基于頻響比法的多維振動基礎激勵試驗模態(tài)分析

張鵬飛，孫 穎，吳家駒，張永亮

（北京強度環(huán)境研究所，北京，100076）

0 引 言

結(jié)構(gòu)動力學參數(shù)是航天器設計研制中重要的特性參數(shù)，可靠的動特性參數(shù)一般通過模態(tài)試驗來獲得。傳統(tǒng)的模態(tài)試驗中，使用力錘或者激振器對試驗件進行力激勵，通過測量激勵力和響應加速度來計算頻響函數(shù)，然后使用模態(tài)識別算法對頻響函數(shù)進行識別得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，目前該方法得到了廣泛的應用[1]。但這種方法也存在一定不足，如當結(jié)構(gòu)存在明顯非線性時，其動力特性與試驗量級高度相關，傳統(tǒng)模態(tài)試驗得到的頻率阻尼特性與真實使用環(huán)境下的特性相差很大。

基礎激勵模態(tài)試驗方法通過對試驗件施加基礎面激勵形成分布載荷，利用試驗件界面的運動參數(shù)識別邊界約束條件下的模態(tài)參數(shù)?；A激勵方法實際上是慣性力激振，激振力分布作用于結(jié)構(gòu)，與試件真實使用環(huán)境的受力狀態(tài)相似，所以從受力形式上來說，基礎激勵方法更符合實際。當結(jié)構(gòu)存在強非線性時，基礎激勵方法可以通過施加真實環(huán)境振動得到更加可靠的模態(tài)特性。

文獻[2]～[5]闡述了基礎激勵試驗模態(tài)分析的方法，并用實例進行了驗證，但都局限于單維振動激勵的情況。產(chǎn)品的實際使用環(huán)境一般為多維振動環(huán)境。多維振動試驗相對于單維振動試驗，能夠更真實的模擬產(chǎn)品的振動環(huán)境，激發(fā)出的振動響應更接近產(chǎn)品工作時的狀態(tài)。但多維振動環(huán)境下結(jié)構(gòu)模態(tài)識別面臨新的問題，傳遞函數(shù)矩陣的估計需要避免各個自由度之間的相干影響導致的矩陣奇異。

本文深入研究多維振動基礎激勵模態(tài)分析試驗方法，針對多維振動基礎激勵傳遞特性數(shù)據(jù)計算，提出了基于頻響比的傳遞矩陣估計方法，解決了多維振動環(huán)境下傳遞矩陣獲取的問題。設計典型試驗對多維振動基礎激勵分析結(jié)果和傳統(tǒng)力激勵模態(tài)試驗結(jié)果進行了對比，重點分析了多維振動基礎激勵模態(tài)結(jié)果反映出的結(jié)構(gòu)頻率和阻尼的非線性特征。

1 多維振動基礎激勵試驗模態(tài)分析原理

運動基礎激勵試驗模態(tài)分析的基本原理是，如果以運動基礎作為參考坐標系，那么試驗件受基礎激勵所產(chǎn)生的振動響應，相當于試驗件與基礎的連接界面固支，而結(jié)構(gòu)上每個自由度被施加了一個大小與當?shù)氐馁|(zhì)量和基礎的振動有關的分布力[6]。

圖1 為多維振動基礎激勵模態(tài)試驗示意，試驗件安裝在六自由度試驗臺臺面上。在固定坐標系下，試驗臺面的加速度為，試件響應的加速度為˙，試件與臺面的相對加速度為，它們之間存在如下關系：

式中 G 為轉(zhuǎn)換矩陣，包含6 列向量，即向量Gk，k=1，2，…，6，表示基礎每個自由度的單位位移所造成的試件剛體位移，向量包含基礎的3 個線運動分量和3 個角運動分量。

圖1 多維振動基礎激勵模態(tài)試驗示意Fig.1 Modal Analysis by Means of Multi-axis Base Excitation

基于線性理論和粘性阻尼假設，可以寫出結(jié)構(gòu)的運動微分方程：

式中 M，C，K 分別為試件的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。利用式（1）的運動關系可得：

試件相對加速度與基礎振動加速度之間的關系在頻域有：

其中，傳遞率矩陣：

式中rω ，r? ，rψ 分別為第r 階模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼比和振型，而 rm 為模態(tài)質(zhì)量：

從式（5）可以看出，傳遞矩陣T(ω)是由標準的加速度比力的頻響函數(shù)矩陣與質(zhì)量陣M 和轉(zhuǎn)換陣G 加權(quán)的頻響函數(shù)和，所以可使用標準的模態(tài)估計算法來進行模態(tài)參數(shù)識別。傳遞矩陣可以從試驗中測量出，從中可以識別出有效載荷邊界約束狀態(tài)的模態(tài)頻率、阻尼比和振型。如果要獲得模態(tài)質(zhì)量，還需要引入有限元模型的質(zhì)量矩陣，或者通過在試件與臺面之間串入測力裝置來測量界面力。

2 基于頻響比的傳遞矩陣估計方法

獲得傳遞矩陣T(ω)是進行頻域法模態(tài)參數(shù)識別的基礎。六自由度基礎激勵一般采用隨機激勵的形式，這種激勵方式更接近試件的實際使用狀態(tài)，能夠更準確獲得使用環(huán)境中的模態(tài)特性。常用的頻響函數(shù)估計方法是響應比法[7]。首先在六自由度試驗臺上生成六自由度隨機振動激勵，并采集臺面和試件上測點的響應˙˙u，然后解算出臺面上的六自由度環(huán)境 ˙0˙u ，并根據(jù)式（1）計算出結(jié)構(gòu)的相對運動˙˙v，那么傳遞率矩陣可直接算出

式中 GV˙˙U˙0(ω )和GU˙˙ 0U ˙˙0(ω )分別為輸入和響應的互譜矩陣以及輸入的自譜矩陣。

矩陣能夠求逆的前提是矩陣 GU˙˙ 0U ˙˙0(ω )是正則矩陣，然而一般情況下，由于隨機振動在結(jié)構(gòu)傳遞的過程中相關性增強，即使將激振器的驅(qū)動信號設置為獨立隨機，六自由度激振系統(tǒng)加載臺面的6 個振動方向也存在一定程度的耦合，例如加載臺面的平動經(jīng)常與轉(zhuǎn)動相耦合。當六自由度振動輸入之間不是完全線性獨立時，矩陣 GU˙ 0U ˙˙0(ω )的條件數(shù)很大，求逆計算精度不高。

本文考慮到六自由度試驗系統(tǒng)的激振原理，提出了基于頻響比的傳遞矩陣估計方法。 e0為包含6 個激振器線性獨立隨機振動驅(qū)動信號的驅(qū)動向量，試件響應與驅(qū)動信號之間的關系在頻域有

式中 H(ω)為響應對驅(qū)動的傳遞函數(shù)，可用譜矩陣的方法進行計算。傳遞率矩陣T(ω)可以這樣估計：

通過算例來說明式（7）和式（10）計算結(jié)果的區(qū)別。建立矩形截面梁的有限元模型，將梁劃分為20 個單元，在梁根部同時施加不相干的線運動和角運動隨機激勵，求解端部節(jié)點1 到中部節(jié)點16 的角運動傳遞特性。雖然輸入的線角激勵不相干，但經(jīng)過結(jié)構(gòu)的傳遞，節(jié)點16 處的線角運動響應存在耦合。圖2 顯示了響應比法中需要求逆的矩陣 GU˙ 0U ˙˙0(ω )和頻響比法中需要求逆的矩陣 HU˙0 E0(ω )在二范數(shù)下的條件數(shù)隨頻率的變化情況，后者的條件數(shù)遠小于前者。圖3 中將頻響比法和響應比法計算的結(jié)果與理論值進行對比，可以看到基于頻響比的傳遞矩陣估計方法得到的結(jié)果更接近理論值。

圖2 矩陣條件數(shù)對比Fig.2 Compare of Condition Numbers

圖3 傳遞率估計結(jié)果比較Fig.3 Compare of Estimate Results of Transmission Rate

3 試驗研究

為了驗證基于頻響比的傳遞矩陣估計方法，發(fā)展多維振動環(huán)境中結(jié)構(gòu)模態(tài)識別技術，進行了典型試驗件的六自由度基礎激勵試驗。試驗激勵設備為低頻液壓試驗臺，試驗加載臺面尺寸為2 m×2 m，由6 個液壓作動器進行激勵。試件為錐形結(jié)構(gòu)，將試件底部通過轉(zhuǎn)接工裝連接在臺面上，并在試件的一條母線上布置加速度傳感器測點，試驗系統(tǒng)組成見圖4。

圖4 試驗系統(tǒng)組成Fig.4 Composition of Test System

對6 個液壓激振器輸入帶寬1～80 Hz 的全不相干隨機振動激勵，在臺面上產(chǎn)生六自由度運動，隨機振動譜形見圖5。按照基于頻響比的傳遞矩陣估計方法，得到傳遞率矩陣T(ω)。圖6 為試件頂部測點在Y、Z 方向的振動傳遞率曲線，能夠清楚看到試驗頻帶內(nèi)存在2 階共振頻率，傳遞率曲線光滑無噪聲，表明數(shù)據(jù)處理方法適用。

圖5 隨機振動功率譜Fig.5 Power Spectrum Density of Random Vibration

圖6 傳遞率試驗結(jié)果Fig6 Test Results of Transmission Rate

使用頻域模態(tài)識別方法，識別出試件的頻率、阻尼比和振型，識別出的試件在激振頻率內(nèi)的2 階模態(tài)，結(jié)果見表1。為了便于比較，表1 列出了力激勵固支邊界模態(tài)試驗結(jié)果，并使用振型相關系數(shù)表征兩種試驗方法識別出振型的相關性。可以看出，多維振動基礎激勵法與固支邊界力激勵法得到的模態(tài)振型一致性很好，但模態(tài)頻率更低，阻尼比更大。這一結(jié)果符合多維振動基礎激勵模態(tài)試驗的規(guī)律。多維振動基礎激勵試驗將慣性激振力分布作用于結(jié)構(gòu)，與力激勵模態(tài)的點激勵相比，結(jié)構(gòu)受力更大，大部分金屬結(jié)構(gòu)具有漸軟特性的非線性，因此頻率更低。多維振動基礎激勵試驗中結(jié)構(gòu)振動位移大，產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)阻尼力更大，等效阻尼比也更大。

表1 模態(tài)試驗結(jié)果Tab.1 Result of Modal Test

多維振動基礎激勵模態(tài)試驗方法的優(yōu)勢還在于，對于大部分結(jié)構(gòu)件，在材料、連接等環(huán)節(jié)存在多種非線性因素，使得結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性與環(huán)境振動量級高度相關[8]，該試驗方法能夠獲取模態(tài)特性與試驗量級的相關性。在上述試驗中，逐漸增大振動臺的激振量級，分別按原試驗條件的+3 dB 和+6 dB 量級進行振動加載和模態(tài)分析，模態(tài)頻率和阻尼比識別結(jié)果隨振動量級的變化見圖7。

圖7 模態(tài)頻率與阻尼比的非線性特征Fig.7 Nonlinear Feature of Modal Frequency and Damping Ratio

隨著振動量級的增大，模態(tài)頻率逐漸降低，阻尼比逐漸增大，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出漸軟剛度非線性特性。例如，1 階模態(tài)頻率降低了2.67%，阻尼比增加了57.31%。一般地，可以使用3 次多項式剛度和阻尼非線性模型對結(jié)構(gòu)進行建模，對頻率和阻尼結(jié)果進行擬合。結(jié)果表明，試驗件的非線性特性基本符合3 次剛度和阻尼假設，多維振動基礎激勵模態(tài)試驗方法能夠很好的考核到模態(tài)特性的量級相關性。

4 結(jié) 論

a）本文提出基于多維振動基礎激勵的模態(tài)試驗方法，獲得試件固支邊界下的模態(tài)特征，相比于力激勵法和單維振動基礎激勵模態(tài)試驗，多維振動基礎激勵法試件的試驗邊界和振動環(huán)境更接近其使用狀態(tài)，獲得的模態(tài)參數(shù)更接近實際工作狀態(tài)。

b）在多維振動傳遞率的計算中，基于頻響比的傳遞矩陣估計方法相對于響應比法，能夠降低計算過程中矩陣的條件數(shù)，避免由于各個自由度之間的相干導致的矩陣奇異，從而獲得高質(zhì)量的傳遞矩陣。

c）對于非線性特性比較明顯的結(jié)構(gòu)，多維振動基礎激勵模態(tài)試驗方法能夠考核到試驗件模態(tài)特性的量級相關性，有助于提高結(jié)構(gòu)分析的精度?；诙嗑S振動基礎激勵的模態(tài)試驗方法能夠得到更加可靠的試驗結(jié)果，具有很好的實用價值和推廣意義。