基于時間序列分析的山東省CPI預(yù)測

張洋洋 鄧 偉 宋長鈺

( 1) 西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，611130，成都； 2) 山東建筑大學(xué)理學(xué)院，250101，濟(jì)南；3) 河北大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，071002，河北保定 )

1 引 言

CPI是反映居民家庭在一定時期購買的消費品和服務(wù)項目價格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，其變動率在一定程度上反映了通貨膨脹或緊縮的程度，準(zhǔn)確預(yù)測短期CPI變動情況對于提高居民生活福利以及維護(hù)社會穩(wěn)定均具有重要意義.自英國統(tǒng)計學(xué)家Yule于1927年提出自回歸模型(AR)后，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出移動平均模型(MA)、自回歸移動平均模型(ARMA)、求和自回歸移動平均模型(ARIMA)等，這些模型奠定了時間序列的基礎(chǔ)，被稱為經(jīng)典時間序列分析方法[1].

近年來，國內(nèi)外學(xué)者又提出了許多預(yù)測CPI的模型，如：馬爾科夫鏈模型、灰色預(yù)測模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、組合預(yù)測模型、統(tǒng)計回歸模型等，并根據(jù)實際問題對這些經(jīng)典預(yù)測模型不斷改進(jìn)，取得了不錯的預(yù)測效果.然而，由于CPI受到經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、社會等諸多不確定因素的影響，僅僅采用單一模型無法充分提取數(shù)據(jù)中蘊含的信息.因此，本文建立了不同的模型：時間序列模型、加權(quán)馬爾科夫鏈模型、改進(jìn)的GM(1,1)模型、組合預(yù)測模型，從中尋找預(yù)測效果相對更優(yōu)的模型，為CPI等宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的預(yù)測提供參考.

2 基本原理

2.1時間序列模型時間序列模型是從序列自相關(guān)的角度揭示數(shù)據(jù)的發(fā)展規(guī)律，該模型建模步驟包括：數(shù)據(jù)預(yù)處理、模型定階、模型求解、優(yōu)化、檢驗、預(yù)測.在建立時間序列模型前需要判斷數(shù)據(jù)是否具有平穩(wěn)性、純隨機性.根據(jù)數(shù)據(jù)性質(zhì)確定模型結(jié)構(gòu)，再結(jié)合自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)確定模型階數(shù)，由最小二乘法估計模型中未知參數(shù)，確定模型最終形式，對模型進(jìn)行顯著性檢驗，尋找相對最優(yōu)模型，最后依據(jù)線性最小方差法進(jìn)行外推預(yù)測.

對于非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)主要建立求和自回歸移動平均模型，通常簡記為ARIMA(p,d,q).該模型具有如下結(jié)構(gòu)：

(1)

Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，

(2)

Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq.

(3)

ARIMA(p,d,q)模型具有結(jié)構(gòu)簡單，只需要內(nèi)生變量而不需要其他外生變量就可以做出較好擬合結(jié)果的優(yōu)點，在預(yù)測國民經(jīng)濟(jì)指標(biāo)上效果良好[2-4].

2.2加權(quán)馬爾科夫鏈模型馬爾科夫鏈模型是一種基于事件發(fā)生概率來分析時間序列變化規(guī)律并做出預(yù)測的方法.主要目的是根據(jù)變量現(xiàn)在的情況和變動趨勢來預(yù)測它在未來某段時期內(nèi)的變化，以此作為決策的依據(jù).而加權(quán)馬爾科夫鏈模型是在經(jīng)典馬爾科夫鏈模型的基礎(chǔ)上對各步的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的預(yù)測值賦予不同權(quán)重，并將這些預(yù)測值的加權(quán)和作為最終預(yù)測值.該模型的建模步驟包括：劃分狀態(tài)、建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣、馬氏性檢驗、確定各步預(yù)測值權(quán)重、加權(quán)求和.

馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率表示隨機過程從狀態(tài)i經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，由此可構(gòu)建一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P[5]為

pij=p{Xn+1=j|Xn|=i}.

(4)

(5)

根據(jù)C-K方程，k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣求得[5]，即

(6)

計算各階的自相關(guān)系數(shù),歸一化處理后得到權(quán)重系數(shù)為

(7)

2.3改進(jìn)的GM(1,1)模型灰色模型是利用離散隨機數(shù)經(jīng)過生成隨機性減弱而規(guī)律性增強的生成數(shù)而建立起的微分方程形式的模型.用灰色預(yù)測模型在數(shù)據(jù)量較少(6～15)時就可得到較高的預(yù)測結(jié)果.灰色模型的記號是GM(M,N),其中N表示變量的個數(shù)，M表示常微分方程的階數(shù).一般情況下GM(1,1)模型應(yīng)用更為廣泛[8].改進(jìn)的灰色預(yù)測模型在經(jīng)典GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)了其原始數(shù)據(jù)、生成序列或者模型結(jié)構(gòu)，克服了數(shù)據(jù)具有劇烈變化而不平滑導(dǎo)致模型預(yù)測精度下降的缺點.該模型的建模步驟主要包括：級比檢驗、生成序列、模型求解、模型檢驗和預(yù)測[9].

在建立灰色預(yù)測模型前，需先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行級比檢驗，若級比落入級比范圍內(nèi)就可以建立GM(1,1)模型，級比的計算公式為

(8)

設(shè)有原始數(shù)列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n))，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加運算就可以獲得累加序列，累加序列中的每一項可由公式計算得到

(9)

定義白化的GM(1,1)灰微分方程為一階線性微分方程，其形式為

(10)

其中a和b是待識別的參數(shù)，a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，用最小二乘法估計模型中的未知參數(shù)，得到模型的最終形式為

(11)

對模型進(jìn)行檢驗的常用方法有：相對誤差Q檢驗、方差比C檢驗和小誤差概率P檢驗，可以根據(jù)統(tǒng)計量值的大小來劃分模型的精度等級.對模型計算得到的預(yù)測值是累加序列的預(yù)測結(jié)果，對其做累減還原可得到未來預(yù)測值[8-10].

2.4組合預(yù)測模型設(shè)時間序列模型和改進(jìn)的灰色預(yù)測模型得到的第i個預(yù)測值為fi,i=1,2,…m,wi為第i個單項預(yù)測模型的權(quán)重.組合模型的任務(wù)是在權(quán)重和為1的前提下，使組合模型誤差的方差最小.線性組合預(yù)測模型的形式為[11]

(12)

記Si為第i種單項預(yù)測方法的標(biāo)準(zhǔn)差，則標(biāo)準(zhǔn)差法賦予單項預(yù)測模型不同的權(quán)重分別為[12]

(13)

3 山東省CPI的預(yù)測

3.1時間序列模型預(yù)測山東省CPI圖1為山東省1995年1月至2020年5月CPI時序圖.用SAS軟件對序列值進(jìn)行預(yù)處理，步驟包括：平穩(wěn)性檢驗(表1)和純隨機性檢驗(表2).

由圖1可知，序列非平穩(wěn)，故對序列進(jìn)行一階差分運算，再對差分后的序列做ADF檢驗考察其平穩(wěn)性，由表1可知一階差分后序列平穩(wěn).對一階差分后序列做白噪聲檢驗，由表2可知一階差分后序列不是白噪聲序列，其中仍然含有大量相關(guān)信息待提取，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)對該序列進(jìn)行統(tǒng)計分析.

圖1 山東省CPI時序圖

表1 一階差分后平穩(wěn)性檢驗

表2 純隨機性檢驗

由上述分析可知一階差分后序列為方差齊性的平穩(wěn)非白噪聲序列，可以擬合ARIMA(p,d,q)模型.為獲得相對最優(yōu)的擬合模型，根據(jù)自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)確定不同階數(shù)，嘗試建立不同的ARIMA(p,d,q)模型.引進(jìn)AIC和SBC準(zhǔn)則作為模型優(yōu)劣的評價指標(biāo)，在所有通過檢驗的模型中尋找使AIC和SBC函數(shù)值最小的模型作為相對最優(yōu)模型，最終得到的模型是ARIMA(2,1,2)，其形式為

xt=-1.395 4xt-1-0.673 0xt-2+εt+1.615 9εt-1+0.673 0εt-2.

(14)

模型擬合效果圖(圖2)中黑色為真實值，紅色為模型擬合值，綠色為上下95%置信區(qū)間，從圖2中可以看出，模型擬合值與真實值較為接近，模型擬合效果較好.由于預(yù)測方差僅與預(yù)測步長有關(guān)，步長越大，預(yù)測的方差也越大，所以時間序列數(shù)據(jù)通常只適合做短期預(yù)測.采用ARIMA(2,1,2)模型預(yù)測未來五個月山東省CPI分別為102.712、102.912、102.760、102.838、102.831.

圖2 ARIMA(2,1,2)模型擬合效果圖

聚類結(jié)果表明，將誤差劃分為四類較為合適.處于狀態(tài)一的誤差范圍為[-2.9,-1.057)，處于狀態(tài)二的誤差范圍為[-1.034,-0.108)，處于狀態(tài)三的誤差范圍為[-0.058,0.674)，處于狀態(tài)四的誤差范圍為[0.675,2.827].為保證數(shù)據(jù)的連續(xù)性和區(qū)間范圍的封閉性，將上一區(qū)間的最小值和下一區(qū)間的最大值的均值作為相鄰兩區(qū)間的間斷點.調(diào)整后的各狀態(tài)的誤差范圍分別為[-2.900,-1.504)，[-1.504,-0.180)，[-0.180,1.384)，[1.384,2.827].根據(jù)狀態(tài)序列構(gòu)建一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

在應(yīng)用馬爾科夫鏈模型分析時需要滿足三個假設(shè)條件：預(yù)測期系統(tǒng)狀態(tài)個數(shù)不變；系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣不變；狀態(tài)轉(zhuǎn)移僅受前一狀態(tài)影響，從時刻t到時刻t+k的狀態(tài)轉(zhuǎn)移與t無關(guān)，僅與k有關(guān).顯然最后一條假設(shè)也就是要求數(shù)據(jù)滿足馬氏性即無后效性，這表明過程將來的狀態(tài)僅僅與此刻的狀態(tài)有關(guān)，而與之前的狀態(tài)無關(guān).一般在獲得數(shù)據(jù)后需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行馬氏檢驗，只有通過檢驗的數(shù)據(jù)才可以進(jìn)一步應(yīng)用馬爾科夫鏈模型分析.

馬氏性檢驗統(tǒng)計量值χ2=70.401，查表可知數(shù)據(jù)序列通過馬氏檢驗，即可建立加權(quán)的馬爾科夫鏈模型.根據(jù)C-K方程，獲得2-4步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

計算得出k階的自相關(guān)系數(shù)，數(shù)值越大就說明k步轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測結(jié)果越穩(wěn)定，應(yīng)對其賦予較大的權(quán)重[13，14].按照這一思想得到1～4階權(quán)重分別為0.011, 0.054,0.043,0.032.選取2020年2月至2020年5月這四期誤差數(shù)據(jù)，先將權(quán)重乘預(yù)測狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對應(yīng)的各行，然后將預(yù)測狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣各列元素相加，得到各狀態(tài)最終的概率值[15]，最終計算出ARIMA模型預(yù)測的2020年6月山東省CPI誤差所屬的狀態(tài)概率分布，計算結(jié)果如表3所示.

表3 2020年6月誤差狀態(tài)概率分布

由最大隸屬原則可知，概率分布中的最大值所對應(yīng)的狀態(tài)就是該期誤差最可能的狀態(tài)，由表3可知：2020年6月預(yù)測的誤差值最有可能處于狀態(tài)四，取狀態(tài)四對應(yīng)的誤差范圍區(qū)間端點的平均值1.751作為誤差的預(yù)測值.2020年6月CPI預(yù)測值為ARIMA(2,1,2)模型預(yù)測值與加權(quán)馬爾可夫鏈模型預(yù)測值之差，即100.961.

對于后續(xù)的預(yù)測有兩種做法：一種方法是將新的預(yù)測值計入觀察值序列，重新構(gòu)建馬爾科夫鏈模型，重復(fù)該過程進(jìn)行逐期預(yù)測；另一種方法是將新的預(yù)測值代入觀測值序列后，刪除原始數(shù)據(jù)的第一個數(shù)據(jù)，使樣本量始終不變，再構(gòu)建馬爾科夫鏈模型得到預(yù)測數(shù)據(jù)[16].經(jīng)實例驗證，第二種方法的預(yù)測精度更高.在本文中也將采用第二種方法.

將2020年6月的預(yù)測值代入原始數(shù)據(jù)，去掉1995年1月數(shù)據(jù)，重新建立加權(quán)馬爾可夫鏈模型，得到2020年7月誤差最可能處于狀態(tài)四，所以2020年7月山東省CPI預(yù)測值為101.161.同樣地，可以得到2020年8月至2020年10月山東省CPI預(yù)測值分別為101.008,101.086,101.080.

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(9))

=(106.200,105.979,105.700,105.311,104.800,104.209,103.600,103.123,102.900).

對所得到的生成序列進(jìn)行級比檢驗，根據(jù)公式計算級比范圍為(0.717,1.396)，計算改進(jìn)的生成序列可知級比均落在該范圍內(nèi)，因此可建立改進(jìn)的GM(1,1)模型.對山東省CPI序列值進(jìn)行一次累加后，CPI增長率呈現(xiàn)出線性增大的特點(普遍規(guī)律)，而在局部出現(xiàn)了稍微的跳躍(特殊現(xiàn)象)，建立滿足初始條件的白化模型，由最小二乘法估計未知參數(shù)值得到模型形式為

x(0)(k+1)=[x(0)(k)-23 230.960]e-0.005+23 230.960.

(15)

用建立好的灰色預(yù)測模型對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，計算方差比檢驗C統(tǒng)計量為0.009，對比灰色預(yù)測精度檢驗對照表，可知精度為Ⅰ級，可見模型預(yù)測效果良好.利用改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測得到未來五個月山東省CPI分別為102.318,101.851,101.386,100.923,100.462.

3.4線性組合預(yù)測模型預(yù)測山東省CPI由于單項模型預(yù)測時只能從某個方面來提供有效信息，還受限于模型的設(shè)定形式，因此接下來考慮組合預(yù)測模型[17].本文將對時間序列模型和灰色預(yù)測模型賦予不同的權(quán)數(shù)，得到相應(yīng)的組合預(yù)測模型.

由計算可得ARIMA(2,1,2)模型和改進(jìn)的GM(1,1)模型的預(yù)測誤差均方誤差分別為0.714和0.102，可見ARIMA(2,1,2)模型預(yù)測方差較大，處理預(yù)測精度較低，應(yīng)在線性組合預(yù)測模型中被賦予較小權(quán)重.對這兩個單項預(yù)測模型的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行歸一化處理，得到上述兩個模型在線性組合預(yù)測模型中所占權(quán)重分別為w1=0.125,w2=0.875.按照線性組合預(yù)測模型公式擬合原始數(shù)據(jù)，可以預(yù)測得到未來五個月山東省CPI分別為102.367,101.983,101.557,101.162,100.758.

4 結(jié) 論

擬從兩個方面對上述四種模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析：一是從統(tǒng)計學(xué)的角度對其預(yù)測結(jié)果的合理性進(jìn)行比較分析，找出相對更合理的模型及其預(yù)測結(jié)果；二是從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度對得到的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析，即從經(jīng)濟(jì)解釋方面分析其合理性.

4.1預(yù)測結(jié)果及分析各模型的預(yù)測結(jié)果如表4所示.

表4 各模型預(yù)測結(jié)果

比較上述模型的預(yù)測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

1) 加權(quán)馬爾科夫模型的預(yù)測結(jié)果小于時間序列模型，這是因為使用馬爾可夫模型對時間序列模型的預(yù)測誤差進(jìn)行修正時，預(yù)測誤差都為正值，導(dǎo)致時間序列模型預(yù)測值與修正后的預(yù)測誤差之差小于時間序列模型預(yù)測值.計算該模型的均方誤差為2.063，這一均方誤差較大，表明預(yù)測效果并不理想，若對殘差序列使用其他聚類方法或更改聚類數(shù)可能提高預(yù)測精度.

2) 灰色預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果略小于時間序列模型預(yù)測結(jié)果，這是由于灰色預(yù)測模型僅考慮了最近五個月的數(shù)據(jù)，而這一階段山東省CPI有下降的趨勢，用這種方法可能會低估未來五個月山東省CPI的預(yù)測值.計算時間序列和灰色預(yù)測模型的均方誤差分別為0.624和0.016.由這兩個模型所組成的線性組合預(yù)測模型的均方誤差為0.009.組合預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果表明未來五個月山東省CPI將在101.5%左右.基于ARIMA(2,1,2)與改進(jìn)的GM(1,1)模型所構(gòu)成的線性組合預(yù)測模型誤差均方誤差最小，在誤差可接受的范圍內(nèi)預(yù)測效果相對更好.該模型可作為今后預(yù)測山東省乃至全國CPI的參考模型.

3) 加權(quán)馬爾可夫模型對不同時期的數(shù)據(jù)采用不同的權(quán)重，充分運用原始信息，具有一定的實際應(yīng)用價值，是一種合理預(yù)測CPI的方法.時間序列模型結(jié)構(gòu)簡單，只需要內(nèi)生變量而不需要其他外生變量就可以做出較好的擬合結(jié)果，但該模型僅適用于有限次差分后平穩(wěn)的序列，本質(zhì)上只能捕捉線性關(guān)系，無法很好地刻畫非線性序列所蘊含的數(shù)據(jù)規(guī)律.改進(jìn)的GM(1,1)模型適用于因素眾多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、綜合性強、涉及面廣的社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，但這種模型僅僅基于指數(shù)率的預(yù)測，沒有考慮系統(tǒng)隨機性和序列值之間的相互影響.線性組合預(yù)測模型恰恰彌補了上述兩種預(yù)測模型的不足，可以深入挖掘數(shù)據(jù)蘊含的規(guī)律[17，18].

4.2經(jīng)濟(jì)解釋及建議同比來看，2019年6月-10月山東省CPI分別為102.8，103，102.5，103，104.3，高于2020年同期山東省CPI預(yù)測結(jié)果.就預(yù)測結(jié)果自身而言，未來5個月，山東省CPI增長率將在1.5%左右，消費價格水平相對比較平穩(wěn).究其原因如下：1) 2019年受“非洲豬瘟”疫情因素影響，國內(nèi)豬肉市場出現(xiàn)了一定程度的供不應(yīng)求情況，豬肉價格水平上漲明顯，從而帶動了牛羊肉、雞蛋等其它相關(guān)生活必需品價格的上漲，CPI值相應(yīng)偏高.2) 2020年受新冠肺炎疫情影響，國內(nèi)經(jīng)濟(jì)遭受一定程度的沖擊，就業(yè)壓力和經(jīng)濟(jì)下行壓力在一定時期內(nèi)仍然較大，居民消費疲軟，消費預(yù)期也不樂觀，再加上國際市場需求下滑，導(dǎo)致了國內(nèi)需求不足，在國家出臺了一系列保就業(yè)、穩(wěn)生產(chǎn)的政策后，CPI值相對穩(wěn)健.

總的來說，所選擇的模型預(yù)測結(jié)果比較符合山東省經(jīng)濟(jì)運行的實際情況，具有較高的可信水平.根據(jù)上述預(yù)測結(jié)果，提出如下建議：1) 在繼續(xù)穩(wěn)定物價的基礎(chǔ)上，采取價格補貼等方式，努力擴(kuò)大居民消費.居民消費的增加不僅可以促進(jìn)消費品需求的增加，還可以促進(jìn)資本品需求的增加，從而既可以保障居民基本生活水平，還有利于增加生產(chǎn)，帶動經(jīng)濟(jì)的持續(xù)穩(wěn)定增長.2) 針對消費預(yù)期不樂觀問題，建議在短期內(nèi)采取一系列積極的財政政策，保障居民收入，扭轉(zhuǎn)經(jīng)濟(jì)預(yù)期，提振消費信心.