高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題的解題技巧

徐海棠

(江蘇省鹽城市第一中學(xué) 224000)

一直以來(lái)，解析幾何問(wèn)題都是高中數(shù)學(xué)考試中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，相較于代數(shù)問(wèn)題，其具有更強(qiáng)的抽象性，很多同學(xué)在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)不能夠準(zhǔn)確把握題目?jī)?nèi)容與基礎(chǔ)條件，不能夠靈活選擇相對(duì)應(yīng)的解題方法與解題技巧.因此，下文主要是結(jié)合常見(jiàn)的集中立體幾何問(wèn)題類(lèi)型，提出相對(duì)應(yīng)的解決方法，講解一些解題技巧，以供參考.

一、中點(diǎn)弦問(wèn)題——幾何與代數(shù)相結(jié)合

“中點(diǎn)弦問(wèn)題”是高中解析幾何問(wèn)題體系中較為常見(jiàn)的類(lèi)型，也是各學(xué)期、年段的期中考試、模擬考試與高考中最容易出現(xiàn)的問(wèn)題形式之一，結(jié)合以往的解題經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，在解析幾何中點(diǎn)弦問(wèn)題中，使用坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化是一種較為常用的解題技巧.很多時(shí)候，同學(xué)們?cè)谌狈λ悸?，不能夠很好地解題的時(shí)候，使用數(shù)形結(jié)合的方法往往能夠在較短的時(shí)間內(nèi)找到解題的“切入點(diǎn)”.在解題過(guò)程中，可以分別把握幾何中作為一般軌跡的圓、圓錐曲線，結(jié)合坐標(biāo)系，探索曲線的對(duì)應(yīng)方程，以此掌握這些方程下的幾何性質(zhì).

例1 已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)是M(2，1)，求弦AB所在直線l的方程.

所以直線l的方程是y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0.

此外，關(guān)于“中點(diǎn)弦問(wèn)題”，還可以使用其他的解題方法，具體還要結(jié)合題目中的基礎(chǔ)條件，以此提高解題正確率與解題效率.

二、軌跡方程問(wèn)題——直接法

圖1

軌跡方程問(wèn)題，就是與幾何軌跡對(duì)應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題.一般情況下，能夠滿(mǎn)足一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形的問(wèn)題可以稱(chēng)之為“軌跡方程問(wèn)題”,或者是符合基礎(chǔ)條件的點(diǎn)的全體所組成集合相關(guān)問(wèn)題，可以看做是“軌跡方程問(wèn)題”.軌跡，可以從兩方面進(jìn)行分析，一方面是在軌跡上的點(diǎn)都符合基礎(chǔ)條件，為軌跡的必要性；另一方面，是不在軌跡上的點(diǎn)都不符合已經(jīng)設(shè)定的基礎(chǔ)條件，這叫做軌跡的充分性.在高中解析幾何問(wèn)題的解題過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)空間軌跡一般都是“曲面”，而平面軌跡一般都是曲線(如圖1).

關(guān)于軌跡方程，同學(xué)們可以通過(guò)“直接法”進(jìn)行求解.所謂“直接法”就是在假設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)條件符合幾何的等量關(guān)系的基礎(chǔ)條件下，同時(shí)基礎(chǔ)條件明確，不需要特殊的解題技巧，可以將幾何關(guān)系通過(guò)“x與y”體現(xiàn)出來(lái)直接得到軌跡方程.

圖2

在使用直接法時(shí)，要遵循以下思路，分別為：①建立坐標(biāo)系；②設(shè)軌跡上的點(diǎn)P(x，y)；③列出動(dòng)點(diǎn)P的相關(guān)關(guān)系式；④結(jié)合條件選用相應(yīng)公式(斜率公式、距離公式)列出方程；⑤證明所求方程就是符合條件的P的軌跡方程.

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Q(2，0)，圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)度與|MQ|之比等于常數(shù)λ，且λ>0.求：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是什么曲線？

此時(shí)，就可以使用上述提到的“直接法”進(jìn)行解題.

三、曲線問(wèn)題——定義法解題

相較于上述的“中點(diǎn)弦問(wèn)題”與“軌跡方程問(wèn)題”，還存在一些幾何問(wèn)題，這些幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)條件更加復(fù)雜，可以統(tǒng)稱(chēng)為“曲線問(wèn)題”，比如：拋物線問(wèn)題、雙曲線問(wèn)題、橢圓問(wèn)題等.定義解題法主要就是在已經(jīng)分析或者說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P的軌跡確實(shí)符合某種特殊曲線基本特征之后，求出特殊曲線的相關(guān)參量數(shù)值，最終得到軌跡方程.

例3 已知兩點(diǎn)A(-8,0)、B(8,0)為△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，AC與BC兩邊的中線長(zhǎng)的和為30，求△ABC的重心軌跡方程.

總之，解析幾何問(wèn)題難度較大，且題型復(fù)雜多變，在解題的過(guò)程中往往需要運(yùn)用到大量的基礎(chǔ)知識(shí)，比如：函數(shù)相關(guān)知識(shí)、坐標(biāo)相關(guān)知識(shí)、向量知識(shí)等，還需要能夠結(jié)合不同類(lèi)型的解析幾何問(wèn)題，選擇合適的解題方法，比如：數(shù)形結(jié)合、直接法、定義法、減少計(jì)算量”原則等，從而提高解析幾何的解題效率，幫助同學(xué)們掌握解析幾何解題技巧.