10]基于Thomsen的TI介質(zhì)參數(shù),分別在三個(gè)對(duì)稱面內(nèi)求解Christoffel方程,給出了正交各向異性介質(zhì)的參數(shù)化方法,并推導(dǎo)了弱正交各向異性介質(zhì)中qP波相速度近似表達(dá)式?;赥svankin提出的正交各向異性參數(shù),Bakulin等[11-13]對(duì)兩種正交各向異性模型進(jìn)行了研究,分別在VTI背景下嵌入一組垂直裂縫和兩組相互垂直的裂縫,運(yùn)用Schoenberg的柔度建模理論構(gòu)建剛度系數(shù)矩陣。Rokhlin[14]基于Christoffel方程和邊界條件提出了一種計(jì)算一般各向異性介質(zhì)反射系數(shù)和透射系數(shù)的方法;Rüger[15-17]推導(dǎo)了弱各向異性介質(zhì)中反射系數(shù)近似公式,并運(yùn)用縱波方位AVO 檢測(cè)裂縫。

    國內(nèi)學(xué)者在各向異性領(lǐng)域的研究起步較晚,但是在正交各向異性方面的研究也有一些進(jìn)展,傅旦丹等[18]研究了偽譜法在正交各向異性介質(zhì)中的應(yīng)用,分析了偽譜法的穩(wěn)定性,并將Backus方法與Hudson理論結(jié)合,推出了周期性薄互層(PTL)與廣泛擴(kuò)容各向異性(EDA)組合的等效正交各向異性彈性常數(shù)的計(jì)算公式。張文生等[19]利用有限差分方法模擬正交各向異性介質(zhì)中地震波場(chǎng);魏建新[20]應(yīng)用物理模擬方法研究了正交各向異性介質(zhì)的波場(chǎng)特征;李娜[21]基于Tsvankin的各向異性參數(shù)研究了正交各向異性介質(zhì)的相速度和群速度。許茜茹等[22]通過耦合S波射線理論和基于迭代的各向異性相速度與偏振矢量的高階近似解,得到了適用于正交各向異性介質(zhì)以qP波入射產(chǎn)生的二階反射、透射系數(shù)的計(jì)算公式。張繁昌等[23]針對(duì)兩組裂縫垂直的正交各向異性介質(zhì),基于Schoenberg的柔度建模理論構(gòu)建剛度矩陣,推導(dǎo)了反射系數(shù)公式,并運(yùn)用Fourier級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)了裂縫方位。唐杰等[24]以兩組垂直裂縫的正交各向異性介質(zhì)為研究對(duì)象,研究了干燥和完全水飽和的地震波響應(yīng)特征。郭愷等[25]研究了正交各向異性介質(zhì)的多參數(shù)建模方法;單俊臻等[26]推導(dǎo)了一種新的PP 波HTI介質(zhì)反射系數(shù)一階擾動(dòng)公式,突破了傳統(tǒng)反射系數(shù)近似公式僅適用于小炮間距的局限。秦海旭等[27]將兩組裂縫垂直斜交的各向異性地層等效為單斜介質(zhì),推導(dǎo)了qP波方程并進(jìn)行了正演模擬。

    在上述研究中,基于波動(dòng)方程的正演模擬方法得到的正交各向異性的地震波場(chǎng)非常復(fù)雜,多種模式的波相互混雜,再加上難以完全消除的數(shù)值頻散與邊界效應(yīng),無法用于定量分析正交各向異性介質(zhì)的AVO 響應(yīng)特征。另外,弱正交各向異性假設(shè)下的反射系數(shù)近似公式的精度沒有得到有效驗(yàn)證,無法適用于裂縫發(fā)育程度高或者VTI背景各向異性程度較強(qiáng)的地層。

    針對(duì)上述問題,本文針對(duì)VTI背景介質(zhì)中發(fā)育的一組直立裂縫誘導(dǎo)的正交各向異性,采用Tsvankin提出的各向異性參數(shù)構(gòu)建剛度系數(shù)矩陣,再根據(jù)Christoffel方程求解出慢度矢量和偏振矢量,并結(jié)合彈性波傳播理論的邊界位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件,導(dǎo)出了計(jì)算精確反射系數(shù)和透射系數(shù)的方法。使用十二個(gè)各向異性模型分析背景VTI介質(zhì)各向異性強(qiáng)度和裂縫發(fā)育程度對(duì)正交各向異性介質(zhì)反射系數(shù)的影響。為了驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)果的正確性,與Rüger的反射系數(shù)近似公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

    1 正交各向異性介質(zhì)彈性剛度矩陣

    本文的正交各向異性介質(zhì)是指在VTI背景介質(zhì)中發(fā)育有一組垂直裂縫,如圖1的下層所示。

    圖1中x1軸垂直于裂縫面,對(duì)稱面x2Ox3平行于裂縫面,x1Ox3垂直于裂縫面,x1Ox2平行于水平界面,θ 為入射波傳播方向與x3軸的夾角(入射角),φ 為入射平面與x1軸的夾角(方位角)。文中用上標(biāo)“U、L”分別代表上層介質(zhì)和下層介質(zhì),下標(biāo)“1、2、3”對(duì)應(yīng)軸x1、x2、x3軸向。相速度傳播方向?yàn)椴ㄇ胺ㄏ?,慢度為相速度的倒?shù)。

    正交各向異性介質(zhì)的彈性剛度系數(shù)矩陣為

    Tsvankin[9]定義的正交各向異性介質(zhì)中三個(gè)不同的正交對(duì)稱面上的各向異性參數(shù)為

    式中:VP0為沿著垂直方向(x3方向)傳播的P波速度;VS0為沿著垂直方向傳播且沿著x2方向偏振的S 波 速 度;ε(1,2)、γ(1,2)、δ(1,2,3)表 示 不 同 平 面 內(nèi) 的Thomsen型各向異性參數(shù),其中上標(biāo)“1、2、3”分別代表x2Ox3、x1Ox3和x1Ox2平面[11]。

    可根據(jù)以上Tsvankin的各向異性參數(shù)構(gòu)建彈性剛度系數(shù)矩陣,即

    2 正交各向異性介質(zhì)彈性波反射/透射系數(shù)精確解

    Christoffel方程是由波動(dòng)方程導(dǎo)出,用于研究地震波的慢度和偏振矢量等傳播特征[28]?;贑hristoffel方程及其變形,結(jié)合Snell定律求解出反射波和透射波的慢度矢量和偏振矢量,并根據(jù)邊界的位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件,求出反射系數(shù)和透射系數(shù)精確解。

    2.1 入射P波的慢度矢量計(jì)算

    一般均勻完全彈性各向異性介質(zhì)中地震波時(shí)間域Christoffel方程[3]為

    式中:E 為單位矩陣;ρ為介質(zhì)的密度;P 為波的偏振矢量。

    根據(jù)廣義虎克定律,可得

    式中s1、s2、s3為慢度矢量的三個(gè)分量。

    當(dāng)界面上、下介質(zhì)為正交各向異性或是更高對(duì)稱性的介質(zhì)時(shí),假設(shè)入射波以圖1方式入射,則入射波波前的法向單位矢量為

    式(4)兩邊同乘V2/ρ可得[29]

    其展開形式為

    此時(shí)求解式(8)就等價(jià)于相速度V(特征值)和偏振矢量P(特征向量)的求解問題。為滿足非零解條件,Christoffel矩陣的行列式值為零,即變成求解V2的一元三次方程

    解式(11)可得入射波的相速度VP、VS1、VS2(VP>VS1>VS2),則入射P波的慢度為

    2.2 反射波和透射波的慢度矢量計(jì)算

    若用si表示不同波的慢度矢量(i=0、1、…、6,分別代表入射P 波、反射P、S1、S2波、透射P、S1、S2波),則

    根據(jù)Snell定律,對(duì)于所有的入射、反射和透射波,與界面平行的兩個(gè)慢度矢量的分量是相等的,即

    式(4)的未知解是慢度矢量和偏振矢量,對(duì)于反射波和透射波慢度矢量的分量si3,為滿足非零解條件,則需求解方程

    把上層介質(zhì)和下層介質(zhì)的參數(shù)以及已知的si1和si2代入式(16),可以解出上、下介質(zhì)中的六個(gè)si3。

    2.3 反射波和透射波的偏振矢量計(jì)算

    若用Pi表示偏振矢量(i=0、1、…、6,分別代表入射P波、反射P、S1、S2波、透射P、S1、S2波),即

    式(16)已求得慢度矢量,再結(jié)合偏振矢量的歸一化,對(duì)于上層介質(zhì)有

    對(duì)于下層介質(zhì)有

    運(yùn)用Zhou等[30]的方法求解式(18)和式(19),可得到反射波和透射波的偏振矢量。

    對(duì)于求得的7個(gè)偏振矢量,需要通過其與相速度的關(guān)系進(jìn)行偏振矢量符號(hào)的校正。根據(jù)Chen[31]的校正方法,對(duì)于入射、反射和透射的P 波,若偏振矢量P 與慢度矢量s 的點(diǎn)乘大于0,則偏振矢量的符號(hào)為正;對(duì)于反射和透射的S波,入射面的法向量N 為慢度矢量s 與入射波波前法向矢量n 的叉乘,若偏振矢量P 與入射面法向量N 的點(diǎn)乘為正,則偏振矢量的符號(hào)為正。

    2.4 反射系數(shù)和透射系數(shù)的求解

    根據(jù)彈性波傳播理論,當(dāng)入射P 波入射到界面時(shí),應(yīng)滿足邊界的位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件。根據(jù)Rokhlin[14]給出的邊界條件可以導(dǎo)出反射系數(shù)和透射系數(shù)計(jì)算公式,即

    式中

    3 模型分析

    為了分析不同類型各向異性參數(shù)對(duì)反射系數(shù)的影響,先將正交各向異性分別退化到用單組裂縫弱度參數(shù)描述的HTI介質(zhì)和用Thomsen參數(shù)描述的VTI介質(zhì)。然后,分兩種情況進(jìn)行數(shù)值分析:①固定裂縫弱度參數(shù)不變,變化背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù);②固定背景VTI各向異性參數(shù)不變,變化裂縫弱度參數(shù)。

    為了驗(yàn)證本文中正交各向異性反射系數(shù)計(jì)算方法的有效性,將計(jì)算結(jié)果與Rüger在正交各向異性介質(zhì)中x1Ox3與x2Ox3面的PP波近似反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比;再將退化的HTI和VTI介質(zhì)的反射系數(shù)與Rüger近似公式所得到的反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

    3.1 正交各向異性參數(shù)與VTI各向異性參數(shù)和裂縫弱度參數(shù)的關(guān)系

    Bakulin等[12]給出了正交各向異性參數(shù)與背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)以及裂縫弱度參數(shù)的關(guān)系為式中:下標(biāo)“b”表示VTI背景介質(zhì);g=V2S0/V2P0;ZN、ZV和ZH是無量綱參數(shù),分別表示裂縫的法向弱度、垂直切向弱度以及水平切向弱度[32]。

    3.2 P波從低阻抗介質(zhì)入射到高阻抗介質(zhì)

    假設(shè)模型的上層為低阻抗各向同性介質(zhì),下層為高阻抗的正交各向異性介質(zhì)。根據(jù)式(3),剛度系數(shù)矩陣可以用P 波垂直速度VP0、S 波垂直速度VS0、密度ρ以及各向異性參數(shù)表示。

    模型上層介質(zhì)參數(shù)為:VP0=3150m/s,VS0=1615m/s,ρ=2322kg/m3,ε(1)=ε(2)=γ(1)=γ(2)=δ(1)=δ(2)=δ(3)=0。

    模型下層介質(zhì)參數(shù)為:VP0=3310m/s,VS0=1697m/s,ρ=2351kg/m3,其各向異性參數(shù)如表1或表2所示。

    3.2.1 裂縫弱度參數(shù)固定不變,變化背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)

    首先,固定三個(gè)裂縫弱度參數(shù)不變,改變背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù),分析其對(duì)反射系數(shù)的影響。表1 參數(shù)由式(23)計(jì)算得到,裂縫弱度參數(shù)ZN、ZV和ZH分別為0.215、0.120、0.090;VTI各向異性參數(shù)由弱變強(qiáng):模型A1的背景為各向同性介質(zhì),εb=0、γb=0、δb=0,此時(shí)正交各向異性介質(zhì)退化為HTI介質(zhì);模型A2 的背景為弱各向異性VTI介質(zhì),εb=0.1、γb=0.12、δb=0.07;模型A3的背景為強(qiáng)各向異性VTI介質(zhì),εb=0.3、γb=0.25、δb=0.15。

    固定θ=20°,φ 從0°變化到90°時(shí)模型A1、A2、A3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2曲線如圖2所示。可以看出:

    (1)PP波反射系數(shù)的方位各向異性較弱;從模型A1到模型A3,VTI各向異性的增強(qiáng)導(dǎo)致RPP增大,模型A2比模型A1增大了40%,模型A3比模型A1增大了86%。

    (2)反射系數(shù)RPS1方位各向異性很強(qiáng),且隨方位角增大而減??;從模型A1到模型A3,VTI各向異性的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS1減小,最大時(shí)模型A2比模型A1減小了33%,模型A3比模型A1減小了83%;

    (3)反射系數(shù)RPS2也具有很強(qiáng)的方位各向異性,曲線變化趨勢(shì)與RPS1沿著方位呈大體鏡像關(guān)系,但是量值上有差異;從模型A1到模型A3,VTI各向異性的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS2減小,最大時(shí)模型A2 比模型A1減小了30%,模型A3比模型A1減小了70%。

    表1 裂縫弱度參數(shù)不變、背景介質(zhì)的VTI各向異性參數(shù)變化時(shí)的正交各向異性參數(shù)

    固定φ=60°,模型A1、A2、A3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ的變化曲線如圖3所示。由圖可知:

    (1)小入射角時(shí)(θ<10°),反射系數(shù)RPP受背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)的影響不大。但是,隨著θ的增大,模型A1 的RPP隨θ 增大而減小,且在θ≈35°時(shí)發(fā)生極性轉(zhuǎn)變;從模型A1到模型A3,VTI各向異性增強(qiáng)導(dǎo)致大入射角的RPP增大。

    (2)隨著θ的增大,反射系數(shù)RPS1在θ<30°時(shí)都呈增大的趨勢(shì),而在30°~45°范圍內(nèi)模型A2、A3開始減小,模型A3在θ≈35°出現(xiàn)了極性轉(zhuǎn)變;從模型A1到模型A3,VTI各向異性參數(shù)的增大導(dǎo)致RPS1減小,在θ=30°時(shí)模型A2比模型A1減小了50%,模型A3比模型A1減小了75%。

    (3)隨著θ的增大,反射系數(shù)RPS2與RPS1變化趨勢(shì)一致;從模型A1到模型A3,VTI各向異性系數(shù)的增大導(dǎo)致RPS2減小,在θ=30°時(shí)模型A2 比模型A1減小了37.5%,模型A3比模型A1減小了75%。

    φ 在0°~90°內(nèi)變化、θ在臨界角范圍以內(nèi),P波由各向同性介質(zhì)入射到正交各向異性模型A1、A2和A3時(shí)的反射系數(shù)RPP、RPS1和RPS2的等值線圖分別如圖4、圖5、圖6所示,可以看出:

    (1)隨著VTI背景各向異性程度的增強(qiáng),RPP等值線曲率變化不大,只在反射系數(shù)的量值上有整體增大,且靠近臨界角時(shí)增加幅度最大。

    (2)RPS1和RPS2隨方位變化的程度遠(yuǎn)大于RPP,都有隨著背景介質(zhì)VTI各向異性強(qiáng)度增強(qiáng)而減小的趨勢(shì),且等值線曲率變化也較大。

    由于背景介質(zhì)中插入的裂縫弱度值不大,裂縫誘導(dǎo)的HTI各向異性屬于弱各向異性。針對(duì)此類正交各向異性介質(zhì)的AVO 分析,單純的PP波對(duì)裂縫的發(fā)育以及背景介質(zhì)的VTI各向異性程度的敏感度遠(yuǎn)小于PS1波和PS2波。

    圖3 φ=60°時(shí)模型A1、A2和A3的R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨θ的變化曲線

    圖4 入射P波由各向同性到各向異性模型A1(a)、A2(b)、A3(c)反射系數(shù)R PP等值線圖

    圖5 入射P波由各向同性到各向異性模型A1(a)、A2(b)、A3(c)反射系數(shù)R PS1等值線圖

    圖6 入射P波由各向同性到各向異性模型A1(a)、A2(b)、A3(c)反射系數(shù)R PS2等值線圖

    3.2.2 背景介質(zhì)VTI各向異性系數(shù)固定不變,變化裂縫弱度參數(shù)

    由式(23)可知,當(dāng)固定背景VTI介質(zhì)的三個(gè)各向異性參數(shù)不變(εb=0.1,γb=0.12,δb=0.07,與表1中模型A2的背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)取值相同)時(shí),改變?nèi)齻€(gè)裂縫弱度值會(huì)影響HTI各向異性的強(qiáng)弱,弱度越大則HTI各向異性越強(qiáng)。表2為下層高阻抗介質(zhì)的背景VTI各向異性參數(shù)固定不變、變化裂縫弱度參數(shù)計(jì)算的正交各向異性參數(shù)值。模型B1的裂縫弱度參數(shù)ZN=ZV=ZH=0,此時(shí)正交各向異性介質(zhì)退化為VTI各向異性介質(zhì);模型B2的裂縫弱度參數(shù)ZN=0.215、ZV=0.120、ZH=0.090,呈弱HTI各向異性,等同于表1中的模型A2;模型B3的裂縫弱度參數(shù)ZN=0.215、ZV=0.120、ZH=0.090,裂縫發(fā)育程度較高,HTI各向異性也較強(qiáng)。

    固定θ=20°,φ 在0°~90°變化時(shí)模型B1、B2、B3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2曲線如圖7所示。由圖7可知:

    (1)裂縫的發(fā)育會(huì)導(dǎo)致PP 波的反射系數(shù)變小,模型B2比模型B1減小了32%,模型B3比模型B1減小了64%;即使在裂縫弱度較強(qiáng)的情況下,PP 波的反射系數(shù)的方位各向異性也是比較微弱的。

    表2 背景VTI各向異性參數(shù)不變、裂縫弱度參數(shù)變化時(shí)的正交各向異性參數(shù)

    圖7 θ=20°時(shí)模型B1、B2和B3的反射系數(shù)R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨φ 的變化曲線

    (2)反射系數(shù)RPS1受φ 的影響較大,在φ=0°時(shí),即平行裂縫面時(shí),RPS1最大;在φ=90°時(shí),即垂直裂縫面時(shí),RPS1為0;從模型B1到模型B3,裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS1增大,最大時(shí)模型B2比模型B1增加了300%,模型B3 比模型B1 增加了600%。當(dāng)裂縫不發(fā)育時(shí)(模型B1),RPS1不存在方位各向異性,等同于PSV 波的反射系數(shù)。

    (3)反射系數(shù)RPS2在φ=0°時(shí)最小,φ=90°時(shí)最大;從模型B1 到模型B3,裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS2增加,最大時(shí)模型B3比模型B2增加了100%。

    固定φ=60°時(shí),模型B1、B2、B3 的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ 的 變 化 曲 線 如 圖8 所 示,由 圖可知:

    (1)θ 在0°~45°(臨界角以內(nèi))范圍內(nèi),反射系數(shù)RPP在θ<5°時(shí)無明顯差別,隨著θ增大,RPP表現(xiàn)不同,裂縫弱度越大,RPP減小越快;最大時(shí)模型B2比模型B1減小了75%,模型B3比模型B1減小了

    100%。

    (2)隨著θ增大,RPS1在θ<25°時(shí)都呈增大的趨勢(shì),而在25°~45°范圍內(nèi)模型B1、B2 開始減小,模型B1在θ≈30°出現(xiàn)了極性轉(zhuǎn)變;從模型B1到模型B3,裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS1增大,θ=25°時(shí)模型B2比模型B1增大了100%,模型B3比模型B1增大了300%。

    (3)隨著θ 增大,當(dāng)裂縫發(fā)育時(shí),RPS2都呈負(fù)極性方向增大的趨勢(shì),在θ=0°時(shí)最小,在θ=45°時(shí)最大;從模型B1 到模型B3,裂縫弱度的增強(qiáng)導(dǎo)致RPS2增大,最大時(shí)模型B3比模型B2增大了100%。

    φ 在0°~90°內(nèi)變化、θ在臨界角范圍以內(nèi),P波由各向同性介質(zhì)入射到正交各向異性模型B1、B2和B3時(shí)的反射系數(shù)RPP、RPS1和RPS2的等值線圖分別如圖9、圖10、圖11所示,可以看出:隨著裂縫弱度的增強(qiáng),RPP在正極性方向減小,RPS1和RPS2在負(fù)極性方向增大。總體上,即使裂縫誘導(dǎo)的HTI各向異性較強(qiáng),RPP的方位各向異性也比較弱,其對(duì)于裂縫發(fā)育的敏感度遠(yuǎn)小于RPS1和RPS2。

    圖8 φ=60°時(shí)模型B1、B2和B3的反射系數(shù)R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨θ的變化曲線

    圖9 入射P波由各向同性到各向異性模型B1(a)、B2(b)和B3(c)的反射系數(shù)R PP等值線圖

    圖10 入射P波由各向同性到各向異性模型B1(a)、B2(b)和B3(c)的反射系數(shù)R PS1等值線圖

    圖11 入射P波由各向同性到各向異性模型B1(a)、B2(b)和B3(c)的反射系數(shù)R PS2等值線圖

    3.3 P波從高阻抗介質(zhì)入射到低阻抗介質(zhì)

    為了進(jìn)一步探討界面上、下阻抗對(duì)反射系數(shù)的影響,將A、B系列模型的上、下層介質(zhì)的縱橫波速度和密度交換,下層的各向異性參數(shù)保持不變,可得模型C1、C2、C3(表1,裂縫弱度不變,VTI各向異性強(qiáng)度變化)和模型D1、D2、D3(表2,裂縫弱度變化,VTI各向異性參數(shù)不變)。

    固定θ=20°,模型C1、C2、C3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2的隨φ 的變化曲線如圖12所示;固定φ=60°,模型C1、C2、C3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ的變化曲線如圖13所示。對(duì)比圖12、圖13與圖2、圖3可知,與下層介質(zhì)為高阻抗介質(zhì)的情況相反,當(dāng)下層介質(zhì)為低阻抗介質(zhì)時(shí),背景介質(zhì)的VTI各向異性強(qiáng)度越強(qiáng),則PP 波的反射系數(shù)在負(fù)極性方向越小,而PS1波與PS2波在正極性方向越大。

    固定θ=20°,模型D1、D2、D3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨φ 的變化曲線如圖14 所示;固定φ=60°,模型D1、D2、D3的反射系數(shù)RPP、RPS1、RPS2隨θ的變化曲線如圖15所示。對(duì)比圖14、圖15與圖7、圖8可知,裂縫的發(fā)育會(huì)導(dǎo)致PP 波的反射系數(shù)在負(fù)極性方向變大,而PS1波和PS2波的反射系數(shù)則在正極性方向變小,與下層介質(zhì)為高阻抗介質(zhì)的情況相反。

    無論是從低阻抗介質(zhì)入射,還是高阻抗介質(zhì)入射,PP波反射系數(shù)的方位各向異性都遠(yuǎn)小于PS1波和PS2波。

    3.4 與Rüger近似反射系數(shù)公式的對(duì)比

    為了驗(yàn)證本文反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果的正確性,與Rüger近似公式計(jì)算的正交各向異性反射系數(shù)、HTI介質(zhì)反射系數(shù)和VTI介質(zhì)反射系數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

    圖12 θ=20°時(shí)模型C1、C2和C3的反射系數(shù)R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨φ 的變化曲線

    圖13 φ=60°時(shí)模型C1、C2和C3的反射系數(shù)R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨θ的變化曲線

    圖14 θ=20°時(shí)模型D1、D2和D3的反射系數(shù)R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨φ 的變化曲線

    圖15 φ=60°時(shí)模型D1、D2和D3的反射系數(shù)R PP(a)、R PS1(b)、R PS2(c)隨θ的變化曲線

    3.4.1 正交各向異性介質(zhì)

    對(duì)于P波入射,Rüger[17]僅推導(dǎo)了正交各向異性介質(zhì)RPP在x1Ox3和x2Ox3面的近似反射系數(shù)公式。將模型A2的參數(shù)代入到其公式計(jì)算反射系數(shù)曲線,并與本文的反射系數(shù)精確解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(圖16)。在x1Ox3面,兩條曲線變化趨勢(shì)一致,當(dāng)θ在0°~20°范圍內(nèi)時(shí)近乎重合(圖16a);在x2Ox3面,兩條曲線變化趨勢(shì)亦一致,當(dāng)θ 在0°~25°范圍內(nèi)時(shí)近乎重合(圖16b)。

    3.4.2 退化到HTI介質(zhì)

    依據(jù)式(23)可以將正交各向異性介質(zhì)退化到HTI介質(zhì)。將模型A1代入Rüger[17]的HTI介質(zhì)反射系數(shù)近似公式計(jì)算反射系數(shù)曲線,并與本文的反射系數(shù)精確解對(duì)比(圖17)。由圖17 可以看出RPP、RPS1和RPS2的Rüger近似解與本文精確解變化趨勢(shì)一致;RPS2在0°~20°范圍內(nèi)近乎重合。

    3.4.3 退化到VTI介質(zhì)

    依據(jù)式(23)可以將正交各向異性介質(zhì)退化到VTI介質(zhì)。將模型B1 參數(shù)代入Rüger的VTI介質(zhì)反射系數(shù)近似公式,并與本文的反射系數(shù)精確解對(duì)比(圖18)。從圖18可以看出,RPP和RPS的近似解與精確解變化趨勢(shì)一致,RPP在0°~25°范圍內(nèi)完全重合,RPS在0°~15°內(nèi)近乎重合。

    圖16 正交各向異性介質(zhì)Rüger近似公式與本文方法計(jì)算的反射系數(shù)曲線對(duì)比

    圖17 HTI介質(zhì)Rüger近似公式與本文方法計(jì)算的反射系數(shù)曲線對(duì)比

    圖18 VTI介質(zhì)Rüger近似公式與本文方法計(jì)算的反射系數(shù)曲線對(duì)比

    由以上分析可知,本文反射系數(shù)精確解與Rüger近似公式在中、小角度范圍內(nèi)近乎重合,整體趨勢(shì)一致。因此,本文反射系數(shù)精確解計(jì)算方法正確。

    4 結(jié)論

    針對(duì)互層背景中發(fā)育一組裂縫的正交各向異性介質(zhì)模型,本文基于Christoffel方程及彈性界面的位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件,推導(dǎo)了反射系數(shù)和透射系數(shù)精確求解方法,建立了正交各向異性參數(shù)與背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)系數(shù)和裂縫參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。通過與Rüger反射系數(shù)近似公式計(jì)算結(jié)果的對(duì)比,驗(yàn)證了本文計(jì)算結(jié)果的正確性。理論模型計(jì)算結(jié)果表明:

    (1)當(dāng)P 波從低阻抗介質(zhì)入射至高阻抗介質(zhì)時(shí),背景介質(zhì)VTI各向異性參數(shù)的變大會(huì)導(dǎo)致PP波反射系數(shù)增大、PS1 波和PS2 波的反射系數(shù)減??;而裂縫弱度的增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致PP 波反射系數(shù)的減小及PS1波和PS2波的反射系數(shù)的增大。

    (2)當(dāng)從高阻抗介質(zhì)入射至低阻抗介質(zhì)時(shí),背景介質(zhì)VTI各向異性系數(shù)的變大會(huì)導(dǎo)致PP波反射系數(shù)減小、PS1波和PS2波的反射系數(shù)增大;而裂縫弱度的增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致PP 波反射系數(shù)的增大、PS1 波和PS2波的反射系數(shù)的減小。

    (3)PP 波反射系數(shù)的方位各向異性要遠(yuǎn)小于PS1波與PS2波。

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