基于結(jié)構(gòu)反轉(zhuǎn)二維光子晶體的拓?fù)湎嘧兗巴負(fù)溥吔鐟B(tài)的構(gòu)建*

方云團(tuán) 王張鑫 范爾盼 李小雪 王洪金

(江蘇大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與通信工程學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212013)

構(gòu)建了二維六角蜂窩晶格的兩種結(jié)構(gòu), 讓散射體和基體材料反轉(zhuǎn). 由于特有的點群對稱, 該晶格在布里淵區(qū)中心具有類比電子體系的p 軌道和d 軌道. 在散射體和基體反轉(zhuǎn)的兩種結(jié)構(gòu)中, p 軌道和d 軌道也直接實現(xiàn)了反轉(zhuǎn). 定量分析了產(chǎn)生軌道反轉(zhuǎn)的原因來自于低頻局域共振產(chǎn)生空氣帶和介質(zhì)帶的反轉(zhuǎn). 通過p 軌道和d 軌道的宇稱特性, 構(gòu)建了類比電子體系量子自旋霍爾效應(yīng)的贗自旋態(tài). 通過G 點處有效哈密頓量的分析,揭示軌道反轉(zhuǎn)導(dǎo)致的拓?fù)湎嘧? 通過結(jié)構(gòu)的優(yōu)化, 構(gòu)建了基于贗自旋的拓?fù)溥吔鐟B(tài). 電磁波仿真模擬和能流矢量分析證明了結(jié)構(gòu)具有電子體系量子自旋霍爾效應(yīng)的特性, 即自旋與傳播方向鎖定和拓?fù)浔Ｗo(hù). 結(jié)果也證明經(jīng)典波量子自旋霍爾效應(yīng)的實現(xiàn)可以不經(jīng)歷帶隙關(guān)閉的過程. 與同類型的研究相比較, 本文的結(jié)構(gòu)不需要晶格的縮放, 具有設(shè)計簡單、帶隙寬和邊界態(tài)局域性較強(qiáng)的特點.

1 引 言

量子霍爾效應(yīng)和量子自旋霍爾效應(yīng)開啟了凝聚態(tài)物理中一個新的研究方向—拓?fù)浣^緣體. 拓?fù)浣^緣體成功地把數(shù)學(xué)中抽象的拓?fù)涓拍钜氲矫枋鼋Y(jié)構(gòu)量子化的電導(dǎo)率中. 拓?fù)浣^緣體基本特征是體絕緣, 表面導(dǎo)電, 更重要的是其單向?qū)щ娗揖哂锌朔诚蛏⑸涞墓δ? 這有望解決未來芯片熱效應(yīng)的難題[1?4]. 量子霍爾效應(yīng)建立在時間反演對稱破缺的基礎(chǔ)上, 拓?fù)淞坑烧麛?shù)第一陳數(shù)來描述, 一般通過外加磁場來實現(xiàn). 量子自旋霍爾效應(yīng)建立在時間反演對稱的基礎(chǔ)上, 此時第一陳數(shù)為0, 需用新的拓?fù)淞孔訑?shù)Z2拓?fù)鋽?shù)或自旋陳數(shù)來描述[5,6].相對來說, 由于不需要外加磁場, 量子自旋霍爾效應(yīng)更具有獨特的應(yīng)用價值. 但所有電子體系的拓?fù)浣^緣體在實驗實現(xiàn)上都非常困難, 例如量子霍爾效應(yīng)需要在低溫和強(qiáng)磁場中才能實現(xiàn), 給實際應(yīng)用帶來不便. 量子自旋霍爾效應(yīng)建立在電子自旋和軌道角動量的耦合從而產(chǎn)生能帶反轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上, 直到2007 年才在HgTe 量子阱實驗體系中實現(xiàn)出來.

光子晶體是半導(dǎo)體量子理論在經(jīng)典波領(lǐng)域的類比. 光子晶體具有更易制備的平臺、更易于調(diào)控的能帶結(jié)構(gòu). 人工周期的能帶結(jié)構(gòu)同樣能夠?qū)崿F(xiàn)電子能帶的拓?fù)湫再|(zhì). 因此, 伴隨拓?fù)浣^緣體的理論,拓?fù)涔庾訉W(xué)的理論也得到很快的發(fā)展[7?14]. 除了揭示和驗證拓?fù)浣^緣體的相關(guān)理論, 拓?fù)涔庾訉W(xué)在光通信領(lǐng)域也發(fā)揮獨特的作用.

量子自旋霍爾效應(yīng)基于成對出現(xiàn)的受到時間反演對稱性保護(hù)的魯棒拓?fù)溥吔鐟B(tài), 其關(guān)鍵是實現(xiàn)邊界態(tài)在能隙中的簡并, 即Kramers 簡并. 電子作為費米子, 具有成對的“自旋”這個內(nèi)稟屬性, 其時間反演對稱性正好滿足這一簡并條件. 光作為玻色系統(tǒng), 其時間反演對稱性與作為費米子的電子有本質(zhì)的不同, 是無法直接構(gòu)造Kramers 簡并的. 于是研究者構(gòu)造各種光學(xué)贗自旋態(tài)來類比電子的自旋對. Khanikaev 等[15]通過雙各向異性介質(zhì)構(gòu)造六角晶格, 并采用在高對稱點附近的TE + TE/TE – TM 線偏振作為贗自旋態(tài); He 等[16]在理論上提出了一種基于壓電/壓磁超晶格構(gòu)成的光拓?fù)浣^緣體模型, 其采用四方晶格, 以旋光LCP/RCP構(gòu)造贗自旋對. Guo 等[17]利用兩種單負(fù)超材料把橫電波和橫磁波相結(jié)合構(gòu)建了簡并的自旋態(tài), 并在實驗上觀察到光量子自旋霍爾效應(yīng). Bisharat 等[18]利用同樣的方法使用反轉(zhuǎn)的超材料金屬表面晶格構(gòu)造了簡并的自旋態(tài), 其基于表面波的拓?fù)溥吔鐟B(tài)被限制在一維方向. 2015 年, Wu 和Hu[19]通過復(fù)式六方晶格中的C6對稱性在各向同性介質(zhì)材料中構(gòu)造出光量子自旋霍爾態(tài), 其贗時間反演對稱性來自晶格的對稱性. 他們利用能帶的折疊, 將本來處于布里淵區(qū)邊界點的Dirac 簡并折疊至布里淵區(qū)中心G點, 從而形成雙重Dirac 點. 又通過拉伸和壓縮晶格實現(xiàn)了p 軌道和d 軌道的能帶反轉(zhuǎn). 在簡并破缺后的體能帶能隙中, 觀測到贗自旋的魯棒邊界態(tài). 該設(shè)計的優(yōu)點是利用純介質(zhì)光子晶體構(gòu)造光拓?fù)浣^緣體, 這種不需要外加磁場的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更具有實際應(yīng)用價值. 文獻(xiàn)[20]利用通過設(shè)計六角晶格LC 電路系統(tǒng)構(gòu)造類比實現(xiàn)了基于軌道反轉(zhuǎn)的拓?fù)涔庾討B(tài). 之后研究者在此基礎(chǔ)上展開了系列研究[21?29], 雖然模型種類和方法很多, 但都包含兩個要素: 其一, 能帶要有2 個雙重簡并點, 分別產(chǎn)生贗自旋的p 軌道和d 軌道; 其二, 要通過晶胞的縮放變形, 實現(xiàn)p 軌道和d 軌道的反轉(zhuǎn). 但由于需要能帶的折疊, 晶胞單元的設(shè)計比較復(fù)雜, 依靠晶胞形變必須經(jīng)歷從帶隙打開到關(guān)閉再重新打開的過程, 晶胞的形變是有限的, 這樣導(dǎo)致帶隙寬度非常有限, 拓?fù)溥吔鐟B(tài)的局域效應(yīng)也不強(qiáng). 因此, 尋找新的機(jī)制獲得軌道反轉(zhuǎn)和拓?fù)湎嘧兙途哂蟹浅Ｖ匾囊饬x. 本文在六角蜂窩晶格的基礎(chǔ)上通過結(jié)構(gòu)材料的反轉(zhuǎn)實現(xiàn)拓?fù)湎嘧? 并在此基礎(chǔ)上通過優(yōu)化結(jié)構(gòu), 實現(xiàn)自旋方向鎖定的拓?fù)溥吔鐟B(tài), 即光量子自旋霍爾效應(yīng), 它具有帶寬大、邊界態(tài)局域效應(yīng)明顯、模型結(jié)構(gòu)簡單的特點.

2 結(jié)構(gòu)模型設(shè)計和能帶的反轉(zhuǎn)

根據(jù)光量子自旋霍爾效應(yīng)的設(shè)計要素, 要產(chǎn)生贗自旋的p 軌道和d 軌道, 需要能帶的二重簡并.因為屬于C6對稱點群的晶格有兩個二維不可約表象E1和E2, 分別對應(yīng)能帶的二重簡并點, 因此本文考慮一個六角蜂窩晶格, 如圖1 所示. 該晶格是一個三角晶格的復(fù)式格子, 每個格點是兩個等價的圓柱形散射體位于基體材料中. 在圖1(a)中, 白色空氣柱是散射體, 綠色是基體介質(zhì); 在圖1(b)中,綠色介質(zhì)柱是散射體, 白色基體是空氣. 圖1(a)和圖1(b)的晶格是一樣的, 但散射體和基體材料正好反轉(zhuǎn). 為表示方便, 以散射體英文首字母命名圖1(a)為A 型結(jié)構(gòu), 圖1(b)為D 型結(jié)構(gòu). 六邊形是晶格原胞, 其中晶格基矢為a2=ai,a為晶格常數(shù), 原胞邊長為兩種結(jié)構(gòu)散射體半徑均為a0/3. 圖1(c)是計算能帶依據(jù)的簡約布里淵區(qū),G,K和M是簡約布里淵區(qū)3 個高對稱點.

圖1 六角蜂窩晶格結(jié)構(gòu)模型(六邊形是原胞, a1 和a2 是晶格基矢) (a) A 型結(jié)構(gòu), 散射體是空氣柱, 基體是介質(zhì);(b) D 型結(jié)構(gòu), 散射體是介質(zhì)柱, 基體是空氣; (c) 晶格第一布里淵區(qū)Fig. 1. Schematic of hexagonal honeycomb lattice (the hexagon is the unit cell, and a1 and a2 are the basic vectors of lattice): (a) The scatterer and matrix are air rods and dielectric, respectively; (b) the scatterer and matrix are dielectric rods and air, respectively; (c) the first Brillouin zone.

在上述晶格的基礎(chǔ)上, 應(yīng)用基于有限元方法的Comsol 軟件進(jìn)行能帶的計算. 考慮E極化電磁波(電場Ez分量, 磁場Hx和Hy分量), 介質(zhì)介電常數(shù)為11.7, 掃描方向為M-G-K, 結(jié)果如圖2 所示. 圖2(a)對應(yīng)A 型的晶格, 在G點出現(xiàn)2 個能帶簡并點. 2 個簡并點的Ez模場特征分別類比于量子力學(xué)電子波函數(shù)的p 軌道和d 軌道[19]. 正三角晶格具有C6對稱性的晶格結(jié)構(gòu), 在G點的本征態(tài)有2 個二維不可約表示:E1和E2. 不可約表示E1對應(yīng)二重簡并的偶極子態(tài), 如圖2 中2 個p 軌道: px和py, 具有奇宇稱; 不可約表示E2對應(yīng)二重簡并的四極子態(tài), 如圖2 中2 個d 軌道: dx2?y2和d2xy, 具有偶宇稱. 當(dāng)前情況下, d 軌道的頻率比p 軌道頻率大, 對應(yīng)的帶隙是拓?fù)淦接沟膸?圖2(b)對應(yīng)D 型的晶格, 在G點也出現(xiàn)2 個能帶簡并點. 根據(jù)簡并點的Ez模場特征, 它們也分別類比于量子力學(xué)電子波函數(shù)的p 軌道和d 軌道. 同樣根據(jù)正三角晶格的點群特性, 在G點的本征態(tài)同樣有2 個二維不可約表示:E1和E2. 不同于圖2(a)的是, 不可約表示E1對應(yīng)二重簡并的四極子態(tài),如圖2(b)中2 個d 軌道: dx2?y2和d2xy, 具有偶宇稱; 不可約表示E2對應(yīng)二重簡并的偶極子態(tài), 如圖2(b)中2 個p 軌道: px和py, 具有奇宇稱. 在圖2(b)中, d 軌道的頻率比p 軌道頻率小, 與圖2(a)比較, 能帶軌道被反轉(zhuǎn), 對應(yīng)的帶隙是拓?fù)浞瞧接沟? 這里的軌道反轉(zhuǎn)的機(jī)制與文獻(xiàn)[19]及其他類似的文獻(xiàn)不同. 通過晶格原胞的連續(xù)變形來實現(xiàn)軌道反轉(zhuǎn)都要經(jīng)歷一個帶隙關(guān)閉產(chǎn)生雙重狄拉克點的過程. 目前情況下, 軌道反轉(zhuǎn)直接在兩種結(jié)構(gòu)材料反轉(zhuǎn)的晶格中實現(xiàn), 沒有了帶隙關(guān)閉再打開的過程, 是實現(xiàn)基于光量子霍爾效應(yīng)拓?fù)湎嘧冇忠环N途徑. 本文和文獻(xiàn)[18]都是通過結(jié)構(gòu)材料的反轉(zhuǎn)實現(xiàn)了拓?fù)湎嘧? 但文獻(xiàn)[18]是基于金屬超材料的設(shè)計, 本文是基于光子晶體結(jié)構(gòu). 另外本文設(shè)計的是一種全介質(zhì)結(jié)構(gòu), 工作頻段取決于晶格常數(shù), 不受材料性質(zhì)的限制, 是可以從微波擴(kuò)展到光波. 文獻(xiàn)[21]同樣利用兩個反轉(zhuǎn)的二維正方格子光子晶體構(gòu)造邊界態(tài), 但需要用Zak 相位描述能帶的拓?fù)湫再|(zhì). 另外由于結(jié)構(gòu)是C4點群對稱, 無法構(gòu)建光量子自旋霍爾效應(yīng)的拓?fù)溥吔鐟B(tài).

根據(jù)圖2 模場分布的宇稱可判斷軌道的類型和反轉(zhuǎn). 根據(jù)電磁變分原理, 電場能量越集中于高介電常數(shù)分布區(qū)域, 模式的頻率越低[30]. 一般情況下, 對于低帶隙的兩個邊帶, 下邊帶的電場能量集中在高介電常數(shù)區(qū)域, 被稱為“介質(zhì)帶”, 相當(dāng)于電子的價帶; 上邊帶的電場能量有相當(dāng)一部分進(jìn)入低介電常數(shù)區(qū)域, 被稱為“空氣帶”, 相當(dāng)于電子的導(dǎo)帶[30]. 光子晶體帶隙的形成主要是Bragg 散射產(chǎn)生的干涉效應(yīng). 但在低頻帶隙, 局域共振也發(fā)揮一定的作用[31,32]. 在本文的六角蜂窩晶格中, 由于介質(zhì)柱距離較近, 每個原胞在波長大于介質(zhì)柱間距的情況下容易形成局域共振, 局域共振的結(jié)果使基體介質(zhì)的電場能量增大. 對A 型結(jié)構(gòu), 由于基體是介質(zhì), 局域共振的結(jié)果使下邊帶電磁能量更集中于介質(zhì), 能帶沒有反轉(zhuǎn). 對D 型結(jié)構(gòu), 由于基體是空氣,局域共振使基體空氣積累了較多的電場能量, 導(dǎo)致低頻的下邊帶變成空氣帶, 而上邊帶, 由于頻率增加, 局域共振變?nèi)? 變成介質(zhì)帶, 介質(zhì)帶和空氣帶出現(xiàn)反轉(zhuǎn), 從而導(dǎo)致圖2 中d 軌道和p 軌道交換了位置, 出現(xiàn)軌道反轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

圖2 兩種結(jié)構(gòu)的能帶和在G 點的p 軌道和d 軌道 (a) A型結(jié)構(gòu); (b) D 型結(jié)構(gòu)Fig. 2. Band structures of the hexagonal honeycomb lattices, and the orbitals of p and d: (a) Type A; (b) type D.

為了驗證上述分析, 分別輸出G點兩軌道在空氣和介質(zhì)區(qū)域的電場Ez的分布數(shù)據(jù). 根據(jù)公式求出每點的電場能量密度, 再對各區(qū)域求平均, 得到空氣和介質(zhì)區(qū)域電場平均能量密度和, 它們的比值反映電場能量分布的變化. 表1 是針對圖1 兩種結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果. 對A 型結(jié)構(gòu), p 軌道為下邊帶, 其值小于上邊帶d 軌道的, 所以下邊帶是介質(zhì)帶, 上邊帶是空氣帶,符合一般情況, 沒有能帶反轉(zhuǎn). 而對于D 型結(jié)構(gòu),p 軌道變?yōu)樯线厧? 但小于下邊帶d 軌道的, 因此上邊帶變成介質(zhì)帶, 下邊帶變成空氣帶,能帶確實發(fā)生了反轉(zhuǎn).

表1 電場能量密度在兩種類型結(jié)構(gòu)的分布Table 1. Distribution of electric field energy density in two structures.

為了驗證結(jié)構(gòu)的反轉(zhuǎn)導(dǎo)致拓?fù)湎嘧兪遣皇切枰囟ǖ慕Y(jié)構(gòu)參數(shù), 通過散射體和基體材料介電常數(shù)的相對連續(xù)的變化來觀察軌道的變化. 研究中散射體半徑設(shè)為a0/2, 記錄在G點處p 軌道和d 軌道的頻率隨散射體介電常數(shù)εs和基體材料介電常數(shù)εm之差的變化, 初始值為εs= 1,εm=11.7. 結(jié)果如圖3 所示. 在εs–εm< 0 的區(qū)間能帶沒有反轉(zhuǎn), 屬于拓?fù)淦接瓜? 在εs–εm> 0 的區(qū)間能帶反轉(zhuǎn), 屬于拓?fù)浞瞧接瓜? 對應(yīng)任何εs–εm互為相反數(shù)的位置, 結(jié)構(gòu)是反轉(zhuǎn)的.

圖3 p 軌道和d 軌道的頻率隨散射體材料介電常數(shù) εs 和基體體材料介電常數(shù) ε m 之差的變化Fig. 3. Frequency positions of p and d orbits with the differences of εs and ε m .

但軌道反轉(zhuǎn)并不是實現(xiàn)光量子霍爾效應(yīng)的充分條件, 光量子霍爾效應(yīng)是建立在邊界態(tài)的基礎(chǔ)上, 還需要拓?fù)浞瞧接菇Y(jié)構(gòu)和拓?fù)淦接菇Y(jié)構(gòu)存在公共帶隙, 這樣在它們連接的邊界上才能形成邊界模式. 在圖2 中, 兩帶隙沒有相交, 在圖3 中, 雖然在G處存在共同的帶隙, 但形成邊界態(tài)要在整個截斷方向的波矢都存在公共帶隙, 上述結(jié)構(gòu)都不具備這樣的條件, 無法形成邊界模式.

研究發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)構(gòu)的帶隙寬度會隨著散射體半徑的增大而變大, 但帶隙位置不一致. 受文獻(xiàn)[22, 23]的啟發(fā), 圓環(huán)結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)能顯著改善帶隙屬性. 為了得到盡可能大的公共帶隙, 把圖1(b)的介質(zhì)柱變成空心的圓環(huán), 經(jīng)驗證, 這樣內(nèi)環(huán)半徑的改變不影響帶隙寬度, 但可以改變帶隙的位置.通過優(yōu)化, 圖1(a)空氣柱半徑為a0/2, 圖1(b)介質(zhì)柱外環(huán)半徑為a0/2, 內(nèi)環(huán)半徑為a0/3. 兩種周期結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)如圖4 所示, 圖4(a)對應(yīng)A 型結(jié)構(gòu), 圖4(b)對應(yīng)D 型結(jié)構(gòu), D 型結(jié)構(gòu)在G點處實現(xiàn)能帶軌道的反轉(zhuǎn). 在圖4(a)中兩軌道之間摻雜一條能帶, 公共帶隙上邊應(yīng)該是該能帶的最低點, 測得公共頻率帶隙范圍為0.43(2πc/a)—0.49(2πc/a), 如圖中陰影部分所示, 相對帶寬13% (ωc是帶隙中間頻率).

圖4 優(yōu)化后兩種結(jié)構(gòu)的能帶以及p 軌道和d 軌道的位置(a) A 型結(jié)構(gòu); (b) D 型結(jié)構(gòu)Fig. 4. Band structures of the optimized lattices, and the orbitals of p and d: (a) Type A; (b) type D.

3 基于贗自旋拓?fù)湎嗟睦碚摲治?/h2>

在光學(xué)系統(tǒng)中實現(xiàn)自旋霍爾效應(yīng)的關(guān)鍵是建立受時間反轉(zhuǎn)對稱保護(hù)的光學(xué)贗自旋態(tài). 根據(jù)Wu等[19]在對稱群基礎(chǔ)上構(gòu)建的光量子自旋霍爾效應(yīng)的理論, 在二維不可約表象E1和E2中重新構(gòu)造基函數(shù)[p+,p–]和[d+,d–], 其中p±=(px±ipy)/,d±=(dx2?y2±id2xy)/, 得到贗時間反演算符T=UK, 其中U=iσy是一個反幺正算符,K是一個復(fù)共軛算符. 在T算符的作用下[p+,p–]具有如下的變換:

此時T算符的作用完全類似于電子系統(tǒng)中真實的時間反演算符. 根據(jù)麥克斯韋方程, 可以由基函數(shù)對應(yīng)的Ez場p±求出對應(yīng)的磁場. 具體過程如下:

從(3)式可以看出, 基函數(shù)p±對應(yīng)的磁場是2 個旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化偏振, 分別對應(yīng)電子自旋向上和向下態(tài); 同樣地, 基函數(shù)d+和d–也分別對應(yīng)電子自旋向上和向下態(tài), 稱贗自旋態(tài). 根據(jù)k·p微擾理論[19], 在G點兩個二重簡并的本征態(tài)分別表示為Γ1=px=|x〉,Γ2=py=|y〉 ,Γ3=dx2?y2=. 在上述四個基矢下系統(tǒng)有效哈密頓量表示為

其 中Mij=?Γi|k·p|Γj〉是不同基矢Γi和Γj的 交 疊積分. 如果進(jìn)行基矢變換, 在新的基矢空間p±和d±下, 系統(tǒng)的有效哈密頓量重寫為

(6)式的結(jié)果取決于MB的值. 如果MB< 0,對應(yīng)拓?fù)淦接瓜? 如果MB> 0, 對應(yīng)拓?fù)浞瞧接瓜? 正常情況下,εp<εd,M> 0,MB< 0,Cs=0, 對應(yīng)拓?fù)淦接? 反轉(zhuǎn)情況下,εp>εd,M< 0,MB> 0,Cs=±1 , 對應(yīng)拓?fù)浞瞧接箲B(tài). 圖4 中C+和C–分別代表自旋反向的兩個簡并態(tài)的自旋陳數(shù). 在本文研究的系統(tǒng)中, 通過散射體和基體材料的反轉(zhuǎn), 出現(xiàn)軌道的反轉(zhuǎn), 為實現(xiàn)光量子霍爾效應(yīng)創(chuàng)造了條件. 當(dāng)拓?fù)浞瞧接箲B(tài)結(jié)構(gòu)與拓?fù)淦接箲B(tài)結(jié)構(gòu)相接構(gòu)成邊界, 如果兩個結(jié)構(gòu)存在公共帶隙, 在帶隙里面就會形成類似量子電子霍爾效應(yīng)的螺旋邊界態(tài).

4 贗自旋霍爾效應(yīng)邊界態(tài)的構(gòu)建

4.1 超胞及邊界態(tài)模式分析

圖5 邊界態(tài)的構(gòu)建與分析 (a) 超胞; (b) 超胞的帶結(jié)構(gòu);(c) 模式分析; 圖(c)給出圖(b)邊界態(tài)A 和B 兩點在拓?fù)浞瞧接箤?中間層)左、右兩側(cè)邊界激發(fā)的模場Ez 和邊界靠非平庸層一側(cè)的能流矢量, 它們分別對應(yīng)不同旋轉(zhuǎn)方向的贗自旋, 分別用旋轉(zhuǎn)箭頭表示; 由于邊界處能流矢量比渦旋處能流矢量大很多, 為了看清矢量旋轉(zhuǎn)方向, 將矢量圖的位置向非平庸層方向進(jìn)行了適當(dāng)?shù)钠xFig. 5. Construction and analysis of the edge states: (a) Supercell; (b) bands of the supercell; (c) mode analysis. The mode field Ez of the energy flow vectors of points A and B in (c) reveal the pseudo spins at the two edges of the middle non-trivial layer in (a). Because the energy flow vectors at the edge are much larger than those in the vortex,we move the vector plots to the non-trivial layer for a proper distance.

在圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上, 構(gòu)建三明治結(jié)構(gòu)的超胞, 如圖5(a)所示. 中間D 型結(jié)構(gòu)層屬拓?fù)浞瞧接瓜? 兩邊A 型結(jié)構(gòu)層屬拓?fù)淦接瓜? 超胞產(chǎn)生的投影能帶如圖5(b)所示, 波矢掃描方向為G-K方向. 此帶隙位置和圖4 公共帶隙基本一致, 相對帶隙寬度 ?ω/ωc= 13%. 與用晶胞縮放產(chǎn)生的帶隙寬度相比較, 具有明顯的優(yōu)勢. 例如, 從文獻(xiàn)[19]估算出相對帶隙寬度 ?ω/ωc= 6.3%. 在文獻(xiàn)[28]中, 形成邊界態(tài)的兩個光子晶體的公共帶隙頻率從7.40 GHz到7.56 GHz, 相對帶隙寬度為2.14%.文獻(xiàn)[36]是通過晶胞中心介質(zhì)柱半徑的變化產(chǎn)生贗自旋邊界態(tài), 其頻率帶隙更小, 大約為0.00021c/a.較大的帶隙寬度能保證邊界態(tài)有較好的局域性, 提高邊界態(tài)的傳輸性能. 圖5(b)帶隙中的兩條粗(紅)線屬于邊界態(tài)色散曲線, 上面兩點A和B對應(yīng)kx=?0.1 ( 2π/a) . 值得注意的是, 曲線上每一點對應(yīng)二重簡并, 是受時間反轉(zhuǎn)對稱保護(hù)的贗自旋順時針和贗自旋逆時針的兩個態(tài), 分別屬于D 型結(jié)構(gòu)層左右不同的邊界. 在圖5(c)中, 畫出了點A和B對應(yīng)的模場Ez的分布以及界面處的能流密度矢量, 左側(cè)圖形對應(yīng)超胞左邊界, 右側(cè)圖形對應(yīng)超胞右邊界. 可以看出, 模場完全局域在兩種結(jié)構(gòu)的界面處. 從放大的能流矢量可以看出, 能流矢量渦旋不在邊界, 而是偏向非平庸層一側(cè). 從能流的旋轉(zhuǎn)方向看, 點A在拓?fù)浞瞧接箤拥淖筮吔缡琼槙r針贗自旋, 右邊界是逆時針贗自旋; 點B相反,在拓?fù)浞瞧接箤拥淖筮吔缡悄鏁r針贗自旋, 右邊界是順時針贗自旋. 對下面的帶也可作同樣的分析,不過在同一波矢處, 上下帶模式點的贗自旋方向正好相反. 這樣在每個邊界上(不管是左側(cè)邊界跡是右側(cè)邊界), 都存在2 個邊界態(tài), 每個邊界態(tài)對應(yīng)一個特定的贗自旋, 且方向被鎖定, 因此, 這種邊界態(tài)是手性的. 由于受時間反轉(zhuǎn)對稱的保護(hù), 在同一邊界, 兩個相反贗自旋的邊界態(tài)彼此正交, 因此后向的散射被禁止, 邊界態(tài)具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的性能.

4.2 拓?fù)溥吔鐟B(tài)傳輸

上述拓?fù)溥吔鐟B(tài)的性質(zhì)可以通過Comsol 軟件電磁波頻域模擬來驗證. 構(gòu)建圖6 兩種結(jié)構(gòu)的邊界模型, 上半空間是拓?fù)浞瞧接菇Y(jié)構(gòu), 下半空間是拓?fù)淦接菇Y(jié)構(gòu), 對應(yīng)圖5 超胞右側(cè)邊界, 四周為散射邊界條件. 在邊界中間設(shè)置贗自旋源(白色六角星), 頻率分別為0.476 ( 2πc/a) 和0.437( 2 πc/a), 分別位于圖5(b)中AB和CD所在的位置, 記錄歸一化電場Ez幅度的分布. 根據(jù)圖5(c)右邊界模場的自旋方向, 在圖6(a)中, 逆時針自旋源只能激發(fā)模式A, 邊界態(tài)被鎖向–k方向(A點群速度為負(fù)),向左傳輸; 在圖6(b)中, 順時針自旋源只能激發(fā)模式B, 邊界態(tài)被鎖向+k方向(群速度為正), 向右傳輸. 在圖6(c)中, 贗自旋源方向與圖6(a)相同, 激發(fā)模式D, 邊界態(tài)也是向左傳輸; 在圖6(d)中, 贗自旋源方向與圖6(b)相同, 激發(fā)模式C, 邊界態(tài)向右傳輸. 插圖顯示介質(zhì)柱內(nèi)能流的旋轉(zhuǎn)方向, 與贗自旋源方向一致, 證明傳播方向與自旋方向鎖定的關(guān)系. 因此在同一邊界看自旋方向, 模式A 和D、模式B 和C 同向; 而模式A 和B、模式C 和D 反向. 從能流矢量和場的分布可以看出, 此處邊界態(tài)具有較強(qiáng)的局域性, 電場幅度向邊界兩側(cè)延伸很少, 這也是該結(jié)構(gòu)拓?fù)溥吔鐟B(tài)的優(yōu)越性.

圖6 贗自旋源(白色六角星)激發(fā)的電磁波邊界態(tài)傳輸 (a) 頻率位置為AB, 逆時針自旋; (b) 頻率位置為AB, 順時針自旋;(c) 頻率位置為CD, 逆時針自旋; (d) 頻率位置為CD, 順時針自旋Fig. 6. Edge state transmission of electromagnetic wave excited by pseudospin source (white hexagon star): (a) Frequency position at AB and counterclockwise spin; (b) frequency position at AB and clockwise spin; (c) frequency position at CD and counterclockwise spin; (d) frequency position at CD and clockwise spin.

圖7 拓?fù)溥吔鐟B(tài)魯棒性的驗證, 白色六角星為贗自旋源位置 (a) 電場Ez 幅度的分布, 障礙物(插圖黑色區(qū)域)介電常數(shù)2.25;(b) 電場Ez 幅度的分布, 障礙物介電常數(shù)11.7; (c) 邊界態(tài)沿z 型路線傳輸Ez 場的分布, 插圖為局部放大的能流矢量分布; (d) 邊界態(tài)沿z 型路線傳輸?shù)哪芰魇噶亢虴z 場的分布, 和圖(c)比較, 源向右移動3 個晶格常數(shù)距離Fig. 7. Robust of the topological boundary states and the pseudo-spin source position represented by white hexagonal star: (a) The distribution of the Ez field amplitude with the obstacle (the black area in the illustration) permittivity 2.25; (b) the distribution of the Ez field amplitude with the obstacle permittivity 11.7; (c) the distribution of the Ez field from the edge state transmission along the z-type route (the inset shows a locally amplified Poynting vector distribution); (d) the distribution of the Ez field and the energy flow vectors from the edge state transmission along the z-type route with the source moved 3a to the right.

下面驗證拓?fù)溥吔鐟B(tài)抗干擾的魯棒特性. 二維介質(zhì)柱陣列和介質(zhì)板打孔結(jié)構(gòu)的異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)在制作上容易在界面上形成缺陷, 這些缺陷會產(chǎn)生逆向散射, 對傳輸造成不利的影響, 其影響程度可以檢驗拓?fù)溥吔鐟B(tài)魯棒性的大小. 在圖6(b)的邊界上設(shè)置結(jié)構(gòu)缺陷, 如圖7(a)和圖7(b)插圖所示, 在本為空氣的區(qū)域(黑色)設(shè)置成介質(zhì)構(gòu)成缺陷. 當(dāng)缺陷介電常數(shù)分別為2.25 和11.7 時, 傳輸結(jié)果如圖7(a)和圖7(b)所示. 當(dāng)缺陷介電常數(shù)與空氣相近時, 傳輸結(jié)果幾乎沒有變化. 但是當(dāng)缺陷介電常數(shù)與空氣相差較大時, 在逆方向上出現(xiàn)一定的反射, 這種逆反射說明自旋對傳輸方向的鎖定并不是完全的, 也說明了本文結(jié)構(gòu)的局限性. 這種不完全性來源于圖5(b)中邊界態(tài)曲線并沒有完全關(guān)閉帶隙. 接著把邊界設(shè)置成z 型, 如圖7(c)和圖7(d)所示. 在邊界上設(shè)置角頻率為 0.474 6(2πc/a) 順時針的自旋源(白色六角星). 對一般的z 型波導(dǎo), 電磁波在彎曲處會遇到強(qiáng)烈的散射而無法傳輸, 但是對于現(xiàn)在的拓?fù)溥吔鐟B(tài)波導(dǎo), 源設(shè)在邊界左側(cè), 電磁波完全繞過拐角, 幾乎沒有損耗地沿著波導(dǎo)傳輸,圖7(c)顯示電場Ez的傳輸結(jié)果, 右邊插圖顯示局部拐角處能流矢量的分布情況. 可以看出, 整個電磁波能量完全局域在邊界, 通過拐角時幾乎沒有散射和能量的損耗, 達(dá)到理想的傳輸. 進(jìn)一步把源沿邊界向右移動3 個晶格常數(shù)距離, 其他條件不變,場圖和能流矢量如圖7(d)所示. 除逆向有少量的反射外, 電磁波基本向右傳輸.

5 結(jié) 論

本文不僅發(fā)現(xiàn)了三角晶格體系具有雙重簡并形成的p 軌道和d 軌道, 還發(fā)現(xiàn)了能通過散射體和基體的反轉(zhuǎn)直接實現(xiàn)能帶的反轉(zhuǎn)和拓?fù)湎嘧? 這里沒有了同類型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn)需要經(jīng)歷帶隙打開到關(guān)閉再到重新打開的過程, 這樣在模型的設(shè)計上給我們提供了更多的自由度, 在優(yōu)化結(jié)構(gòu)后還獲得了局域性非常好的邊界態(tài)模式. 構(gòu)建了基于上述拓?fù)湎鄡?yōu)化后的邊界結(jié)構(gòu), 電磁波模擬仿真的結(jié)果驗證了該結(jié)構(gòu)的邊界態(tài)具有量子自旋霍爾效應(yīng)特有的單向自旋鎖定和拓?fù)浔Ｗo(hù)的特性. 研究為光量子自旋霍爾效應(yīng)體系的設(shè)計提供了新的方向.