ANA 誤差下非參數(shù)回歸模型中估計(jì)量的相合性

何其慧

考慮如下非參數(shù)回歸模型：

其中：xni為緊集A?Rp上的固定設(shè)計(jì)點(diǎn)列，g為A上待估的回歸函數(shù)，εni,1 ≤i≤n,n≥1為隨機(jī)誤差.考慮如下關(guān)于g的線性加權(quán)估計(jì)：

其中：Wni(x) =Wni(x;xn1,xn2,…,xnn),i= 1,2,…,n為權(quán)函數(shù).

上面的估計(jì)量（2）最早由Georgiev［1］提出.由于其廣泛的適用性，很多學(xué)者都對(duì)此估計(jì)量進(jìn)行了深入的研究，如文獻(xiàn)［2-8］.由于獨(dú)立假設(shè)的不合理性，近些年來(lái)很多學(xué)者都將獨(dú)立場(chǎng)合下經(jīng)典的極限理論和統(tǒng)計(jì)大樣本理論推廣到各種相依情形.本文將在一類非常寬泛的相依結(jié)構(gòu)——漸近負(fù)相協(xié)（ANA）誤差下繼續(xù)研究估計(jì)量（2）的相合性.ANA（或ρ--混合）隨機(jī)變量的概念是由文獻(xiàn)［9］提出的.

定義混合系數(shù)如下：

其中? 是非降函數(shù)的集合.若混合系數(shù)

本文引用如下一些記號(hào)：C代表正的常數(shù)，在不同的地方可以取不同的值，I(A)為事件A的示性函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，a+=aI(a≥0)且a-= -aI(a< 0).

1 預(yù)備知識(shí)

下面介紹關(guān)于隨機(jī)控制的概念.

定 義1［9］若存在常數(shù)C，使得對(duì)所有的x≥0及n≥1，都有

則稱隨機(jī)變量序列{ }Xn,n≥1 被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制.

為證明本文的主要結(jié)果，還需要下述幾個(gè)重要引理.

引 理1［9］設(shè)隨機(jī)變量{Xn,n≥1}為ANA的.若為單調(diào)非降（或非增）函數(shù)序列，那么仍為ANA 的，且其控制系數(shù)不大于ρ-(n).

引 理2［12］假設(shè)為均值是0 的ANA 隨機(jī)序列且存在p≥2，使得則存在僅依賴于p及的常數(shù)C，使得

由引理2 及文獻(xiàn)［13］中定理2.1 的方法，可得到如下關(guān)于ANA 隨機(jī)變量的Marcinkiewicz-Zygmund 型矩不等式.

引 理3［13］假 設(shè){Xn,n≥1}為均值是0 的ANA 隨機(jī)序列且存在1

引 理4［14］假 設(shè)是被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制的隨機(jī)序列，則對(duì)任意的a> 0,b>0 及n≥1，都有

其中：C1和C2代表不同的正常數(shù).

2 主要結(jié)果

在給出主要結(jié)果之前，需要列舉下列3 個(gè)基本條件：

基于以上條件，可以建立如下關(guān)于ANA誤差下估計(jì)量（2）的完全相合性的結(jié)果.

定理 1 假設(shè)條件①～③成立 .為均值是0 的ANA 隨機(jī)誤差陣列且被隨機(jī)變量ε隨機(jī)控制，若存在s> 0，使得且

則對(duì)g(x)的所有連續(xù)點(diǎn)x與任意的δ> 0 都有

進(jìn)而有

證明 類似文獻(xiàn)［6］中（4.3）式的證明，可以由條件①～③推出

因此，由式（5）知只需證明對(duì)任意的δ> 0，

由引理1 可知{Xni,1≤i≤n,n≥1}仍然為ANA 隨機(jī)變量陣列.因此式（6）可分解為

下面將證明I<∞及J<∞.

由條件①、E|ε|1+1/s<∞及引理4，可得

下面證明J<∞.首先證明當(dāng)n→∞時(shí),

事實(shí)上，由Eεni= 0，Wni(x) ≤n-s，以及引理4可得

因此，當(dāng)n充分大時(shí)故由Markov 不 等 式、引 理2、Cr不等式及Jensen 不等式可得對(duì)p> max{2,2/s,1+1/s}，

由Cr不等式，定義1 及引理4 可知

由I<∞的證明可得

而對(duì)于J11，可將其分解為

同樣由I<∞的證明可得此外由可得

最后來(lái)證明J2<∞.注意到由Cr不等式及引理4 可得

而若0

從而式（3）得證.式（4）可由式（3）及由Borel-Cantelli 引理立即得到.

注1：文獻(xiàn)［6］在-混合誤差下建立了估計(jì)量（2）的完全相合性的結(jié)果，而本文則是在較-混合更加寬泛的ANA 誤差下建立的，因此具有更廣泛的適用性.此外定理1 的證明和文獻(xiàn)［6］的證明是有很大不同的，事實(shí)上，定理1 的證明要簡(jiǎn)單的多.

下面給出定理1 在最近鄰估計(jì)中的應(yīng)用.不 失 一 般 性，取A= [0,1]，xni=i/n,1 ≤i≤n.對(duì)任意的x∈A，將|xn1-x|,|xn2-x|,…,|xnn-x|重新排序如下：

其中，若存在i

從而模型（1）中關(guān)于函數(shù)g的最近鄰估計(jì)可定義如下：

基于以上論述，下面給出關(guān)于模型（1）中最近鄰估計(jì)量的完全相合性的結(jié)果.

定理2 假設(shè){εni,1≤i≤n,n≥1}為均值是0 的ANA 隨機(jī)誤差陣列且被隨機(jī)變量ε隨機(jī)控制. 若存在0 0 都有

進(jìn)而有

證明 由定理1 可知，只需驗(yàn)證W~ni(x)滿足條件(H1)～(H3).由于g(x)在緊集A上連續(xù)，故在A上必有界，記為對(duì) 任 意的x∈A，由的定義可知

及?a> 0，有

證明 由Cr不等式可得

故由式（5），為了證明式（8），下面只需證明

不失一般性，仍然假設(shè)Wni(x) ≥0，從而仍然為均值是0 的ANA 隨機(jī)誤差陣列.若1

而若r> 2，由引理2 可得

注2：文獻(xiàn)［5］在誤差為線性過程下建立了估計(jì)量（2）的矩相合性的結(jié)果.在其結(jié)果中要求存在r≥2，使得且而 定 理3 中 將r的 范 圍 由r≥2 改進(jìn)到r> 1.

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用關(guān)于ANA 序列的Rosenthal-型矩不等式，建立了ANA 誤差下非參數(shù)回歸模型中加權(quán)估計(jì)量的完全相合性，其結(jié)果推廣改進(jìn)了WANG 等人關(guān)于-混合誤差下的相應(yīng)結(jié)果.作為應(yīng)用，還得到了ANA 誤差下最近鄰估計(jì)量的完全相合性.此外，利用ANA序列的Marcinkiewicz-Zygmund 型矩不等式，進(jìn)一步得到了加權(quán)估計(jì)量的矩相合性，所得結(jié)果改進(jìn)了胡舒合等人所得結(jié)果中的矩條件.