見微知類 以少勝多
——不等式恒成立問題的常用解法

黃光鑫 武 婷

(四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610000)

眾所周知，不等式恒成立問題是高考數(shù)學(xué)中?？嫉囊环N重要題型，下面我們將選用一個(gè)題來全面介紹這一類題的常用解法，期望能對(duì)讀者有所幫助.

例已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(a+2)x(其中a>0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的x∈(1,+∞)，關(guān)于x的不等式f(x)+2>0恒成立，求a的取值范圍.

②若a=2，則f′(x)≥0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)解法一分類討論(不分離參數(shù)).由(1)知：

②若a≥2,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)0.

綜上所述，a的取值范圍為[1,+∞).

解法二分離參數(shù)之全分離：有時(shí)需要用洛必塔法則處理端點(diǎn)情形.

解法三分離參數(shù)之半分離：先分離參數(shù)再通過切線進(jìn)行放縮.

解法四發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)，先必要后充分.記m(x)=f(x)+2=lnx+ax2-(a+2)x+2.∵m(1)=0,要使m(x)≥0在(1,+∞)上恒成立的一個(gè)必要條件是m′(1)≥0即a≥1.當(dāng)x>1時(shí)x2-x>0，從而a(x2-x)≥x2-x.

∵m(x)=lnx+ax2-(a+2)x+2=lnx+2-2x+a(x2-x)≥lnx+2-2x+(x2-x)=lnx+2-3x+x2.

如果能證明在(1,+∞)上不等式lnx+2-3x+x2>0恒成立，則a的取值范圍就是a≥1.

下面證明在(1,+∞)上不等式lnx+2-3x+x2>0恒成立.記r(x)=lnx+2-3x+x2.

通過以上例題，我們可以看出解決不等式恒成立問題的常用方法有以下幾種：(1)分類討論[不分離參數(shù)]；(2)分離參數(shù)[半分離或全分離]；(3)先必要后充分.當(dāng)然如果是選擇題或填空題也可以采用數(shù)形結(jié)合的方法.希望大家能從這一個(gè)題中悟出這一類題的解法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要力求見微知類，以少勝多， 真正做到從盡可能少的題目中獲得盡可能多的解題規(guī)律！

跟蹤練習(xí)[2016高考新課標(biāo)2文數(shù)]已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.

答案：(1)2x+y-2=0；(2)(-∞,2].

(2)解法一分類討論[不分離參數(shù)].

①當(dāng)a≤2，x∈(1,+∞)時(shí)，x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0 ，故g′(x)>0,g(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增，因此g(x)>0.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,2].

解法三先分離參數(shù)[半分離]，再通過切線進(jìn)行放縮.

函數(shù)y=(x+1)lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程是y=2(x-1).容易證明：當(dāng)x>1時(shí)，(x+1)lnx≥2(x-1)，∴當(dāng)a≤2,x>1時(shí)，a(x-1)≤2(x-1)，從而a(x-1)≤(x+1)lnx在x∈(1,+∞)上恒成立，所以a≤2.