齊次線(xiàn)性方程組解空間的性質(zhì)及應(yīng)用

賈宏宇，張淑娜，陳衍峰

齊次線(xiàn)性方程組作為高等代數(shù)理論的一項(xiàng)重要分支，源于生活和生產(chǎn)實(shí)踐.齊次線(xiàn)性方程組是高等代數(shù)的基本研究?jī)?nèi)容之一，同時(shí)也是貫穿高等代數(shù)知識(shí)的主線(xiàn)［1］.隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的普及，線(xiàn)性方程組理論被廣泛應(yīng)用到科學(xué)、技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域.齊次線(xiàn)性方程在解決各類(lèi)科學(xué)知識(shí)中有著極為廣泛的應(yīng)用.隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，已有很多高等數(shù)學(xué)的知識(shí)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中［2-3］. 近年來(lái)，國(guó)際中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽的試題中，與齊次線(xiàn)性方程有關(guān)的題目呈遞增的趨勢(shì)［4-5］.本文介紹了齊次線(xiàn)性方程組的基本理論，并運(yùn)用齊次線(xiàn)性方程組的相關(guān)理論，探究其在初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，進(jìn)而對(duì)齊次線(xiàn)性方程組有更深入地理解.

1 線(xiàn)性方程組的基本理論

定理1［1］n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.

推論1［2］若齊次線(xiàn)性方程組中s=n，方程組有唯一零解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式不等于零.

定 理2［3］若 在 齊 次 線(xiàn) 性 方 程 組 中，方 程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么這個(gè)方程組必有非零解.

定理3［4］設(shè)齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩r

2 齊次線(xiàn)性方程組在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 證明等式的應(yīng)用

此方面的應(yīng)用是將已知條件聯(lián)立成齊次線(xiàn)性方程組，然后利用齊次線(xiàn)性方程組有非零解的條件，即方程組的系數(shù)行列式為零，證得所要證明的等式關(guān)系.

例1 若ax1+by1= 1，bx1+cy1= 1，cx1+ay1= 1，求 證：ab+bc+ca=a2+b2+c2.

例2 如果x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by，其中，x，y，z不全為零，則ab+bc+ac+ 2abc= 1.

2.2 證明三角恒等式的應(yīng)用

此方面的應(yīng)用是利用已知條件，并結(jié)合中學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)，構(gòu)造成齊次線(xiàn)性方程組，然后利用齊次線(xiàn)性方程組有非零解的條件，即方程組的系數(shù)行列式為零，證得所要證明的等式關(guān)系.

例3 在ΔABC中，設(shè)三個(gè)內(nèi)角為A,B,C，其所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，求證：

①c2=a2+b2- 2abcosC；

②cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.

證明 ①在ΔABC中，由射影定理得

構(gòu)造方程組得

所以方程組有非零解(cosA,cosB,1)，因而由定理1 得

即得c2=a2+b2- 2abcosC.

②在ΔABC中，式（1）可改寫(xiě)為

上式可看成關(guān)于a,b,c的齊次線(xiàn)性方程組必有非零解，由定理1 得

即得cos2A+ cos2B+ cos2C+ 2cosAcosBcosC= 1.

例4 設(shè)A+B+C= π，xsinA+ysinB+zsinC= 0，求證：

證明 因?yàn)锳+B+C= π，所以sinC=sin(A+B).而

又因?yàn)?/p>

所以

同理可得到

聯(lián)立（2）（3）（4）得

此方程組可看成一個(gè)關(guān)于sinA,sinB,sinC的三元一次方程組，而sinA,sinB,sinC不同時(shí)為零，由定理1 可得

化簡(jiǎn)整理得

2.3 求值及數(shù)量關(guān)系中的應(yīng)用

此方面的應(yīng)用是將已知條件轉(zhuǎn)化成齊次線(xiàn)性方程組，然后利用齊次線(xiàn)性方程組有非零解的條件，即方程組的系數(shù)行列式為零，求值或給出數(shù)量關(guān)系.

解 由已知得

把sinx,siny,sinz看作未知數(shù)，由已知條件可知，sinx,siny,sinz不為零，故方程組有非零解，于是行列式系數(shù)為零，即

因而(k+ 1)2(k+ 2) = 0，所 以k= -1 或 者k= 2.

例6 已知x，y，z不全為零，且任意兩個(gè)不相等，又已知c，求a，b，c之間的關(guān)系式.

解由已知得方程組

因?yàn)閤，y，z不全為零，且任意兩個(gè)不相等，所以關(guān)于x，y，z的齊次線(xiàn)性方程組（5）有非零解 . 故系數(shù)矩陣行列式為零 ，即將行列式展開(kāi)得a+b+c= 2 -abc.這就是a，b，c所滿(mǎn)足的關(guān)系式.

在上面的例題中，直接求解a，b，c之間的關(guān)系比較麻煩.但題設(shè)中的已知x，y，z不全為零，且其中任意的兩個(gè)不相等，由此去構(gòu)造以x，y，z為未知量的齊次線(xiàn)性方程組，進(jìn)而化簡(jiǎn)問(wèn)題的求解，便可使問(wèn)題一目了然.

3 齊次線(xiàn)性方程組在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

3.1 判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)性中的應(yīng)用

定義1［1］對(duì)于向量組α1,α2,…,αm，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km，使得

則稱(chēng)α1,α2,…,αm線(xiàn)性相關(guān)，否則線(xiàn)性無(wú)關(guān).

如果要判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)性，可以將向量組作為齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣，構(gòu)造線(xiàn)性方程組，進(jìn)而討論方程組解的情況，來(lái)判別向量組是線(xiàn)性相關(guān)的還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.

例7 判斷向量組α1=(2,1,4,3),α2= (-1,1,- 6,6),α3= (1,1, - 2,7),α4= (2,4,4,9) 的 線(xiàn)性相關(guān)性.

解 設(shè)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4= 0，得到方程組

將系數(shù)矩陣作如下運(yùn)算

由于矩陣R(A)= 3 < 4，則系數(shù)行列式為零，則方程組存在非零解，且有

故向量組α1,α2,α3,α4線(xiàn)性相關(guān).

因此方程組有非零解，等價(jià)于方程組的列向量組是線(xiàn)性相關(guān)的；若方程組只有零解，等價(jià)于方程組的列向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.

3.2 在證明行列式等于零中的應(yīng)用

如果要證明某個(gè)行列式等于零，可以轉(zhuǎn)為證明以這個(gè)行列式所對(duì)應(yīng)的矩陣為系數(shù)矩陣的某個(gè)齊次線(xiàn)性方程組有非零解，進(jìn)而證得行列式為零.

例8 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明若則

證明 1）若A= 0，顯然必然有

2）若A≠0，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)

并假設(shè)矩陣A的第j列元素不全為零，即

因?yàn)?/p>

所以

即齊次線(xiàn)性方程組A*X= 0 有非零解，由定理1 可知

3.3 在證明矩陣秩中的應(yīng)用

線(xiàn)性方程組理論在高等數(shù)學(xué)的矩陣中，也有著廣泛的應(yīng)用，例如在證明矩陣秩等相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，也可以運(yùn)用齊次線(xiàn)性方程組的理論進(jìn)行證明.

證 明 設(shè) 矩 陣Am×n與Bm×n，根 據(jù) 齊 次 線(xiàn)性方程組可知

式（6）的解顯然為式（7）的解，由此可以將其兩邊化簡(jiǎn)，得到R(A,B) ≤R(B)；同理可得R(A,B) ≤R(A)，即結(jié)論成立.

因?yàn)楦鶕?jù)線(xiàn)性方程組理論，s-q+ 1 ≤i≤s-t，所以Ay= 0 的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量個(gè)數(shù)至 少 為(s-t) - (s-q) =q-t，從 而n-p≥q-t，即R(A,B) ≥R(A) +R(B) -n.

該題在使用線(xiàn)性方程組理論解題時(shí)，就有很好的解題效果，根據(jù)此題的解題過(guò)程，還可以將結(jié)論推廣為：設(shè)Ai(1 ≤i≤k)，其為m×n型矩陣，由此可得

4 結(jié)語(yǔ)

以上研究了齊次線(xiàn)性方程組理論在初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.在證明中引入齊次線(xiàn)性方程組理論，從而使問(wèn)題化難為易，讓我們從中不僅能體會(huì)到創(chuàng)造性解題的樂(lè)趣，還體現(xiàn)了齊次線(xiàn)性方程組在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的簡(jiǎn)潔和易行.