考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段投資組合研究

（中南大學(xué)商學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083）

引 言

投資組合理論致力于解決財(cái)富在不同資產(chǎn)中最優(yōu)配置的問題。Harry［1］的均值-方差投資組合模型成為單階段的投資組合選擇理論的基礎(chǔ)。但實(shí)際投資活動(dòng)通常是多階段的，投資者需要根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況不斷地調(diào)整投資策略，來實(shí)現(xiàn)自己的預(yù)期目標(biāo)。 Duan 和 Ng［2，3］使用嵌入法和隨機(jī)線性控制法，提出了長(zhǎng)期投資組合問題中均值-方差模型的有效投資策略。隨后，圍繞著長(zhǎng)期多階段資產(chǎn)配置的研究大量展開［4-6］，但都是在完全市場(chǎng)條件下進(jìn)行。因此，在不確定環(huán)境下的投資組合選擇問題已成為近年來研究的熱點(diǎn)。很多學(xué)者從現(xiàn)實(shí)出發(fā)，考慮了各種現(xiàn)實(shí)因素對(duì)資產(chǎn)配置的影響，如交易成本［7］、通貨膨脹［8］、投資者觀點(diǎn)［9］、破產(chǎn)約束［10］。

在現(xiàn)實(shí)資本市場(chǎng)中，投資者經(jīng)常面臨著除所持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)自有風(fēng)險(xiǎn)以外的風(fēng)險(xiǎn)，背景風(fēng)險(xiǎn)便是其中一種不可忽視的風(fēng)險(xiǎn)，該風(fēng)險(xiǎn)是指不能在金融市場(chǎng)上通過資產(chǎn)組合配置來進(jìn)行分散的風(fēng)險(xiǎn)［11］。 Jiang 等［12］、Li等［13］研究表明，投資者的勞動(dòng)收入、創(chuàng)業(yè)收入等本身的不確定性因素也會(huì)沖擊長(zhǎng)期投資組合的效用。勞動(dòng)收入作為背景資產(chǎn)的一個(gè)重要組成部分，對(duì)投資者的長(zhǎng)期投資組合的構(gòu)建具有重要的影響。Palia等［14］利用微觀層面的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證勞動(dòng)收入波動(dòng)率與家庭股市參與和持股比例的關(guān)系。Bellalah等［15］進(jìn)一步探討了勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)對(duì)資產(chǎn)配置的影響。宋煒和蔡明超［16］使用中國(guó)家庭金融調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)投資者的勞動(dòng)收入不確定性會(huì)對(duì)股市參與度及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資產(chǎn)生一定的影響。

由此可見，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)會(huì)對(duì)投資者長(zhǎng)期投資組合的構(gòu)建產(chǎn)生一定的影響，但以往對(duì)離散時(shí)間下的不完全市場(chǎng)的研究卻忽視了這一重要因素。因此，本文在離散時(shí)間下的多階段均值-方差模型中，引入勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段均值-方差模型，然后利用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)該模型求解，并進(jìn)行數(shù)值模擬，從而系統(tǒng)探討勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的引入及其變動(dòng)對(duì)長(zhǎng)期多階段投資組合的影響。

1 考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段均值-方差模型

1.1 模型的假設(shè)

為便于模型的建立，對(duì)關(guān)于考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段投資組合決策過程做出以下假設(shè)：

勞動(dòng)收入假設(shè)：與普通的金融資產(chǎn)不同，勞動(dòng)收入是一種不可交易、不可對(duì)沖的非資本資產(chǎn)。目前對(duì)勞動(dòng)收入的不確定性的量化方法可分為以下3類：（1）使用職業(yè)等代理指標(biāo)來衡量收入不確定性，以Skinner［17］為代表；（2）采用與收入相關(guān)數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差等形式，代表人物有Carroll和 Samwick［18］；（3）采用問卷調(diào)查方式來獲取人們對(duì)勞動(dòng)收入不確定性的感知程度，主要代表人物是 Guiso 等［19］。

本文參考Carroll和Samwick［18］對(duì)勞動(dòng)收入的量化方法，假設(shè)勞動(dòng)收入是隨機(jī)變量，其具有一個(gè)持久性的增長(zhǎng)率，并且受到多樣化沖擊的影響，則勞動(dòng)收入的變動(dòng)過程為：

投資行為假設(shè)：整個(gè)投資過程中不會(huì)有額外的資金投入或抽出，投資者最終持有的資本市場(chǎng)獲得的財(cái)富只由最初的資金投資n次后獲得。另外，投資中不允許賣空行為。

資本市場(chǎng)假設(shè)：在整個(gè)交易過程中，不存在交易成本和稅收等費(fèi)用，同時(shí)不受最小交易量的限制。

1.2 考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段均值-方差模型

假定資本市場(chǎng)是由n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率隨機(jī)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率確定。投資者在0時(shí)刻開始投資，資本市場(chǎng)的初始投資財(cái)富為W0，共進(jìn)行了T-1期的投資，在第t時(shí)期，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為，第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為，投資者自身的勞動(dòng)收入為Yt，用表示t時(shí)刻投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的比例，則t時(shí)刻投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)量為1-是t時(shí)刻勞動(dòng)收入中用以投資于資本市場(chǎng)的比例，本文中的t階段，是指t時(shí)刻到t＋1時(shí)刻這一時(shí)間段。投資者財(cái)富數(shù)量由勞動(dòng)收入及資本市場(chǎng)上的金融財(cái)富構(gòu)成，則投資者期末財(cái)富總額為：

投資者的投資決策是以最大化終端財(cái)富的期望值、最小化終端財(cái)富的風(fēng)險(xiǎn)為目標(biāo)，則含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段投資組合模型為：

對(duì)于上述相互制約的雙目標(biāo)規(guī)劃問題，不存在嚴(yán)格意義上的最優(yōu)解。常用的方法是將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題進(jìn)行求解。因此，本文引入風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)ω，把目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化成以下模型：

式中，ω（ω＞0）為投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，ω越大表示投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高。

綜上，含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段均值-方差模型為：

勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)是指投資者由于自身未來勞動(dòng)收入的不確定而承受的風(fēng)險(xiǎn)。一般來說，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)主要來自于以下兩個(gè)方面：勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率的波動(dòng)性和勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)的相關(guān)性。具體來說，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)在式（5）中表現(xiàn)為勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率的方差和勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的協(xié)方差這兩個(gè)變量。

對(duì)以上模型進(jìn)行求解，就可得到含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段均值-方差模型的每一階段最優(yōu)的投資策略。

2 模型的求解

由于上述模型屬于動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，很難求出解析解，一般采用遺傳算法來求解其最優(yōu)的投資策略。遺傳算法是一種進(jìn)化算法，基本原理是仿效生物界中的“物競(jìng)天擇、適者生存”的演化法則，將問題參數(shù)編碼為染色體，再進(jìn)行選擇、交叉以及變異等運(yùn)算，最終生成符合優(yōu)化目標(biāo)的染色體。該算法在求解非線性、多目標(biāo)等復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題上具有全局優(yōu)化等優(yōu)點(diǎn)，用于解決投資組合優(yōu)化問題是十分有效的。因此，本文選擇遺傳算法來求解該模型。由于傳統(tǒng)的遺傳算法產(chǎn)生的初始種群會(huì)導(dǎo)致中心集聚現(xiàn)象，本文采用了Bermudez等［20］提出的對(duì)初始種群取對(duì)數(shù)然后標(biāo)準(zhǔn)化的方法，從而達(dá)到初始種群分布均勻的效果。

算法的步驟如下：

步驟1：初始化種群。設(shè)定遺傳算法相關(guān)參數(shù)，隨機(jī)初始化種群，按照式（6）對(duì)初始種群ui取對(duì)數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)化：

步驟2：計(jì)算適應(yīng)度。把目標(biāo)函數(shù)作為個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)。函數(shù)值越大的個(gè)體，適應(yīng)度值越大，個(gè)體越優(yōu)。適應(yīng)度計(jì)算函數(shù)為：

步驟3：選擇操作。從舊群體中按照式（8）的概率選擇優(yōu)良個(gè)體組成新的種群，以繁殖得到下一代個(gè)體。

其中，F(xiàn)i為個(gè)體i的適應(yīng)度值，N為種群個(gè)體數(shù)目。

步驟4：交叉操作。從種群中按照設(shè)置好的交叉概率Pc隨機(jī)選擇兩個(gè)個(gè)體，按照式（9）進(jìn)行交叉操作：

其中，b是區(qū)間［0，1］的隨機(jī)數(shù)。

步驟5：變異操作。按照變異概率對(duì)個(gè)體按式（10）進(jìn)行變異，以產(chǎn)生更優(yōu)秀的新個(gè)體。

其中，amax是基因 ai，j的上界；amin是基因 ai，j的下界。

步驟6：根據(jù)最大迭代次數(shù)判斷終止與否，若達(dá)到最大迭代次數(shù)則輸出最優(yōu)的結(jié)果，若未達(dá)到則返回到步驟2，重新計(jì)算。

3 勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)對(duì)多階段投資組合影響

3.1 勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的引入對(duì)多階段投資策略的影響

為檢驗(yàn)所提出模型的有效性，從而對(duì)勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的引入及變動(dòng)對(duì)多階段投資組合選擇的影響進(jìn)行系統(tǒng)而細(xì)致的探討。本文使用實(shí)際的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行求解。

投資者從股票市場(chǎng)上選取4只股票，得到這4只股票2014～2016年收盤價(jià)數(shù)據(jù)，以1年為1個(gè)投資周期，即N＝4、T＝3，計(jì)算得到其年收益率及方差，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為2，即ω＝2。投資者投資于以上4只股票和1只無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)國(guó)債，資本市場(chǎng)初始投資金額為1，初始勞動(dòng)收入為1，連續(xù)進(jìn)行3期的投資活動(dòng)，并在每期期初調(diào)整各個(gè)資產(chǎn)的投資比例。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為0.02，此外，假設(shè)每期投資于資本市場(chǎng)的勞動(dòng)收入比例為0.5，即lt＝0.5。

由 《中國(guó)勞動(dòng)統(tǒng)計(jì)年鑒》的數(shù)據(jù)計(jì)算得，我國(guó)居民勞動(dòng)收入年增長(zhǎng)率均值約為0.15，居民勞動(dòng)收入年增長(zhǎng)率方差約為0.0029，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與股票年收益率略微正相關(guān)，協(xié)方差為0.006?？紤]到勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的其他相關(guān)關(guān)系，還設(shè)置了協(xié)方差為-0.006和0的情況，即勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)分別與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和不相關(guān)。此外，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率數(shù)值為0.04、0.1和0.2，設(shè)置3組勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率方差數(shù)據(jù)來表示勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變化，分別為0.0015、0.002和0.0025。

表1 股票的年收益率及方差

因?yàn)檫z傳算法是一種隨機(jī)搜索方法，其最優(yōu)解會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化，我們?nèi)?00個(gè)模擬值的平均數(shù)來解決這個(gè)問題。對(duì)于遺傳算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)定，見表2。

表2 遺傳算法運(yùn)行參數(shù)設(shè)定

檢驗(yàn)所提出模型的有效性。使用改進(jìn)的遺傳算法，考慮勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率為0.1，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率正相關(guān)，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率方差為0.0015時(shí)，每一期投資組合的風(fēng)險(xiǎn)及收益。圖1（a～c）展示了每一期含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的投資組合有效前沿（V-E）。 由圖1（a～c）可知，在考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)隨著勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的增加而增加，同時(shí)也表明隨著收益的增加，總風(fēng)險(xiǎn)也是逐漸增加的，這與投資活動(dòng)中高收益高風(fēng)險(xiǎn)的原則是一致的，說明本文所提出的考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段均值-方差模型是有效的。

圖1 含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的投資組合每一時(shí)期有效前沿

為了進(jìn)一步說明勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的引入對(duì)投資組合的影響，我們做出了多階段投資組合中考慮和不考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)兩種情形下有效前沿對(duì)比圖2（a～c）。顯然，在相同的投資收益下，考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的投資組合有效前沿是在不考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)投資組合的右邊。即當(dāng)投資組合收益均值相同時(shí)，考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)要大于不考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)。因此，考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)能夠更好的反映投資者所面臨的真實(shí)的投資環(huán)境，投資者如果忽視自身勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)，將會(huì)低估實(shí)際中所面臨的投資風(fēng)險(xiǎn)，從而引起投資損失。

圖2 是否含有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的投資組合每一時(shí)期有效前沿

3.2 勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變動(dòng)對(duì)多階段投資策略的影響

根據(jù)上文，我們發(fā)現(xiàn)在長(zhǎng)期多階段投資中，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的引入會(huì)對(duì)投資組合的構(gòu)建產(chǎn)生影響。那么勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變化具體會(huì)對(duì)資產(chǎn)選擇產(chǎn)生什么影響呢？

勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的來源可以分為勞動(dòng)收入本身的變化及勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的相關(guān)關(guān)系。那么，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變化可用勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率方差以及其與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)來衡量。因此，本節(jié)改變這兩組數(shù)據(jù)，研究勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)變化對(duì)多階段資產(chǎn)選擇的影響。設(shè)置勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率的方差為0.0015、0.002和0.0025，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)協(xié)方差為-0.006、0和0.006，得到投資者在長(zhǎng)期多階段每一期不同勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)下的投資策略。

（1）本節(jié)給出了勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率分別為0.04、0.1、0.2的情況下，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率的方差分別為0.0015、0.002和0.0025，且勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相互獨(dú)立時(shí)，投資者在3個(gè)時(shí)期的投資策略（表略）。當(dāng)勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)無關(guān)時(shí)，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率的方差越大，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例越小，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例越大。圖3（a～c）是勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)無關(guān)時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例隨著勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率方差變動(dòng)的變化圖，這3個(gè)圖更加直觀的表明無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)持有比例的變化趨勢(shì)。

（2）當(dāng)勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)時(shí)，根據(jù)各資產(chǎn)的投資比例（表略），可畫出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例，如圖 4（a～c）。 從圖 4（a～c）可看出，當(dāng)勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)時(shí)，隨著勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率方差的增大，投資者會(huì)減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例，增加對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例。

（3）圖5（a～c）展示了勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)時(shí)各個(gè)資產(chǎn)投資比例及其變化。可以清晰的看出，當(dāng)勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)時(shí)，勞動(dòng)收入增長(zhǎng)率的方差越大，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例越高，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例越低。

通過分析發(fā)現(xiàn)，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變化會(huì)導(dǎo)致投資策略不同?？紤]勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多期均值-方差模型更符合實(shí)際，投資者不僅要關(guān)注金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)，更不能忽視自身勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)。

圖3 勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相互獨(dú)立時(shí)每一時(shí)期無風(fēng)險(xiǎn)投資比例

圖4 勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)時(shí)每一時(shí)期無風(fēng)險(xiǎn)投資比例

4 結(jié) 論

在實(shí)際金融市場(chǎng)中，投資者不僅需要處理金融資產(chǎn)自身產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)也要化解勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)，使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)得到合理的分散，獲得預(yù)期收益。本文考慮了具有勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多階段投資組合選擇問題，建立了考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的多期均值-方差模型，設(shè)計(jì)改進(jìn)的遺傳算法求解該模型，使用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，利用中國(guó)股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的有效性，并進(jìn)一步分析勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的引入及變動(dòng)對(duì)多期資產(chǎn)選擇的影響。結(jié)果表明，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變動(dòng)對(duì)多階段投資組合的構(gòu)建具有復(fù)雜的影響。具體來說，在勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相互獨(dú)立及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)的情況下，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例與勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變化負(fù)相關(guān)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資份額與其正相關(guān)。當(dāng)勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)時(shí)，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的變大將導(dǎo)致投資者增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的持有比例，減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。因此，在多期投資中考慮勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)，可以更好地反映現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境，幫助投資者有效地選擇自己的投資組合。

圖5 勞動(dòng)收入與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)時(shí)每一時(shí)期無風(fēng)險(xiǎn)投資比例