無網(wǎng)格法在土質(zhì)邊坡穩(wěn)定工程中的應(yīng)用

臧 貽 甜

(山東省濰坊基礎(chǔ)工程公司，山東 濰坊 261061)

1 概述

滑坡是一種常見的地質(zhì)災(zāi)害，給工程建設(shè)帶來巨大損失。目前，再現(xiàn)巖土工程力學(xué)行為的手段有兩種，即實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬。針對(duì)土質(zhì)邊坡穩(wěn)定的平面應(yīng)變問題，常利用數(shù)值模擬法，即假設(shè)工程土性質(zhì)符合Drucker-Prager本構(gòu)關(guān)系，基于相關(guān)流動(dòng)法則，采用強(qiáng)度折減系數(shù)法得到土質(zhì)邊坡在自重作用下的安全系數(shù)。文章基于無網(wǎng)格法編制了計(jì)算程序，結(jié)合工程實(shí)際并與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明采用無網(wǎng)格法能克服數(shù)值計(jì)算中網(wǎng)格畸變問題，適于解決土質(zhì)邊坡穩(wěn)定問題。

2 無網(wǎng)格法簡(jiǎn)介

無網(wǎng)格法的近似函數(shù)不依賴于網(wǎng)格，而是采用基于點(diǎn)的近似函數(shù)。所以在解決邊坡穩(wěn)定等可能引起網(wǎng)格拓?fù)潢P(guān)系的問題上比有限元法方便實(shí)用。無網(wǎng)格法的這種性質(zhì)使得為了得到離散的代數(shù)方程組僅需要對(duì)節(jié)點(diǎn)和邊界條件進(jìn)行描述即可，從而避免了大量的單元網(wǎng)格劃分工作，并且克服了有限元法中由于場(chǎng)函數(shù)的局部化近似所引起的誤差。文章研究了利用伽遼金無網(wǎng)格法計(jì)算土質(zhì)邊坡穩(wěn)定問題，其基本函數(shù)如下。

移動(dòng)最小二乘法是用加權(quán)最小二乘法來近似場(chǎng)函數(shù)的一種方法。從數(shù)學(xué)理論上講，最小二乘法描述的是函數(shù)逼近問題，即最小二乘逼近。

設(shè)函數(shù)u(x)在域Ω中的N個(gè)節(jié)點(diǎn)xI(I=1,2,…,N)處的值uI=u(xI)是已知的，u(x)的全局近似函數(shù)為uh(x)，則u(x)在高斯點(diǎn)的鄰域Ωx內(nèi)可以局部近似為：

(1)

a(x)=[a1(x),a2(x),…,am(x)]T,ai(x)是待定系數(shù)。

3 無網(wǎng)格法的彈塑性理論

3.1 屈服準(zhǔn)則

Drucker-Prager屈服條件的表達(dá)式為:

(2)

其中，α，k均為正常數(shù)。

平面應(yīng)變問題:

(3)

其中，c為黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角。

3.2 加載和卸載準(zhǔn)則

理想彈塑性材料[1]不發(fā)生強(qiáng)化，其屈服面的大小和形狀不隨內(nèi)變量的發(fā)展而變化。其表達(dá)式為：

(4)

3.3 彈塑性本構(gòu)矩陣的一般表達(dá)式

屈服條件用式(5)表示:

F(σij,K)=0

(5)

其中，σij為應(yīng)力狀態(tài)；K為硬化函數(shù)。

應(yīng)用增量理論，彈性增量和塑性增量為：

d[ε]=d[ε]e+d[ε]p

(6)

其中，彈性應(yīng)變部分與應(yīng)力增量之間的關(guān)系服從胡克定律，即:

d[σ]=[D]d[ε]e

(7)

其中,[D]為彈性矩陣。

應(yīng)用流動(dòng)法得增量理論的彈塑性矩陣通式：

(8)

(9)

4 無網(wǎng)格法的程序?qū)崿F(xiàn)

4.1 離散化方法

依據(jù)Belytschko等[3]的研究理論，把規(guī)則網(wǎng)格對(duì)域Ω的積分轉(zhuǎn)化為對(duì)各規(guī)則格子(cell)的積分之和，然后再在每個(gè)規(guī)則格子中使用高斯積分，如圖1所示。

4.2 數(shù)值積分

將計(jì)算區(qū)域劃分為若干規(guī)則網(wǎng)格，在每一個(gè)子域上采用高斯積分。如圖2所示，計(jì)算域Ω為圖中實(shí)線所包圍區(qū)域，圖中各空心圓為節(jié)點(diǎn)，可采取規(guī)則布置或不規(guī)則布置。

5 土質(zhì)邊坡穩(wěn)定計(jì)算

為驗(yàn)證無網(wǎng)格法解決土質(zhì)邊坡穩(wěn)定問題的有效性，并與工程實(shí)踐相結(jié)合，現(xiàn)以濰坊青州市民兵訓(xùn)練基地打靶場(chǎng)護(hù)坡工程為例進(jìn)行驗(yàn)算，并與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。該項(xiàng)目位于青州市彌河鎮(zhèn)大馬山東北，赤澗村正西，現(xiàn)場(chǎng)地形為坡度約1∶7的土質(zhì)邊坡，場(chǎng)地尺寸約為30 m×140 m，最大挖深約20 m，周圍50 m范圍內(nèi)無建筑物和構(gòu)筑物，擬采用1∶1放坡后噴錨支護(hù)方式，放坡后尺寸約80 m×160 m，不考慮地下水和地震對(duì)邊坡穩(wěn)定的影響。根據(jù)巖土工程勘察報(bào)告，其巖土基本參數(shù)為：土容重γ=19 kN/m3，粘聚力c=42 kPa，內(nèi)摩擦角φ=17°。

如圖3所示，根據(jù)平面應(yīng)變建立計(jì)算模型(β=45°)，邊界條件為左右兩側(cè)水平約束，下部固定，上部為自由邊界，采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則計(jì)算。

計(jì)算域內(nèi)采用非均勻節(jié)點(diǎn)布置，在預(yù)期滑裂面周圍適當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。采用21×8個(gè)積分背景網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格布置4個(gè)高斯積分點(diǎn)(2×2高斯積分)，其網(wǎng)格劃分見圖4。

為檢驗(yàn)土體的變形模量和泊松比對(duì)土坡穩(wěn)定安全系數(shù)影響，文章計(jì)算了有限元強(qiáng)度折減法與無網(wǎng)格法在不同土體變形模量和泊松比條件下的解。從表1，表2的計(jì)算結(jié)果可以看出土體的變形模量和泊松比對(duì)土坡安全系數(shù)的影響是非常小的，并且有限元解與無網(wǎng)格解是非常吻合的。

表3為有限元解和無網(wǎng)格法的計(jì)算結(jié)果，從表3中數(shù)值可以看到無網(wǎng)格法計(jì)算的結(jié)果是非常精確的。因此，利用無網(wǎng)格法求解土質(zhì)邊坡穩(wěn)定問題是有效的。

表1 不同變形模量計(jì)算的最小安全系數(shù)

表2 不同泊松比計(jì)算的最小安全系數(shù)

表3 不同坡腳計(jì)算的最小安全系數(shù)

圖5為該邊坡有限元(ANSYS)計(jì)算收斂(泊松比v=0.3)時(shí)的塑性區(qū)分布，圖6為無網(wǎng)格法計(jì)算的滑裂面形狀，可以看出有限元法與無網(wǎng)格法所計(jì)算出的滑裂面的位置是非常接近的。

該工程通過利用無網(wǎng)格法確定了土質(zhì)邊坡破裂面的位置，為邊坡支護(hù)設(shè)計(jì)提供了強(qiáng)有力的數(shù)據(jù)支撐。

6 結(jié)語

與有限元法相比，無網(wǎng)格法不需要?jiǎng)澐謫卧?，只需布置?jié)點(diǎn)，特別適合于彈塑性等大變形問題的分析。文章計(jì)算了土質(zhì)邊坡穩(wěn)定的安全系數(shù)，數(shù)值結(jié)果表明采用無網(wǎng)格法求解土質(zhì)邊坡穩(wěn)定問題是有效的。