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    均值不等式求最值的常用技巧

    2020-10-14 09:45:24田俊康任澤容丁文靜
    大眾科學(xué)·上旬 2020年6期
    關(guān)鍵詞:解題方法最值

    田俊康 任澤容 丁文靜

    摘 要:本文重點(diǎn)分析了利用均值不等式解決高中數(shù)學(xué)中的一些求最值的相關(guān)問題。圍繞具體的問題,對使用均值不等式的方法進(jìn)行了研究。靈活的應(yīng)用均值不等式的一些技巧可以提高學(xué)生解題效率,同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。為了幫助學(xué)生尋找更好的解題方法,本文將介紹一些均值不等式求最值的常用技巧。

    關(guān)鍵詞:均值不等式;最值;解題方法

    均值不等式是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容不可或缺的部分,是不等式的重中之重,是歷年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn)。還有些設(shè)有陷阱的題目需要巧妙變形才能利用均值不等式求最值等的問題,必須引起高度重視。對于這些問題本文將通過查找相關(guān)文獻(xiàn)并列舉和分析不同題型中均值不等式的運(yùn)用方法,進(jìn)一步加深學(xué)生對均值不等式求最值的理解并牢牢掌握,使之能靈活的運(yùn)用均值不等式求最值的技巧。

    1運(yùn)用均值不等式的條件[4]

    1.1在代數(shù)式中求最值時(shí),各項(xiàng)都要為正數(shù),若為負(fù)數(shù)則轉(zhuǎn)化為正數(shù);

    1.2在代數(shù)式中各變項(xiàng)數(shù)的積或和其中一項(xiàng)為常數(shù),確保不等式的一邊為定值,反之則對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;

    1.3各個變項(xiàng)必須有相等的可能。

    上述2.1-2.3簡稱一正,二定,三相等。

    所以的最大值為-8.

    注①形如的函數(shù),在求代數(shù)式的最值時(shí),可以直接套用基本不等式.

    當(dāng)在解答基本不等式的最值的問題時(shí),每一項(xiàng)都必須是正數(shù),反之則添加負(fù)號進(jìn)行變號轉(zhuǎn)換。

    例2若的最小值。

    所以y的最小值為

    例3求的最大值。

    所以的最大值為。

    小結(jié):①形如的函數(shù),首先把它變形,其次再套用均值不等式,最后求出最值。

    ②形如的函數(shù),首先把它變形,其次再套用均值不等式,最后求出最值。

    ③用均值不等式求最值時(shí),在代數(shù)式中各變項(xiàng)數(shù)的積或和其中一項(xiàng)為常數(shù),確保不等式的一邊為定值,反之則對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;

    2應(yīng)用均值不等式求最值應(yīng)注意的事項(xiàng)[1-3][5]

    2.1忽略各項(xiàng)都要為正數(shù);

    例4求的值域;

    解對于該題最開始學(xué)會認(rèn)為值域是[9,+∞),主要是沒有考慮到“一正”這個條件,忽略了有兩種情況,只考慮了的情況。

    解當(dāng)時(shí)

    當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以值域是(-∞,-6]

    綜上所述:y的值域?yàn)椋?∞,-6]和[9,+∞)。

    2.2忽略等號成立的條件

    例5的值域。

    分析對于該題的常見錯誤答案是[6,+∞),主要是遺漏了“三相等”這個條件。如果利用均值不等式求最值時(shí),的等號取不到(不成立),則換個方向考慮該項(xiàng)的最大值。

    又因?yàn)榈淖畲笾禐?,所以;所以原式的值域?yàn)閇10,+∞)。

    2.3盲目利用均值不等式,不注意不等號的方向。

    分析此題雖然結(jié)果是對的,但是過程是錯誤的,有時(shí)老師只看結(jié)果不看過程,導(dǎo)致學(xué)生不重視不等號的方向問題,最終錯誤。

    3運(yùn)用均值不等式求最值的常用技巧[5-6]

    當(dāng)出現(xiàn)運(yùn)用均值不等式的有關(guān)定理求最值問題時(shí),定理必須要同時(shí)滿足三個條件,其中一正即每一項(xiàng)都為正數(shù);二定即要么積為定值,要么和為定值;三相等即代數(shù)式中各項(xiàng)等號能否取得”,三者必不可少?!耙徽焙汀叭嗟取边@兩個條件在題目中通常容易得出,但“二定”這個條件常常隱含在題目中,需要對題目進(jìn)行一定的巧妙變形才能得到各項(xiàng)的積或和為定值,接下來對一些例題進(jìn)行分析,進(jìn)一步掌握用均值不等式求最值時(shí)普遍使用的湊“定積”或“定和”的一些技巧。

    3.1求幾個正數(shù)和的最小值

    由均值不等式滿足的三個條件可知,求幾個正數(shù)和的最小值,首先得求出他們的積為定值。

    3.1.1直接運(yùn)用均值不等式

    分析因?yàn)?,且乘以等?1為定值,所以可以直接套用均值不等式求解。

    當(dāng)且僅當(dāng)=,即=時(shí)等號成立,y取得最小值。

    3.1.2湊項(xiàng)

    當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,所以y的最小值為

    3.1.3裂項(xiàng)

    例9已知x>-1,求函數(shù)的最小值。

    分析該題從題面來看似沒法湊“定積”,但分別只要在分子的各因式中湊出,讓分子分母有相同項(xiàng),再對其進(jìn)行分離即可。

    當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號。所以的最小值為。

    3.2求幾個正整數(shù)積的最大值

    由均值不等式滿足的三個條件可知,求幾個正數(shù)積的最大值,就要求出他們的和為定值。

    3.2.1平衡計(jì)數(shù)法

    例10當(dāng)

    分析所求的式子是兩個式子的乘積,且,所以可以利用均值不等式求得最大值,其和要為定值,而和不為定值,但和為定值,即平衡系數(shù),因此我們只需把原式乘上5,同時(shí)要除以5,即即可利用均值不等式求解最大值。

    3.2.2平方法

    例11已知最大

    分析本題要用均值不等式看起來似乎有些困難,既有一次式又有二次式,還帶有根號。看似十分困難,但是只要把平方,則解題方向就一目了然,就可利用均值不等式來解決了。

    注本題還可以運(yùn)用均值不等式的另外一種變式方法,即將納入根號內(nèi),即把所求式化為,再配系數(shù)。

    總結(jié)

    均值不等式在高中解題中發(fā)揮著不可替代的作用,學(xué)生通過進(jìn)一步的學(xué)習(xí)均值不等式的概念和解題技巧,逐漸掌握均值不等式的特點(diǎn),并根據(jù)數(shù)學(xué)題的情況,有目的的進(jìn)行解決問題,這樣才能更大限度上幫助學(xué)生了解問題的解決路經(jīng)和方法,加深學(xué)生對問題的理解,提高學(xué)生的解題能力。

    參考文獻(xiàn)

    [1]陳鋒.均值不等式在求最值中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)之友,2019(01):53-54.

    [2]李培瑩.走出均值不等式求最值的誤區(qū)[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,30(01):4-5.

    [3]李世桂.細(xì)說基本不等式求最值問題的常見結(jié)構(gòu)與方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019(34):47-49.

    [4]鄧清.基本不等式解高中數(shù)學(xué)問題探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2019(19):139.

    [5]胡霞.例談高中數(shù)學(xué)解題中巧用均值不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2019(02):107.

    [6]張永紅.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題研究[D].河南師范大學(xué),2013.

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