圓錐曲線中非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式的處理方法

施利強(qiáng) 江戰(zhàn)明

摘? ? 要：2019年浙江省高考數(shù)學(xué)卷圓錐曲線題的處理過(guò)程中，出現(xiàn)不能直接用韋達(dá)定理處理的非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式.對(duì)于該問(wèn)題，教師可借助對(duì)稱(chēng)式[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1]，化非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式為對(duì)稱(chēng)式[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]].從而將任意的非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式[my1+ny2]化為對(duì)稱(chēng)式[my1+ny2=λ（y1+y2）+μy1-y2）]，最終可以用韋達(dá)定理解決.

關(guān)鍵詞：高考;圓錐曲線;非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式

2019年浙江省高考數(shù)學(xué)卷圓錐曲線題的處理過(guò)程中，出現(xiàn)不能直接用韋達(dá)定理處理的非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式.筆者開(kāi)設(shè)了一堂關(guān)于圓錐曲線中非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式處理的公開(kāi)課，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了探討.筆者考慮到圓錐曲線題型的代數(shù)運(yùn)算量和課堂的可操作性，本堂課圍繞一個(gè)橢圓模型展開(kāi).

一、非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的引入

（一）課堂引入，模型建立

在課堂的引入部分，針對(duì)2019年高考的圓錐曲線題，筆者給出兩個(gè)探究問(wèn)題，讓學(xué)生一起探究.

探究一：如圖1，已知點(diǎn)[P]為橢圓[x24+y23=1]上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：[kPA1kPA2]是否為定值？

解析：A1（-2，0），A2（2，0）設(shè)[P（x0，y0）]，[kPA1kPA2=y0x0+2?y0x0-2=y20x20-4]，由[P（x0，y0）]在橢圓上即[x204+y203=1]，代入消元化簡(jiǎn)得：[kPA1kPA2=-34].

【評(píng)注】學(xué)生的證明過(guò)程用到點(diǎn)在曲線上這個(gè)條件，這也是我們處理圓錐曲線參數(shù)問(wèn)題的常用消元方法.

探究二：如圖2，過(guò)點(diǎn)[P]與左焦點(diǎn)[F1]作焦點(diǎn)弦[PG]，并連接[A1G]，問(wèn)：[kPA1kGA1]是否為定值？

解析：設(shè)[lPG：x=my-1].與橢圓方程聯(lián)立： [（4+3m2）y2-6my-9=0]，得到：

[y1+y2=6m4+3m2y1y2=-94+3m2]，同時(shí)算得：

[x1+x2=-84+3m2x1x2=4-12m24+3m2].當(dāng)然，化簡(jiǎn)的過(guò)程用到[x1=my1-1，x2=my2-1]，即點(diǎn)在直線上消元.最后得出結(jié)論：[kPA1kGA1=y1y2（x1+2）（x2+2）=-94]，是一個(gè)定值.

其中，代入直線消元也是我們處理圓錐曲線參數(shù)問(wèn)題的常用方法.

問(wèn)題：結(jié)合剛才探究一的結(jié)論：[kPA1kPA2=-34]，是否可以得到[kPA2，kGA1]之間的關(guān)系？

解答：兩個(gè)式子作除法，可以得到：[kPA2kGA1=13]，即斜率的比值是一個(gè)定值.

【評(píng)注】通過(guò)這兩個(gè)探究，讓學(xué)生回顧在解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)常用的兩種處理方法：點(diǎn)代入曲線消元和代入直線消元.另一方面，在回顧舊知識(shí)的同時(shí)，引出本節(jié)課主要的橢圓模型，并得到模型中斜率的比值的定值關(guān)系，為下文引出本節(jié)課的主題做好鋪墊.

（二）深入探究，引發(fā)沖突

引入部分借助于已知的常用結(jié)論，得到[kPA2，kGA1]之間滿足的關(guān)系式[kPA2kGA1=13]，如果直接探究，是否也可以順利得到該關(guān)系式？

問(wèn)題重述：如圖3，過(guò)點(diǎn)[P]與左焦點(diǎn)[F1]作焦點(diǎn)弦[PG]，連接[PA2]，[A1G]，問(wèn)：[kPA2kGA1]是否為定值？

解析：設(shè)[P（x1，y1），G（x2，y2）]， [kPA2kGA1=y1y2?x2+2x1-2]，再由點(diǎn)在直線上[x1=my1-1，x2=my2-1]，消元得到：[kPA2kGA1=y1y2?x2+2x1-2=y1y2?my2+1my1-3=my1y2+y1my1y2-3y2].

一般能用韋達(dá)定理解決的代數(shù)結(jié)構(gòu)式是對(duì)稱(chēng)式：[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1].此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，這里的目標(biāo)式是非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式，不能很順利地由韋達(dá)定理解決.但是由前兩個(gè)探究我們可以知道，代數(shù)式的結(jié)果是一個(gè)定值[13].具體如何求？

【評(píng)注】深入探究，通過(guò)點(diǎn)代入直線消元化簡(jiǎn)代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)式不能用韋達(dá)定理直接解決，從而引發(fā)沖突.同時(shí)，由于代數(shù)結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱(chēng)，提出非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式，并強(qiáng)調(diào)能用韋達(dá)定理解決的對(duì)稱(chēng)式：[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1].

二、非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解決方法探究

方法1：化非對(duì)稱(chēng)式為對(duì)稱(chēng)式

我們知道常用對(duì)稱(chēng)式有：[y1+y2，y1y2，y1-y2，y1y2+y2y1]，如果還是想要化非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式為對(duì)稱(chēng)式，是否可以將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為這些對(duì)稱(chēng)式，從而利用韋達(dá)定理解決.比如最簡(jiǎn)單的非對(duì)稱(chēng)式[y1]，是否可行？

解析： 假設(shè)[y1>y2]，就得到對(duì)稱(chēng)式：[y1=12（y1+y2+y1-y2）].同理可以得到關(guān)于[y2]的對(duì)稱(chēng)式：[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]].

由本題圖形的對(duì)稱(chēng)性，以下我們都假設(shè)[y1>y2].此時(shí)，對(duì)于任意關(guān)于[y1，y2]的線性結(jié)構(gòu)：[my1+ny2]，代入[y1，y2]的對(duì)稱(chēng)式或者利用待定系數(shù)法，都可以得到對(duì)稱(chēng)式：[my1+ny2=λ（y1+y2）+μy1-y2）].這樣任意的非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式都可以化成對(duì)稱(chēng)式，最終利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解.

回到原問(wèn)題：[kPA2kGA1=my1y2+y1my1y2-3y2]，假設(shè)[y1>y2]，利用[y1，y2]的對(duì)稱(chēng)代數(shù)式，[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]]，[y1-y2=121+m23m2+4]分別得到：[my1y2+y1=14+3m2[-6m+61+m2]]，[my1y2-3y2=14+3m2[-18m+181+m2]]，則[kPA2kGA1=my1y2+y1my1y2-3y2=13]，并將學(xué)生的結(jié)果投屏.

【評(píng)注】借助對(duì)稱(chēng)式[y1+y2，y1y2，y1-y2，]

[y1y2+y2y1]，化非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式為對(duì)稱(chēng)式：[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]].從而可以將任意的非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式[my1+ny2]化為對(duì)稱(chēng)式[my1+ny2=λ（y1+y2）+μy1-y2）]，最終可以用韋達(dá)定理解決.另一方面，這里化非對(duì)稱(chēng)代數(shù)式為對(duì)稱(chēng)代數(shù)式，將分子、分母都化成以[m]為主元的代數(shù)式，所以選定主變?cè)埠苤匾?

方法2：利用點(diǎn)在曲線上化對(duì)稱(chēng)

方法1消元的時(shí)候利用的是點(diǎn)在直線上消元，是較常用的消元方法.本題由于代數(shù)式結(jié)構(gòu)的特殊性，還可以利用點(diǎn)在曲線上消元，從而達(dá)到化對(duì)稱(chēng)的目的.由于該方法的特殊性，直接給學(xué)生作演示.

解析：[k1k2=y1y2?x2+2x1-2]，兩邊平方得：[k21k22=y21y22?（x2+2）2（x1-2）2]，由于[x214+y213=1]，[x224+y223=1]，消去[y1，y2]，并化簡(jiǎn)得：[k21k22=1-x2141-x224?（x2+2）2（x1-2）2]

[=（4-x21）（4-x22）?（x2+2）2（x1-2）2]

[k21k22=（x1+2）（x1-2）?（x2+2）（x2-2）=]

[x1x2+2（x1+x2）+4x1x2-2（x1+x2）+4][=19]，結(jié)合圖象可得，[k1k2=13].

【評(píng)注】利用點(diǎn)在曲線上消元，一方面與課前的復(fù)習(xí)內(nèi)容相呼應(yīng).另一方面，將非對(duì)稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)化為對(duì)稱(chēng)式，從而可以用韋達(dá)定理解決.進(jìn)而說(shuō)明化非對(duì)稱(chēng)式為對(duì)稱(chēng)式方法的多樣性，也為突出方法1的優(yōu)勢(shì)做鋪墊.

三、變式訓(xùn)練? ?感受方法

通過(guò)剛才的探究，學(xué)生已經(jīng)學(xué)到幾種處理非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法，相對(duì)來(lái)說(shuō)，學(xué)生覺(jué)得方法1利用[y1=12（y1+y2+y1-y2）]，[y2=12[（y1+y2）-y1-y2]]化非對(duì)稱(chēng)式為對(duì)稱(chēng)式實(shí)用一點(diǎn).作為該方法的鞏固，接下來(lái)在原來(lái)橢圓模型的基礎(chǔ)上提出以下變式訓(xùn)練，并選取部分學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行投屏探討.

變式1：如圖4，已知橢圓[x24+y23=1]，[AB]為過(guò)左焦點(diǎn)[F1]的焦點(diǎn)弦，點(diǎn)[A]在[x]軸上方，求[2F1A+1F1B]的取值范圍.

解析：[F1A=1+m2y1]，[F1B=1+m2y2]，

[2F1A+1F1B=11+m2（2y1+1y2）][=11+m2（2y1-1y2）=11+m22y2-y1y1y2][=2-13m1+m2 ][∈53，73].

【評(píng)注】在前面模型的基礎(chǔ)上做變式訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)一步了解用該方法在解決非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)要注意的地方.并在訓(xùn)練中讓學(xué)生慢慢掌握這種處理非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法，體會(huì)該方法在處理非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì).

變式2：如圖5，已知橢圓[x24+y23=1]，[AB]為過(guò)左焦點(diǎn)[F1]的焦點(diǎn)弦，點(diǎn)[A]在[x]軸上方，求[2F1A+F1B]的取值范圍.

解析1：[2F1A+F1B][=1+m2（2y1-y2）]，

[2y1-y2=12（y1+y2）+32（y1-y2） ，][2F1A+F1B=1+m2?3m-181+m24+3m2].

解析2：由橢圓極坐標(biāo)公式：[F1A=ep1-ecosθ]，[F1B=ep1+ecosθ]

（其中[e=12]，[p]為焦準(zhǔn)距，[p=b2c=3]）

[1F1A+1F1B=2ep][=43].其中[F1A∈（a-c，a+c）=（1，3）]

[2F1A+F1B][=34?（2F1A+F1B）?（1F1A+1F1B）][=34?（3+F1BF1A+2F1AF1B）]

令：[F1AF1B=t]，[t∈13，3]，則[2F1A+F1B=34（3+1t+2t）∈][94+322，7]

【評(píng)注】從變式2也可以看到，本題目標(biāo)式也是非對(duì)稱(chēng)式，但今天的方法也不一定是萬(wàn)能的，解析1雖然能將目標(biāo)式用主變量[m]表示，但是結(jié)果也不一定容易計(jì)算，這時(shí)候需要選取合適的方法來(lái)解決，解析2利用極坐標(biāo)公式順利地解決了該問(wèn)題.當(dāng)然該類(lèi)化非對(duì)稱(chēng)式為對(duì)稱(chēng)式題型的核心還是統(tǒng)一變量，不同的題化對(duì)稱(chēng)式選取的主變量可能也會(huì)不同.

四、拓展延伸? ?鞏固提高

最后給出基于本節(jié)課模型的幾個(gè)思考題，希望學(xué)生能對(duì)該類(lèi)非對(duì)稱(chēng)式題型的處理方法有更進(jìn)一步的感悟.

例題：已知橢圓[x24+y23=1]，點(diǎn)[P]為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，[A1，A2]分別為左右頂點(diǎn).

思考題1：如圖6，[PG]為過(guò)左焦點(diǎn)[F1]的焦點(diǎn)弦，分別過(guò)P，[A2]與G，[A1] 作直線[PA2]，[GA1]交于點(diǎn)[T]，證明：點(diǎn)[T]落在定直線上.

思考題2：如圖7，點(diǎn)[Q（m，0）]是橢圓長(zhǎng)軸上異于左右焦點(diǎn)的定點(diǎn)，連接[PQ]并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)[G]，分別過(guò)P，[A2]與G，[A1] 作直線[PA2]，[GA1]交于點(diǎn)[T]，證明點(diǎn)[T]的橫坐標(biāo)為定值.

思考題3：如圖8，點(diǎn)[Q（m，0）]是橢圓長(zhǎng)軸外的定點(diǎn)，連接[PQ]交橢圓于點(diǎn)[G]，分別過(guò)P，[A1]與G，[A2] 作直線[PA1]，[GA2]交于點(diǎn)[T]，證明點(diǎn)[T]的橫坐標(biāo)為定值.

【評(píng)注】本節(jié)課的最后，為了讓學(xué)生能進(jìn)一步體會(huì)并掌握該處理方法，提出本課模型下的三個(gè)思考題，從而達(dá)到拓展學(xué)生的思維、鞏固舊知識(shí)、提高學(xué)生能力的作用.

五、總結(jié)升華? ?感悟提升

本堂課筆者以一個(gè)橢圓模型貫穿始末，由我們的常見(jiàn)結(jié)論引出橢圓中的非對(duì)稱(chēng)式的問(wèn)題，在復(fù)習(xí)舊知的同時(shí)引出非對(duì)稱(chēng)式的問(wèn)題.通過(guò)層層引導(dǎo)，得出解決該類(lèi)問(wèn)題的主要方法是化非對(duì)稱(chēng)式為對(duì)稱(chēng)式，并強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化過(guò)程中得注意主變量的選取，最終利用韋達(dá)定理得以解決.當(dāng)然解決該類(lèi)問(wèn)題的方法很多，通過(guò)練習(xí)也發(fā)現(xiàn)該方法并不是萬(wàn)能的，得看具體情況選取解決方法.最后提出的三個(gè)思考題也是非對(duì)稱(chēng)式問(wèn)題，其背景是極點(diǎn)極線理論，是否以該理論為背景的題較多會(huì)出現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)目標(biāo)式有待我們進(jìn)一步挖掘.另外，雙曲線和拋物線中也有類(lèi)似的非對(duì)稱(chēng)式問(wèn)題，針對(duì)不同圓錐曲線類(lèi)型，是否還有其他處理方法，有待我們進(jìn)一步探究.