度量測度空間上雙線性θ-型Marcinkiewicz積分交換子

逯光輝

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅蘭州730070)

§1 引 言

眾所周知, Littlewood-Paleyg-函數(shù)作為調(diào)和分析中一類重要的算子, 在調(diào)和分析本身以及偏微分方程的研究中發(fā)揮著重要的作用(參見文獻[1-3]). 而Marcinkiewicz積分本質(zhì)上就是Littlewood-Paleyg-函數(shù). 在1958年, Stein在文獻[4]中引入了高維情形下的Marcinkiewicz積分, 其定義如下

此后, 關(guān)于Marcinkiewicz積分及其交換子在不同函數(shù)空間上的性質(zhì)得到了廣泛的關(guān)注和研究,例如文獻[5-9]及其相關(guān)的文獻.

為了解決Coifman和Weiss意義下的齊型空間(見文獻[10-11])和非雙倍測度空間(見文獻[6,12-15])的統(tǒng)一問題, 2010年, Hyt¨onen在文獻[16]中引入了一類新的度量測度空間滿足所謂的幾何雙倍和上部雙倍條件(見以下定義1.1和1.2). 方便起見, 現(xiàn)將這類新的度量測度空間簡稱為非齊型度量測度空間. 此后, 在這類空間上的相關(guān)研究受到了很多學(xué)者的廣泛的關(guān)注和研究. 例如,Lin和Yang在[17]中得到了以非齊型度量測度空間為底空間的Marcinkiewicz積分在Lebesgue空間上的一些等價有界性. Cao和Zhou在文獻[18]中給出了非齊型度量測度空間上Morrey空間的定義, 且建立了Hardy-Littlewood極大算子, Calder′on-Zygmund算子及Marcinkiewicz積分算子在Morrey空間上的有界性. Xie等在文獻[19]中證明了由雙線性θ型Calder′on-Zygmund算子Tθ與空間RBMO(μ)生成的交換子[b1,b2,Tθ]在Lebesgue空間Lp(μ)上的有界性. 關(guān)于這類新的度量測度空間上的進一步研究和進展可以參看文獻[20-29]及其相關(guān)的參考文獻.

在給出本文的主要結(jié)構(gòu)之前, 首先回顧本文所需的一些概念. 以下的幾何雙倍和上雙倍條件的定義是由Hyt¨onen在文獻[16]中引入的.

§2 預(yù)備知識

§3 Lebesgue空間上的有界性

§4 Morrey空間上的有界性