FitzHugh-Nagumo方程的分歧

閆東明

(浙江財經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 浙江杭州310018)

§1 引 言

軸突中信號的傳播是神經(jīng)科學(xué)中一種重要的現(xiàn)象. 人們?yōu)榱搜芯吭摤F(xiàn)象引入了諸如Hodgkin-Huxley (HH) 方程[1], FitzHugh-Nagumo (FN)方程[2-4]等偏微分方程組. FN方程是HH方程的簡化方程, 其形式如下:

其中00,ε>0,未知函數(shù)v表示軸突中的電壓,y與電壓升高時鉀離子電壓門控通道打開以及鈉離子電壓門控通道關(guān)閉行為有關(guān). 此外,a代表v的閾值, 參數(shù)ε代表y的延遲反應(yīng),I代表電流,γ是一個調(diào)整參數(shù).

人們對FN方程的研究無論是理論方面還是數(shù)值方面都取得了重要進展, 總結(jié)起來主要包括行波解的存在性, 同宿軌的存在性, 全局吸引子的存在性以及Hopf分歧等方面的成果. 這些成果為人們理解軸突中信號傳播這一重要的現(xiàn)象提供了堅實的理論基礎(chǔ). 然而, 上述研究成果對具有更一般形式的FN方程(1.1)什么時候發(fā)生分歧, 以及影響分歧的因素有哪些等問題都沒有給出回答. 本文試圖就上述問題給出一些回答. 具體地, 研究(1.1)的定態(tài)分歧和Hopf分歧, 即(1.1)的定態(tài)方程當控制參數(shù)變化時在怎樣的條件下有非平凡解存在, 以及(1.1)當控制參數(shù)變化時在怎樣的條件下有非平凡的周期解存在.

運用線性穩(wěn)定性分析, 非線性分歧理論以及零指標Fredholm算子的相關(guān)性質(zhì), 證明了FN方程(1.1)當參數(shù)ε超過某個臨界值時有定態(tài)分歧發(fā)生, 即該方程從平凡解分歧出非平凡解, 這意味著通常的常值平衡態(tài)失去穩(wěn)定性達到另外一種非常值的平衡態(tài), 此時的非常值平衡態(tài)是(1.1) 定態(tài)方程的非平凡解. 另外還證明了FN方程(1.1)當參數(shù)ε充分小時有Hopf分歧發(fā)生, 即該方程從平凡解分歧出非平凡的周期解, 這意味著通常的常值平衡態(tài)失去穩(wěn)定性達到另外一種電壓周期變化的狀態(tài). 更進一步的分析表明ε越大, (1.1)越容易發(fā)生定態(tài)分歧,ε越小, (1.1)越容易發(fā)生Hopf分歧, 即鉀離子電壓門控通道打開及鈉離子電壓門控通道關(guān)閉的延遲反應(yīng)越慢, 軸突中電壓周期變化的現(xiàn)象越容易發(fā)生. 本文理論分析所得結(jié)果與實驗現(xiàn)象是相一致的.

§2 平衡態(tài)及平移方程

方程(1.1)的常值平衡態(tài)由以下方程給出

方程(2.1)的解記為

令

將(2.3)代入(1.1), 得(1.1)在平衡點(vI,vI/γ)處的平移方程(省略撇)為

引入?yún)?shù)

假設(shè)

§3 線性問題的特征值及引理

考慮(1.1)在平凡解(v,y) = (vI,vI/γ)處的線性特征值問題的特征值和特征函數(shù). 由平移方程(2.7)易得(1.1)在平凡解(v,y)=(vI,vI/γ)處的線性特征值問題為

引 理1證 明設(shè)μ是(3.1)的 特 征 值, 且其對應(yīng)特征 函 數(shù) 為(v,y). 由Fourier級數(shù) 展 開, 存在{an}和{bn}使得

§4 定態(tài)分歧

本小節(jié)將運用引理2考慮(2.11)當參數(shù)λ變化時的分歧. 主要結(jié)果如下.

定理1假設(shè)(2.6)成立, 且εγ>. 則方程(2.11)在(v,y,λ) = (0,0,1/γ)附近有唯一的單參數(shù)非平凡解簇

§5 Hopf分歧