挖掘數(shù)學(xué)之“源”，還原文化之“元”
——“腳印的面積有多大”教學(xué)實(shí)踐與思考

□斯瑤

【案例背景】

人教版五年級(jí)上冊(cè)將“測(cè)量不規(guī)則圖形的面積”編排于“多邊形的面積”單元之后，以測(cè)量樹(shù)葉的面積為例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)格子、看成近似的規(guī)則圖形，估算其面積。然而在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，這兩種方法對(duì)學(xué)生而言并非難事。那么如何挖掘本節(jié)課的內(nèi)在價(jià)值？綜觀教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，多邊形面積→不規(guī)則圖形面積→圓面積，是否可以以數(shù)學(xué)文化的視角，以數(shù)學(xué)史料為載體，以數(shù)學(xué)思想為核心，建立知識(shí)間的有效銜接？基于這樣的思考，筆者設(shè)計(jì)了《腳印的面積有多大》一課，擬定了新的教學(xué)目標(biāo)。

【案例展開(kāi)】

（一）情境導(dǎo)入，任務(wù)驅(qū)動(dòng)

情境引入：在柯南和朋友們的一次聚會(huì)中發(fā)生了失竊事件，雪地里留下了案犯清晰的腳印，根據(jù)腳印你可以知道什么？和你們想的一樣，生活中公安人員在刑偵調(diào)查的過(guò)程中就是依據(jù)腳印的大小、深度等等來(lái)推斷罪犯的體型。今天我們就來(lái)探究腳印的大小。

（二）小組合作，掌握估算方法

出示實(shí)際大小的腳印紙片。

1.提出問(wèn)題：你能否精確測(cè)量出腳印的面積？有困難，為什么？

2.那就請(qǐng)大家先估一估大概有多大。

3.交流方法：怎樣才能更精確地測(cè)量腳印的面積？

預(yù)設(shè)1：數(shù)格子（數(shù)格子課件演示，不提供方格紙）。

預(yù)設(shè)2：分成學(xué)過(guò)的圖形。

預(yù)設(shè)3：補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，再去掉空白部分。

4.小組合作計(jì)算腳印面積，將計(jì)算結(jié)果寫(xiě)在黑板上。

5.方法反饋。

（1）為什么你們要分割成這些圖形？

（2）為什么要分成那么多個(gè)圖形？

（3）求不規(guī)則圖形可以用數(shù)格子、割、補(bǔ)的方法解決，它們有什么共同點(diǎn)？

6.小結(jié)：要想計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，我們可以利用化曲為直的方法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

（三）逐次逼近，體會(huì)極限思想

1.比較小組計(jì)算結(jié)果與腳印實(shí)際面積，哪個(gè)小組更精確？原因何在？

2.電腦軟件是通過(guò)什么方法算得那么精確的呢？

師：我們就取腳印邊緣的一小格來(lái)研究（如圖1）。假設(shè)我們一直細(xì)分下去，長(zhǎng)方形越來(lái)越窄，個(gè)數(shù)越來(lái)越多，齒輪狀越來(lái)越接近這條曲線，那么這些小長(zhǎng)方形的面積總和也就逐步逼近這個(gè)不規(guī)則圖形的面積。電腦軟件就是通過(guò)化曲為直、逐步逼近的方式計(jì)算出腳印的面積的。

3.課件演示化曲為直、逐步逼近，完善割、補(bǔ)的方法（如圖2）。

圖2

4.小結(jié)：分的份數(shù)越多，彎曲的邊線就越接近線段，面積就越精確。掌握了這種方法，我們就能盡可能精確地計(jì)算出任何不規(guī)則圖形的面積。

（四）溝通聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)文化

1.提問(wèn)：你會(huì)用逐步逼近的辦法求圓的面積嗎？想一想，畫(huà)一畫(huà)，折一折，不計(jì)算。

2.學(xué)生方法反饋。

生：我將圓形的邊變成直線后，分割成了9個(gè)三角形（如圖3）。

生：可以將圓分成更多個(gè)三角形（如圖4）。

有學(xué)生竊竊私語(yǔ)：那不得算死？

生：只要算一個(gè)三角形就可以了。將這個(gè)圓對(duì)折4次后，就有16個(gè)完全相同的三角形（如圖5）。

生：她先將圓補(bǔ)成了正方形，再將多余的部分分割成了許多個(gè)三角形，用正方形的面積減去這些三角形的面積就是圓形的面積（如圖6）。

圖3

圖4

圖5

圖6

3.介紹劉徽的割圓術(shù)。

這與我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)是一樣的。他將圓化曲為直變成正十二邊形、正二十四邊形，一直到正3072邊形，正多邊形的邊數(shù)越多，就越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形的面積也逐次逼近圓的面積。

小結(jié)：正因?yàn)檫@一重大研究成果，讓圓逐漸從一個(gè)不規(guī)則圖形向規(guī)則圖形演變。等到我們六年級(jí)的時(shí)候，就可以利用公式來(lái)求圓的周長(zhǎng)和面積了。

【模型建構(gòu)】

本案例以張維忠教授基于數(shù)學(xué)文化建構(gòu)的教學(xué)模式為原型，依據(jù)教學(xué)實(shí)踐，進(jìn)行了改進(jìn)，形成了“以史為線”，以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體的教學(xué)模式。

首先，基于教材，選擇源于生活的素材，任務(wù)驅(qū)動(dòng)，展開(kāi)問(wèn)題研究；其次，自主選擇合適的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)化理解；最后，教師從數(shù)學(xué)文化的視角，幫助學(xué)生建立“數(shù)學(xué)史料”與“數(shù)學(xué)知識(shí)”“數(shù)學(xué)思想”間的聯(lián)系，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成發(fā)展的基本過(guò)程。

【案例反思】

（一）挖掘數(shù)學(xué)文化素材——基于教材，源于生活

1.挖掘數(shù)學(xué)文化“源”。

數(shù)學(xué)文化“源”的概念是馬岷興教授所提出的，即含有豐富數(shù)學(xué)文化成分的數(shù)學(xué)事實(shí)，可以是一個(gè)數(shù)學(xué)概念、法則、定理，也可以是數(shù)學(xué)故事、問(wèn)題等等。由于課時(shí)限制，一線教師很難將數(shù)學(xué)文化作為獨(dú)立的課程體系，因而“教材”就成了挖掘數(shù)學(xué)文化“源”的第一手資料,需要我們思考如何將書(shū)本上的數(shù)學(xué)文化“源”與教學(xué)有機(jī)結(jié)合。

在《測(cè)量不規(guī)則圖形的面積》一課中，探究對(duì)象從樹(shù)葉變成腳印，本質(zhì)未發(fā)生改變，但賦予了新的情境，任務(wù)驅(qū)動(dòng)，從而引發(fā)學(xué)生更多的探究欲望與思維聯(lián)想。

2.探索數(shù)學(xué)文化“元”。

數(shù)學(xué)文化“元”，即組成數(shù)學(xué)文化的基本要素或最小單位。教師一方面需要用數(shù)學(xué)文化的視角，重新審視爛熟于心的知識(shí)點(diǎn)，探尋有助于數(shù)學(xué)文化教育的成分，合理有效利用并整合教材；另一方面要積極探索課外資源，用數(shù)學(xué)的眼光結(jié)合生活、科學(xué)、藝術(shù)等，異中辨同，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種深刻的人類文化，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，豐富數(shù)學(xué)課程資源。

案例中，將《測(cè)量不規(guī)則圖形的面積》一課的教學(xué)目標(biāo)，拓展到更精確地測(cè)量不規(guī)則圖形面積，與割圓術(shù)、微積分相聯(lián)系，滲透“轉(zhuǎn)化思想”與“極限思想”。“轉(zhuǎn)化思想”“極限思想”就成了本節(jié)課的數(shù)學(xué)文化“元”。

（二）經(jīng)歷數(shù)學(xué)化理解——端本正源，知一萬(wàn)畢

1.過(guò)程中學(xué)，逐步抽象。

數(shù)學(xué)理解是指運(yùn)用表達(dá)數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、問(wèn)題、方法、思想的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，傳遞信息、情感與觀念的過(guò)程。其對(duì)象可以是現(xiàn)實(shí)的客觀事物，也可以是數(shù)學(xué)本身。為了讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一種深刻的人類文化，教師需要重視學(xué)生數(shù)學(xué)化的體驗(yàn)過(guò)程。

在盡可能精確測(cè)量腳印面積的過(guò)程中，學(xué)生逐步體會(huì)到只要將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，就能求出不規(guī)則圖形的面積，并能初步感知，分成的圖形數(shù)量越多，就越接近原面積。這一過(guò)程正是幫助學(xué)生對(duì)具體情境問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)逐步抽象的過(guò)程。

2.還原數(shù)學(xué)之本真。

張奠宙先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)?！苯虒W(xué)中通過(guò)核心問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生深度思考，直指數(shù)學(xué)本質(zhì)。

本課每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都直指一個(gè)問(wèn)題——“怎樣才能盡可能精確？”最終，教師取腳印邊緣的一小格，分成若干個(gè)矩形進(jìn)行說(shuō)明，展現(xiàn)化曲為直、無(wú)限分割的極限思想。事實(shí)上這也正是“微積分”的雛形，學(xué)生似乎也不難接受。

數(shù)學(xué)文化不僅僅是數(shù)學(xué)史料的講授，數(shù)學(xué)化的理解過(guò)程，豐富的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神才更具有魅力。

（三）文化鏈接——以史為鑒，可知興替

1.以史為線，追溯知識(shí)的“前世今生”。

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程。就數(shù)學(xué)教育而言，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過(guò)程應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，即數(shù)學(xué)教育應(yīng)遵循歷史發(fā)生原理。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒(méi)有必要經(jīng)歷數(shù)學(xué)家這樣的探索過(guò)程，但在實(shí)施教學(xué)時(shí)，溝通數(shù)學(xué)文化與知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成發(fā)展的基本過(guò)程，才能實(shí)現(xiàn)屬于學(xué)生自主感知的數(shù)學(xué)化理解。

在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了“化曲為直，逐步逼近”的數(shù)學(xué)方法后，教師提出問(wèn)題：你會(huì)用逐步逼近的辦法求圓的面積嗎？學(xué)生的想法事實(shí)上與古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽“割圓術(shù)”的思想方法相同。不同的是，也許劉徽經(jīng)歷了無(wú)數(shù)個(gè)日日夜夜，而我們的學(xué)生卻在一堂課上，與劉徽有了一段相似的經(jīng)歷。與其說(shuō)以史為鑒，可以知興替，不如說(shuō)以史為線，可知數(shù)學(xué)的前世今生。

2.瞻前顧后，建立知識(shí)的前后聯(lián)系。

以史為線，可知數(shù)學(xué)的前世今生；以史為線，又可將知識(shí)連點(diǎn)成線，建立知識(shí)的前后聯(lián)系。學(xué)生由對(duì)不規(guī)則面積的探究到對(duì)圓形面積的探究過(guò)程，是對(duì)極限思想的進(jìn)一步理解。以此為契機(jī)，建立規(guī)則圖形—不規(guī)則圖形—圓形之間的聯(lián)系，為六年級(jí)圓面積的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

這就再次引發(fā)我們思考：數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂不僅僅是文化與知識(shí)的融合，也是知識(shí)與知識(shí)的融合。教師應(yīng)重新審視教材，重塑、整合、梳理教材，建立知識(shí)的前后聯(lián)系。

除了數(shù)學(xué)史可以貫通文化與知識(shí)、知識(shí)與知識(shí)間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)名人故事，同樣可以有異曲同工的妙用。