郭志勇
一、問題提出
在學(xué)習(xí)新的原理時(shí),通常需要給學(xué)習(xí)者提供樣例來對(duì)該原理進(jìn)行說明,學(xué)習(xí)者在解決新的問題時(shí)往往要將新問題與先前樣例進(jìn)行類比而尋找解決方法,這是個(gè)類比遷移過程. Holyoak等人指出,類比遷移過程有兩個(gè)主要環(huán)節(jié),第一是類比源的選取,即搜索記憶中可供參考的解決方法或可供參照利用的例子,以確定新問題應(yīng)該用哪個(gè)原理去解決,這個(gè)環(huán)節(jié)稱為原理通達(dá);第二是關(guān)系匹配或一一映射,即把新問題與樣例的各個(gè)部分進(jìn)行匹配產(chǎn)生解決問題的方法,這個(gè)過程稱為原理運(yùn)用.
作為數(shù)學(xué)原理形式之一的數(shù)學(xué)公式,在解題中顯然存在原理通達(dá)和原理運(yùn)用兩個(gè)環(huán)節(jié),但用好這兩個(gè)環(huán)節(jié)并非易事. 一個(gè)典型的例子就是高考解析幾何試題中韋達(dá)定理的運(yùn)用,學(xué)生在直線與圓錐曲線關(guān)系的高考訓(xùn)練中,幾乎是圍繞韋達(dá)定理進(jìn)行,可是,解析幾何仍然圓滿地完成了高考考查的任務(wù),沒有給考生輕易得分機(jī)會(huì). 事實(shí)表明,這兩個(gè)環(huán)節(jié)有著更為復(fù)雜的認(rèn)知過程和表征形式,本文以高考試題為例,以韋達(dá)定理在高考解析幾何試題中的應(yīng)用為載體,從知識(shí)表征角度討論原理通達(dá)和原理運(yùn)用這兩個(gè)環(huán)節(jié),試圖揭示其中的困惑.
二、韋達(dá)定理表征水平解析
心理學(xué)家Ross設(shè)計(jì)的一系列巧妙的樣例實(shí)驗(yàn)表明,在解題時(shí)所遇到問題和學(xué)過的問題的題設(shè)條件相似時(shí),題設(shè)條件明顯地影響原理通達(dá),如果解題者遇到的問題與學(xué)過的問題所“套用”公式的程序一樣時(shí),題設(shè)條件中的隱含條件將影響數(shù)學(xué)原理運(yùn)用,或可致使原理運(yùn)用失敗.
根據(jù)這個(gè)結(jié)論,我們根據(jù)題設(shè)條件將原理通達(dá)劃分為簡(jiǎn)單通達(dá)和復(fù)雜通達(dá)兩個(gè)層次,將原理運(yùn)用劃分為簡(jiǎn)單運(yùn)用和復(fù)雜運(yùn)用兩個(gè)層次. 本文剖析一道高考試題以說明原理通達(dá)和原理運(yùn)用這兩個(gè)環(huán)節(jié). 為行文簡(jiǎn)潔,以下將所引高考試題重新表述,但不改變?cè)囶}結(jié)構(gòu).
引例(2011浙江理21第2問):如圖1,已知拋物線C1 : x2=y,圓C2 : x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M,已知點(diǎn)P是拋物線C1上異于原點(diǎn)的點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A、B兩點(diǎn). 若過M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于直線AB,求直線l的方程.
分析:直接想法是,若按題設(shè)條件直接由過A,B兩點(diǎn)的直線方程聯(lián)立拋物線C1,構(gòu)成一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系,從而完成第一個(gè)環(huán)節(jié)“原理通達(dá)”,但此法顯然行不通.
若挖掘隱含條件以簡(jiǎn)化坐標(biāo)點(diǎn)的設(shè)置,并利用已知半徑加上切線方程構(gòu)成一元二次方程,由此可完成“原理通達(dá)”:
設(shè)點(diǎn)P(t, t2),A(t1, t21),B(t2, t22).
直線PA的方程為y=(t1+t)(x-t)+t2,即(t1+t)x-y-t1 t=0. 由于直線PA與圓C2相切,故=1,化簡(jiǎn)得:
(t2-1)t21+6tt1+15-t2=0.
同理,由直線PB與圓C2相切可得:
(t2-1)t22+6tt2+15-t2=0.
由此我們可將t1,t2視為關(guān)于T的一元二次方程(t2-1)T 2+6tT+15-t2=0的兩根.顯然t≠±1,有t1+t2=-……①.
至此,獲得公式①(根與系數(shù)的關(guān)系),完成類比推理的第一個(gè)環(huán)節(jié)“原理通達(dá)” .
獲得根與系數(shù)關(guān)系后,需將該關(guān)系式用以解題,這個(gè)過程就是“原理運(yùn)用”,引例顯然需要?jiǎng)?chuàng)造條件才能使用公式①:
直線AB的斜率kAB=t1+t2,以及直線l的斜率kl=■,而klkAB=-■·■=-1,解得t2=■,故kl =±■,從而y=±■x+4.
容易觀察到,將直線AB的斜率kAB變形方可應(yīng)用公式①并最終獲得答案,至此,我們完成類比推理的第二個(gè)環(huán)節(jié)“原理運(yùn)用”.
由上分析可知,原理通達(dá)可分為簡(jiǎn)單原理通達(dá)和復(fù)雜原理通達(dá),原理運(yùn)用可分為簡(jiǎn)單原理運(yùn)用和復(fù)雜原理運(yùn)用,據(jù)此可組合成四個(gè)水平的原理通達(dá)與原理運(yùn)用情形:公式簡(jiǎn)單通達(dá)、公式簡(jiǎn)單運(yùn)用,公式簡(jiǎn)單通達(dá)、公式復(fù)雜運(yùn)用,公式復(fù)雜通達(dá)、公式簡(jiǎn)單運(yùn)用,公式復(fù)雜通達(dá)、公式復(fù)雜運(yùn)用. 顯然,引例是公式復(fù)雜通達(dá)、公式復(fù)雜運(yùn)用的水平,下面我們用高考試題解析每個(gè)環(huán)節(jié)的層次性.
三、例析公式表征的4種水平
水平1:公式簡(jiǎn)單通達(dá),公式簡(jiǎn)單運(yùn)用
例1(2016全國Ⅰ理 20第2問):設(shè)圓A: x2+y2+2x-15=0和橢圓C:■+■=1,直線l過點(diǎn)B(1,0)與x軸不重合,且交C于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
簡(jiǎn)單通達(dá):設(shè)M(x1, y1),N(x2, y2 ),直線l為y=k(x-1)(k≠0),
由y=k(x-1)■+■=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
有x1+x2 =■,x1x2 =■,
簡(jiǎn)單運(yùn)用:MN=
■■=■,
過B(1,0)且與l垂直的直線m : y=
-■(x-1),圓A的圓心(-1,0)到m的距離為■,所以PQ=2■=4■,
故S=■MNPQ=12■,
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8■);
當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,MN=3,PQ=8,四邊形MPNQ面積為12.
綜上所述,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8■).
表征水平1較好地吻合相關(guān)的簡(jiǎn)單高考試題,公式通達(dá)表現(xiàn)為根與系數(shù)的關(guān)系直接根據(jù)題設(shè)條件,由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立構(gòu)造出一元二次方程獲得,公式運(yùn)用表現(xiàn)為將距離、中點(diǎn)、垂直和向量等幾何語言直接轉(zhuǎn)換為代數(shù)語言.
水平2:公式簡(jiǎn)單通達(dá),公式復(fù)雜運(yùn)用
例2(2018北京理19第2問):已知拋物線C : y2=4x經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).過點(diǎn)Q(0,1)的直線l不過點(diǎn)(1,-2),且與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.設(shè)O為原點(diǎn),■=λ■,■=μ■,求證:■+■為定值.
簡(jiǎn)單通達(dá):設(shè)A(x1, y1 ),B(x2, y2 ).
由y2=4xy=kx+1,得k2x2+(2k-4)x+1=0,知x1+x2=-■,x1x2=■.
復(fù)雜運(yùn)用:直線PA的方程為y-2=■(x-1).
令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=■+2=■+2.
同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN =■+2.
由■=λ■,■=μ■得λ=1-yM,μ=1-yN .
所以,
■+■=■+■=■+■=■·■=■·■=2.
故■+■為定值.
公式復(fù)雜運(yùn)用是將公式置于更為復(fù)雜的知識(shí)和運(yùn)算技巧中,運(yùn)用過程至少存在兩個(gè)顯著的計(jì)算步驟.
水平3:公式復(fù)雜通達(dá),公式簡(jiǎn)單運(yùn)用
例3(2018浙江21第1問):如圖2,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C : y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸.
復(fù)雜通達(dá):設(shè)P(x0, y0),A(■y21, y1),B(■y22, y2),
因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上,所以y1,y2滿足方程
(■)2=4·■……①.
將①整理得y2-2y0y+8x0-y20=0,有y1+y2=2y0,
簡(jiǎn)單運(yùn)用:由中點(diǎn)為■=y0,可知PM垂直于y軸.
公式復(fù)雜通達(dá)與簡(jiǎn)單通達(dá)的本質(zhì)區(qū)別在于,前者需要較多知識(shí)、技巧和方法參與,后者則是機(jī)械操作.
水平4:公式復(fù)雜通達(dá),公式復(fù)雜運(yùn)用
例4(2010陜西理20第2問):橢圓C : ■+■=1,設(shè)n是過原點(diǎn)O的直線,l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線,■=1,是否存在上述直線l使■·■=1成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
復(fù)雜通達(dá):設(shè)A(x1, y1 ),B(x2, y2),P(x0, y0),
因直線l為單位圓的切線,故設(shè)l的方程為x0 x+y0 y=1,且x20+y20=1,
由x0 x+y0 y=1■+■=1得(3y20+4x20)x2-8x0 x+4-12y20=0,代入y20=1-x20,
得(3+x20)x2-8x0 x+12x20-8=0,
所以x1+x2 =■,x1x2 =■,
復(fù)雜運(yùn)用:當(dāng)y0≠0,y1y2 =■·■=■[1-x0(x1+x2)+x20x1x2]=■.
所以x1x2+y1y2 =■<0 ……?譹?訛,
另一方面,假設(shè)■·■=1,則有■·■=■■=1,由射影定理有AO⊥BO,所以■·■= 0,故x1x2+y1y2 =0 ,與①矛盾.
故這樣的直線不存在.
當(dāng)y0 = 0時(shí),亦有同樣的結(jié)論(略).
四、討論與啟示
如上所知,表征是知識(shí)在人腦中的貯存方式. 根據(jù)上述四個(gè)例子的分析,在數(shù)學(xué)問題解決中公式通達(dá)和公式運(yùn)用這兩個(gè)步驟確實(shí)存在四個(gè)水平,因此,公式應(yīng)該有四種表征形式,其在解題者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中應(yīng)按這四個(gè)水平貯存. 水平1表現(xiàn)為機(jī)械的算法,屬于公式表征的底層認(rèn)知結(jié)構(gòu),其表征(貯存)特點(diǎn)是保證算法流暢. 其余三個(gè)水平中的復(fù)雜通達(dá)和復(fù)雜運(yùn)用往往具有一題一法特征,且由題設(shè)條件間接獲得,亦不再是基本幾何概念和代數(shù)符號(hào)之間的直接轉(zhuǎn)化. 因而,類比推理的公式通達(dá)和運(yùn)用這兩個(gè)步驟需要在挖掘隱含條件的同時(shí)融入認(rèn)知策略.
綜上所述,我們可以得到如下啟示:
(1)豐富學(xué)生公式表征的不同水平,避免在水平1上重復(fù)、持續(xù)訓(xùn)練,同時(shí)避免不顧學(xué)生基礎(chǔ)和理解能力,突然躍至高層級(jí)的表征水平.
(2)幫助學(xué)生由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地適應(yīng)公式的不同應(yīng)用場(chǎng)景,并將這些場(chǎng)景與公式不同表征水平相關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行分類,如水平1中,根與系數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單通達(dá)與直線與圓錐曲線交點(diǎn)直接聯(lián)系,而根與系數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用則是與距離、中點(diǎn)等基本知識(shí)點(diǎn)直接聯(lián)系.
需要指出的是,本文將公式通達(dá)和運(yùn)用描述為簡(jiǎn)單、復(fù)雜兩個(gè)水平比較“粗糙”,可加入更多的“變量”來劃分公式表征水平,如不同知識(shí)板塊或運(yùn)算技巧等.
另外,本文所選試題可能存在更為簡(jiǎn)單或不用韋達(dá)定理的解答思路,如例4:
因?yàn)椋?OA2≥3,BO2≥3,
所以,■·■=■·■=
≥■·■=2>1
故,這樣的直線不存在.
這涉及解題策略的探討,本文不作闡述,需要另行研究.
責(zé)任編輯羅 峰