環(huán)R + uR + vR + uvR 上的常循環(huán)碼

王艷萍

有限域上碼的研究已經(jīng)相對成熟，代數(shù)編碼學者將研究重點轉(zhuǎn)移到有限環(huán)上.文獻［1-3］研究一些環(huán)上的循環(huán)碼，給出其結(jié)構(gòu)，討論其性質(zhì)；文獻［4-8］研究一些環(huán)上的常循環(huán)碼（負循環(huán)碼是特殊的常循環(huán)碼），通過構(gòu)造映射，研究其結(jié)構(gòu)以及性質(zhì).本文主要研究新的環(huán)? =R+uR+vR+uvR，其中滿足u2=u,v2=v,uv=vu，且該環(huán)為有限非鏈環(huán).建立了環(huán)? 上的碼與環(huán)R上碼之間的關(guān)系；給出環(huán)? 上的Gray 映射，討論其性質(zhì)；最后研究環(huán)? 上的θ-常循環(huán)碼是與R上常循環(huán)碼有關(guān)系的，并研究了環(huán)R上碼的結(jié)構(gòu)與環(huán)?上碼的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，為代數(shù)編碼理論提供參考意義.

1 預備知識

記? =R+uR+vR+uvR，u2=u，v2=v，uv=vu.其中p（奇數(shù)）是的特征，R：有限鏈環(huán)；<λ>：為R的極大理想；?? =R+uR+vR+uvR為非鏈環(huán).設α1=1-u-v+uv，α2=uv，α3=u-uv，α4=v-uv, 易 得：αi=?,i=1，2，3，4，αiαj=0(i≠j)，?? ?α1R⊕α2R⊕α3R⊕α4R. 而 對?r∈?，唯 一 有r=α1a+α2b+α3c+α4d,a,b,c,d∈R. 我 們 約 定θ=η1α1+η2α2+η3α3+η4α4：?上的單位，其中η1,η2,η3,η4∈R.設n=psk,(p,k) = 1.

定義1［9］置換τ:τ(y0,y1,…,yn-1) = (θyn-1，y0,…,yn-2)，稱該置換為?n→?n上的θ-常循環(huán)置換.

定 義2［9］置 換σ:σ(a0,a1,…,an-1,a′0,a′1,…,稱該置換為R4n上θ-準常循環(huán)置換.

對于?a∈R，

對 于?a= (a0,a1,…,an-1) ∈Rn，它 的 齊次 重 量是R 上 的 線性碼，則碼A的齊次距離：dHom(A) =min{wHom(A)|a≠0,a∈A}.我 們 定 義Gray 映射φ:? →R4,φ(r) = (a,b,c,d)，Gray 重 量：wG(r) =whom(a,b,c,d).擴展Φ：?n→R4n，?r=(r0,r1,…,rn-1) ∈ ?n,ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di，有

（?n，Gray 距離）→（R4n，齊次距離）：保距的.

定義：

?Ci(i= 1,2,3,4)是R 上的線性碼；C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，表示唯一.

引 理1［10］碼C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4∈?，則有：

①C⊥為? 上的線性碼；

②Φ(C) =C1?C2?C3?C4, |C| =

③Φ(C⊥)=

2 主要結(jié)論

定 理1θ=η1α1+η2α2+η3α3+η4α4是? 上的單位?η1,η2,η3,η4是R 上的單位.

證明“?”若θ=η1α1+η2α2+η3α3+η4α4，則 有θ′ =η′1α1+η′2α2+η′3α3+η′4α4，使 得θθ′=(η1α1+η2α2+η3α3+η4α4)(η′1α1+η′2α2+η′3α3+η′4α4)= 1，即

則η1η1′+(-η1η1′+η3η3′)u+(-η1η1′+η4η4′)v+(η1η1′+η2η2′-η3η3′-η4η4′)uv= 1 ?η1η1′=η2η2′=η3η3′=η4η4′= 1，即 得η1,η2,η3,η4是R上的單位；

“? ”若η1,η2,η3,η4是R 上的單位，?η1",η2",η3",η4", 使 得η1η1"=η2η2"=η3η3"=η4η4"= 1. 設θ"=η1"α1+η2"α2+η3"α3+η4"α4∈?，經(jīng)計算可得θθ"= 1.

定理2 ?n上的碼C，則有C為θ-常循環(huán)碼?C1：η1-常循環(huán)碼，C2：η2-常循環(huán)碼，C3：η3-常循環(huán)碼，C4：η4-常循環(huán)碼.

證 明“? ” 對 于?(a0,a1,…,an-1) ∈C1,(b0,b1,…,bn-1) ∈C2，(c0,c1,…,cn) ∈C3,(d0,d1,…,dn) ∈C4,r= (r0,r1,…,rn) ∈C，ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di，則 有τ(r) = (θrn-1,r0,…,rn-2)∈C，其中θrn-1=an-1η1α1+bn-1η2α2+cn-1η3α3+dn-1η4α4，則推出(η1an-1,a0,…,an-2)∈C1，(η2bn-1，b0,…,bn-2)∈C2，(η3cn-1,c0,…,cn-2)∈C3,(η4dn-1，d0,…,dn-2)∈C4成立；

“?”?r= (r0,r1,…,rn) ∈C,ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di，則(a0,a1,…,an-1) ∈C1,(b0,b1,…,bn-1) ∈C2,(c0,c1,…,cn) ∈C3,(d0,d1,…,dn)∈C4, 又 (η1an-1,a0,…,an-2) ∈C1,(η2bn-1,b0,…,bn-2)∈C2，(η3cn-1,c0,…,cn-2)∈C3,(η4dn-1,d0,…,dn-2)∈C4，則 (an-1η1α1+bn-1η2α2+cn-1η3α3+dn-1η4α4,r0,…,rn-2) ∈C，即(θrn-1，r0,…,rn-2) ∈C，有C為θ-常循環(huán)碼.

注1：C是? 的θ-常循環(huán)碼?C⊥是? 的θ-1-常循環(huán)碼；

注2：C是? 循環(huán)碼?C1,C2,C3,C4是R 的循環(huán)碼.

定 理3τ,σ,Φ 分 別 為 前 文 對 應 置 換、映射，則有Φτ=σΦ.

證 明 ?r= (r0,r1,…,rn) ∈C,ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di,有τ(r) = (θrn-1,r0,…,rn-2),則Φτ(c) = (η1an-1,a0,…,an-2,η2bn-1,b0,…,bn-2,η3cn-1,c0,…,cn-2,η4dn-1,d0,…,dn-2)；又Φ(c) =(a0,a1,…an-1,b0,b1,…,bn-1,c0,c1,…,cn-1,d0,d1,…,dn-1)，則σΦ(c) = (η1an-1,a0,…,an-2,η2bn-1，b0,…,bn-2,η3cn-1,c0,…,cn-2,η4dn-1,d0,…,dn-2).

推論1 ? 上的θ-常循環(huán)碼C（長為n）?Φ(C)是R 上的θ-準常循環(huán)碼（長為4n）.

由定理2 可知，對于? 上的θ-常循環(huán)碼C，它的結(jié)構(gòu)與C1,C2,C3,C4上常循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)是有關(guān)系的，因此可得下面定理4.

定理4 ? 上的θ-常循環(huán)碼C，C1,C2,C3,C4對 應 在中有 C1=(f),C2= (g)，C3= (h),C4= (q)，f,g,h,q首 一的，且為R上的多項式，則C的生成多項式可表示：C= (α1f+α2g+α3h+α2q).

證 明 因 為C1= (f),C2= (g)，C3= (h),C4=(q)，則 有C= (α1f,α2g,α3h,α4q). 設e=α1f+α2g+α3h+α4q，則e∈(α1f,α2g,α3h,α4q)，即(e) ? (α1f,α2g,α3h,α4q)；又α1e=α1f,α2e=α2g,α3e=α3h,α4e=α4q，則有(e) ?(α1f，α2g，α3h，α4q).

推論2 對定理4，若C1,C2,C3,C4它們的對偶 碼對 應 在中有成立，同樣，f′,g′,h′,q′也是首一的，則C⊥可表示：C⊥= (α1f′ +α2g′ +α3h′ +α2q′).

3 結(jié)語

文章研究新的有限非鏈環(huán)? =R+uR+vR+uvR，其中滿足u2=u,v2=v,uv=vu.構(gòu)建了環(huán)? 上碼與環(huán)R上碼之間的關(guān)系；介紹環(huán)? 上的Gray 映射，討論其性質(zhì)；最后研究? 上碼C是θ-常循環(huán)碼的充要條件，以及R上碼的結(jié)構(gòu)與環(huán)? 上碼的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.本文的研究為代數(shù)編碼理論提供一定參考.