單輸入單輸出系統(tǒng)離散積分滑模預(yù)測控制

劉 邱，趙東亞

(中國石油大學(xué)(華東) 新能源學(xué)院，山東 青島 266580)

滑?？刂谱钤绯霈F(xiàn)于20世紀(jì)50年代，由Utkin提出[1].經(jīng)過幾十年的發(fā)展，滑模控制已成為一個相對獨(dú)立的研究分支，廣泛適用于線性和非線性系統(tǒng)、確定和不確定系統(tǒng)以及連續(xù)和離散系統(tǒng)等[2].隨著現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的場合利用計算機(jī)來控制，因此，離散滑?？刂频难芯康玫搅烁嗟年P(guān)注和發(fā)展.普通的滑模控制在跟蹤軌跡時，如果有外部擾動，易產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，難以達(dá)到預(yù)期的性能指標(biāo).針對上述問題，Slotine等[3]提出了一種積分滑?？刂破鞑呗裕ㄟ^該積分非線性滑模面削弱了系統(tǒng)抖振并減小了系統(tǒng)誤差.文獻(xiàn)[4]提出了一種可以更加自由地選取滑模面參數(shù)的一般形式積分滑模面.文獻(xiàn)[5]提出了一種新的積分滑?？刂品椒ǎ鉀Q了對象的局限性問題，并將其成功應(yīng)用于最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng).因?yàn)榉e分滑模良好的控制表現(xiàn)，越來越多的學(xué)者投身于積分滑模的研究.此外，積分滑模控制器的設(shè)計也得以推廣到帶有匹配以及非匹配不確定性連續(xù)或離散系統(tǒng)中[5-7].相對一般滑?？刂贫?，在積分滑模面中，系統(tǒng)具有和狀態(tài)空間一樣的維數(shù).在設(shè)計積分滑?？刂破鲿r，可以通過合理設(shè)計狀態(tài)初始值，保證系統(tǒng)的狀態(tài)軌線總是處于滑模面上，從而消除了不具備魯棒性的趨近階段，保證了系統(tǒng)的整體魯棒性[8].

預(yù)測控制是一種在工業(yè)應(yīng)用中發(fā)展起來的一種控制技術(shù)，其控制的3項(xiàng)基本組成為：預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正[9]，即通過狀態(tài)空間、階躍響應(yīng)這樣的預(yù)測模型得到未來的動態(tài)行為，對未來的輸出進(jìn)行預(yù)測以及在線優(yōu)化，對未來的誤差做出預(yù)測和補(bǔ)償[10].預(yù)測控制的優(yōu)點(diǎn)在于對模型的要求不高，簡化了系統(tǒng)建模的工作，并且滾動優(yōu)化的策略保證了系統(tǒng)的動態(tài)特性.近年來，研究人員在預(yù)測控制在理論及應(yīng)用方面都取得了極其顯著的成果，突破了早期的框架，與魯棒控制、滑?？刂啤⒆赃m應(yīng)控制等相結(jié)合，形成了更為先進(jìn)的控制策略[11].文獻(xiàn)[12]將預(yù)測控制和滑?？刂平Y(jié)合，以系統(tǒng)名義模型為預(yù)測模型，將滾動優(yōu)化、反饋校正的思想引入離散滑?？刂破鞯脑O(shè)計中，既削弱了抖振又加強(qiáng)了魯棒性.文獻(xiàn)[13]將滑?？刂婆c非線性模型預(yù)測控制結(jié)合，利用切換函數(shù)使滑動模態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定，在有限預(yù)測時域的基礎(chǔ)上，對切換函數(shù)施加等式約束.結(jié)果顯示，該方法結(jié)合了預(yù)測控制處理約束和滑?？刂茖Ω蓴_不變性的優(yōu)點(diǎn).

考慮到滑?？刂婆c模型控制的特點(diǎn)，本文將離散積分滑?？刂婆c模型預(yù)測控制結(jié)合，設(shè)計了一種離散積分滑模預(yù)測控制器，所提出的控制算法具有積分滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性，削弱了預(yù)測控制的超調(diào)，還解決了滑模控制不能處理約束的問題.

1 離散積分滑模設(shè)計

考慮一個不確定離散系統(tǒng)

(1)

式中：x(k)∈Rn×1為狀態(tài)向量；u(k)為控制輸入；A∈Rn×n，B∈Rn×1可控；C∈R1×n；f(k)為輸入的干擾.

離散積分滑模設(shè)計：

σ(k)=Gx(k)-Gx(0)+b(k)

(2)

b(k)=b(k-1)-

[GBu0(k-1)+GAx(k-1)]

(3)

式中：σ∈R,b∈R,b(0)=0,G∈R1×n.

由式(2)和(3)可得

σ(k+1)=

Gx(k+1)-Gx(0)+b(k+1)

(4)

b(k+1)=

b(k)-[GBu0(k)+GAx(k)]

(5)

將式(5)代入式(4)得

σ(k+1)=Gx(k+1)-Gx(0)+b(k)-

[GBu0(k)+GAx(k)]

(6)

將等式(6)變形

σ(k+1)=Gx(k+1)+Gx(k)-

Gx(0)+b(k)-Gx(k)-

[GBu0(k)+GAx(k)]

(7)

由積分滑模性質(zhì)可知

σ(k+1)=σ(k)=0

(8)

則式(7)可化為

(9)

將u0(k)寫為

u0(k)=u1(k)+u2(k)+u3(k)

(10)

式中：u1(k)由預(yù)測控制設(shè)計；u2(k)設(shè)計為狀態(tài)反饋的形式；u3(k)為克服干擾項(xiàng);I為單位矩陣.

(11)

式中：K∈R1×n，η∈R.這里狀態(tài)反饋增益K和滑?？刂圃鲆娌煌?

2 預(yù)測控制設(shè)計

基于模型預(yù)測控制系統(tǒng)未來的動態(tài)，默認(rèn)系統(tǒng)全部狀態(tài)可測，將狀態(tài)空間模型(式(1))改寫為增量模型

(12)

式中：

Δx(k)=x(k)-x(k-1)

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

預(yù)測控制的原理首先是以最新測量值為初始條件的，并基于模型(式(1))來預(yù)測未來系統(tǒng)狀態(tài).設(shè)控制時域?yàn)閙,預(yù)測時域?yàn)閜，且m

假設(shè)1在控制時域以外，控制量不變，即Δu(k+i)=0,m≤i

假設(shè)2可測干擾在k時刻后不變，即Δu(k+i)=0,1≤i

在當(dāng)前時刻k，可以預(yù)測未來p個時刻的狀態(tài)增量：

Δx(k+1|k)=AΔx(k)+BΔu(k)

Δx(k+2|k)=

Δx(k+1)+BΔu(k+1)=

A2Δx(k)+ABΔu(k)+BΔu(k+1)

?

Δx(k+p|k)=

Δx(k+2)+BΔu(k+2)=

ApΔx(k)+Ap-1BΔu(k)+

Ap-2BΔu(k+1)+…+BΔu(k+p-1)

同理，可以預(yù)測未來p個時刻的輸出為

y(k+1|k)=CΔx(k+1|k)+y(k)=

CAΔx(k)+CBΔu(k)+y(k)

y(k+2|k)=CΔx(k+2|k)+y(k+1|k)=

(CA2+CA)Δx(k)+y(k)+

(CAB+CB)Δu(k)+CBΔu(k+1)

?

y(k+p|k)=

CΔx(k+p|k)+y(k+p-1|k)=

將預(yù)測輸出(p步)以及輸入(m步)寫成向量的形式：

(13)

(14)

由此可以得到預(yù)測未來p步輸出的預(yù)測方程

Y(k+1|k)=

SΔx(k)+Iyy(k)+QΔU(k)

(15)

式中:

Q=

為求解控制律，選取目標(biāo)函數(shù)如下：

(16)

式中：r為參考軌跡.為方便求解，將式(16)寫成矩陣向量形式

J=‖Γy(Y(k+1|k))-

R(k+1)‖2+‖ΓuΔU(k)‖2

(17)

式中：

Γy=diag(Γy,1,Γy,2,…,Γy,p)

Γu=diag(Γu,1,Γu,2,…,Γu,m)

為方便求解，定義輔助變量

(18)

則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

J=ρTρ

(19)

將式(13)和(14)代入式(18)得

ρ=

Φz-Ω

(20)

E(k+1|k)=

R(k+1)-SΔx(k)-Iyy(k)

(21)

求解問題在于使目標(biāo)函數(shù)最小化，即

minρTρ

(22)

對式(22)求導(dǎo)：

(23)

求得極值解為

z*=(ΦTΦ)-1ΦTΩ

(24)

二階導(dǎo)數(shù)

(25)

所以z*為目標(biāo)函數(shù)取得最小值的解.

則得到k時刻的最優(yōu)控制序列為：

ΔU*(k)=

(26)

根據(jù)模型預(yù)測控制的原理，只有最優(yōu)控制序列的第一個元素作用于系統(tǒng)，即：

(27)

為簡化形式，定義控制增益為

(28)

則控制增量為

Δu(k)=KmpcE(k+1|k)

(29)

可得控制律：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(30)

3 穩(wěn)定性分析

考慮系統(tǒng)的增量模型：

Δx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)

(31)

推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)表達(dá)式，將式(21)和(28)代入式(29)可得

Δu(k)=

Kmpc[R(k+1)-SΔx(k)-Iyy(k)]=

KmpcR(k+1)-KmpcSΔx(k)-KmpcIyCx(k)

(32)

將式(32)代入(31)得

Δx(k+1)=

AΔx(k)+BKmpcR(k+1)-

BKmpcSΔx(k)-BKmpcIyCx(k)=

(A-KmpcS)Δx(k)+

BKmpc[R(k+1)-IyCx(k)]

(33)

由自動控制穩(wěn)定性條件可知，如果矩陣(A-KmpcS)所有特征值都位于單位圓內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)(式(33))是名義漸近穩(wěn)定的.

4 仿真研究

研究如下的SISO系統(tǒng)：

(34)

當(dāng)采樣時間T=0.01 s時，

f(k)=0.5sin(kT)

(35)

(36)

預(yù)測時域p=30，控制時域m=4,

單純的預(yù)測控制仿真結(jié)果如圖1～4所示：單純的預(yù)測控制能夠使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)穩(wěn)定，但面對干擾系統(tǒng)控制不太平穩(wěn)，存在超調(diào)現(xiàn)象，控制輸入的波動也比較大.

圖1 純預(yù)測控制無干擾的輸出Fig.1 Output of predictive control without disturbance

圖2 純預(yù)測控制無干擾的輸入Fig.2 Input of predictive control without disturbance

圖3 純預(yù)測控制有干擾的輸出Fig.3 Output of predictive control with disturbance

圖4 純預(yù)測控制有干擾的輸入Fig.4 Input of predictive control with disturbance

圖5 滑模預(yù)測控制無干擾的輸出Fig.5 Output of sliding mode predictive control without disturbance

圖6 滑模預(yù)測控制無干擾的輸入Fig.6 Input of sliding mode predictive control without disturbance

圖7 滑模預(yù)測控制有干擾的輸出Fig.7 Output of sliding mode predictive control with disturbance

圖8 滑模預(yù)測控制有干擾的輸入Fig.8 Input of sliding mode predictive control with disturbance

5 結(jié)語

滑?？刂坪皖A(yù)測控制算法都是工業(yè)應(yīng)用中比較成熟的控制算法.本文利用滑模控制對干擾的魯棒性和預(yù)測控制能夠利用豐富的動態(tài)信息多步預(yù)測輸出狀態(tài)的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種積分滑模預(yù)測控制算法.該方法結(jié)合了兩種控制算法的優(yōu)點(diǎn)，具有控制平穩(wěn)、超調(diào)量小的優(yōu)點(diǎn)，為處理約束問題和提高控制魯棒性提供了一種新的思路.