例析基于類比遷移理論的數(shù)學(xué)公式表征水平

郭志勇

一、問題提出

在學(xué)習(xí)新的原理時(shí)，通常需要給學(xué)習(xí)者提供樣例來對(duì)該原理進(jìn)行說明，學(xué)習(xí)者在解決新的問題時(shí)往往要將新問題與先前樣例進(jìn)行類比而尋找解決方法，這是個(gè)類比遷移過程. Holyoak等人指出，類比遷移過程有兩個(gè)主要環(huán)節(jié)，第一是類比源的選取，即搜索記憶中可供參考的解決方法或可供參照利用的例子，以確定新問題應(yīng)該用哪個(gè)原理去解決，這個(gè)環(huán)節(jié)稱為原理通達(dá);第二是關(guān)系匹配或一一映射，即把新問題與樣例的各個(gè)部分進(jìn)行匹配產(chǎn)生解決問題的方法，這個(gè)過程稱為原理運(yùn)用.

作為數(shù)學(xué)原理形式之一的數(shù)學(xué)公式，在解題中顯然存在原理通達(dá)和原理運(yùn)用兩個(gè)環(huán)節(jié)，但用好這兩個(gè)環(huán)節(jié)并非易事. 一個(gè)典型的例子就是高考解析幾何試題中韋達(dá)定理的運(yùn)用，學(xué)生在直線與圓錐曲線關(guān)系的高考訓(xùn)練中，幾乎是圍繞韋達(dá)定理進(jìn)行，可是，解析幾何仍然圓滿地完成了高考考查的任務(wù)，沒有給考生輕易得分機(jī)會(huì). 事實(shí)表明，這兩個(gè)環(huán)節(jié)有著更為復(fù)雜的認(rèn)知過程和表征形式，本文以高考試題為例，以韋達(dá)定理在高考解析幾何試題中的應(yīng)用為載體，從知識(shí)表征角度討論原理通達(dá)和原理運(yùn)用這兩個(gè)環(huán)節(jié)，試圖揭示其中的困惑.

二、韋達(dá)定理表征水平解析

心理學(xué)家Ross設(shè)計(jì)的一系列巧妙的樣例實(shí)驗(yàn)表明，在解題時(shí)所遇到問題和學(xué)過的問題的題設(shè)條件相似時(shí)，題設(shè)條件明顯地影響原理通達(dá)，如果解題者遇到的問題與學(xué)過的問題所“套用”公式的程序一樣時(shí)，題設(shè)條件中的隱含條件將影響數(shù)學(xué)原理運(yùn)用，或可致使原理運(yùn)用失敗.

根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們根據(jù)題設(shè)條件將原理通達(dá)劃分為簡(jiǎn)單通達(dá)和復(fù)雜通達(dá)兩個(gè)層次，將原理運(yùn)用劃分為簡(jiǎn)單運(yùn)用和復(fù)雜運(yùn)用兩個(gè)層次. 本文剖析一道高考試題以說明原理通達(dá)和原理運(yùn)用這兩個(gè)環(huán)節(jié). 為行文簡(jiǎn)潔，以下將所引高考試題重新表述，但不改變?cè)囶}結(jié)構(gòu).

引例（2011浙江理21第2問）：如圖1，已知拋物線C1 ： x2=y，圓C2 ： x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M，已知點(diǎn)P是拋物線C1上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A、B兩點(diǎn). 若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于直線AB，求直線l的方程.

分析：直接想法是，若按題設(shè)條件直接由過A，B兩點(diǎn)的直線方程聯(lián)立拋物線C1，構(gòu)成一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而完成第一個(gè)環(huán)節(jié)“原理通達(dá)”，但此法顯然行不通.

若挖掘隱含條件以簡(jiǎn)化坐標(biāo)點(diǎn)的設(shè)置，并利用已知半徑加上切線方程構(gòu)成一元二次方程，由此可完成“原理通達(dá)”：

設(shè)點(diǎn)P（t， t2），A（t1， t21），B（t2， t22）.

直線PA的方程為y=（t1+t）（x-t）+t2，即（t1+t）x-y-t1 t=0. 由于直線PA與圓C2相切，故=1，化簡(jiǎn)得：

（t2-1）t21+6tt1+15-t2=0.

同理，由直線PB與圓C2相切可得：

（t2-1）t22+6tt2+15-t2=0.

由此我們可將t1，t2視為關(guān)于T的一元二次方程（t2-1）T 2+6tT+15-t2=0的兩根.顯然t≠±1，有t1+t2=-……①.

至此，獲得公式①（根與系數(shù)的關(guān)系），完成類比推理的第一個(gè)環(huán)節(jié)“原理通達(dá)” .

獲得根與系數(shù)關(guān)系后，需將該關(guān)系式用以解題，這個(gè)過程就是“原理運(yùn)用”，引例顯然需要?jiǎng)?chuàng)造條件才能使用公式①：

直線AB的斜率kAB=t1+t2，以及直線l的斜率kl=■，而klkAB=-■·■=-1，解得t2=■，故kl =±■，從而y=±■x+4.

容易觀察到，將直線AB的斜率kAB變形方可應(yīng)用公式①并最終獲得答案，至此，我們完成類比推理的第二個(gè)環(huán)節(jié)“原理運(yùn)用”.

由上分析可知，原理通達(dá)可分為簡(jiǎn)單原理通達(dá)和復(fù)雜原理通達(dá)，原理運(yùn)用可分為簡(jiǎn)單原理運(yùn)用和復(fù)雜原理運(yùn)用，據(jù)此可組合成四個(gè)水平的原理通達(dá)與原理運(yùn)用情形：公式簡(jiǎn)單通達(dá)、公式簡(jiǎn)單運(yùn)用，公式簡(jiǎn)單通達(dá)、公式復(fù)雜運(yùn)用，公式復(fù)雜通達(dá)、公式簡(jiǎn)單運(yùn)用，公式復(fù)雜通達(dá)、公式復(fù)雜運(yùn)用. 顯然，引例是公式復(fù)雜通達(dá)、公式復(fù)雜運(yùn)用的水平，下面我們用高考試題解析每個(gè)環(huán)節(jié)的層次性.

三、例析公式表征的4種水平

水平1：公式簡(jiǎn)單通達(dá)，公式簡(jiǎn)單運(yùn)用

例1（2016全國Ⅰ理 20第2問）：設(shè)圓A： x2+y2+2x-15=0和橢圓C：■+■=1，直線l過點(diǎn)B（1，0）與x軸不重合，且交C于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

簡(jiǎn)單通達(dá)：設(shè)M（x1， y1），N（x2， y2 ），直線l為y=k（x-1）（k≠0），

由y=k（x-1）■+■=1得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

有x1+x2 =■，x1x2 =■，

簡(jiǎn)單運(yùn)用：MN=

■■=■，

過B（1，0）且與l垂直的直線m ： y=

-■（x-1），圓A的圓心（-1，0）到m的距離為■，所以PQ=2■=4■，

故S=■MNPQ=12■，

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為（12，8■）;

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=1，MN=3，PQ=8，四邊形MPNQ面積為12.

綜上所述，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8■）.

表征水平1較好地吻合相關(guān)的簡(jiǎn)單高考試題，公式通達(dá)表現(xiàn)為根與系數(shù)的關(guān)系直接根據(jù)題設(shè)條件，由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立構(gòu)造出一元二次方程獲得，公式運(yùn)用表現(xiàn)為將距離、中點(diǎn)、垂直和向量等幾何語言直接轉(zhuǎn)換為代數(shù)語言.

水平2：公式簡(jiǎn)單通達(dá)，公式復(fù)雜運(yùn)用

例2（2018北京理19第2問）：已知拋物線C ： y2=4x經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）.過點(diǎn)Q（0，1）的直線l不過點(diǎn)（1，-2），且與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.設(shè)O為原點(diǎn)，■=λ■，■=μ■，求證：■+■為定值.

簡(jiǎn)單通達(dá)：設(shè)A（x1， y1 ），B（x2， y2 ）.

由y2=4xy=kx+1，得k2x2+（2k-4）x+1=0，知x1+x2=-■，x1x2=■.

復(fù)雜運(yùn)用：直線PA的方程為y-2=■（x-1）.

令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=■+2=■+2.

同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN =■+2.

由■=λ■，■=μ■得λ=1-yM，μ=1-yN .

所以，

■+■=■+■=■+■=■·■=■·■=2.

故■+■為定值.

公式復(fù)雜運(yùn)用是將公式置于更為復(fù)雜的知識(shí)和運(yùn)算技巧中，運(yùn)用過程至少存在兩個(gè)顯著的計(jì)算步驟.

水平3：公式復(fù)雜通達(dá)，公式簡(jiǎn)單運(yùn)用

例3（2018浙江21第1問）：如圖2，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線C ： y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸.

復(fù)雜通達(dá)：設(shè)P（x0， y0），A（■y21， y1），B（■y22， y2），

因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1，y2滿足方程

（■）2=4·■……①.

將①整理得y2-2y0y+8x0-y20=0，有y1+y2=2y0，

簡(jiǎn)單運(yùn)用：由中點(diǎn)為■=y0，可知PM垂直于y軸.

公式復(fù)雜通達(dá)與簡(jiǎn)單通達(dá)的本質(zhì)區(qū)別在于，前者需要較多知識(shí)、技巧和方法參與，后者則是機(jī)械操作.

水平4：公式復(fù)雜通達(dá)，公式復(fù)雜運(yùn)用

例4（2010陜西理20第2問）：橢圓C ： ■+■=1，設(shè)n是過原點(diǎn)O的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，■=1，是否存在上述直線l使■·■=1成立？若存在，求出直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.

復(fù)雜通達(dá)：設(shè)A（x1， y1 ），B（x2， y2），P（x0， y0），

因直線l為單位圓的切線，故設(shè)l的方程為x0 x+y0 y=1，且x20+y20=1，

由x0 x+y0 y=1■+■=1得（3y20+4x20）x2-8x0 x+4-12y20=0，代入y20=1-x20，

得（3+x20）x2-8x0 x+12x20-8=0，

所以x1+x2 =■，x1x2 =■，

復(fù)雜運(yùn)用：當(dāng)y0≠0，y1y2 =■·■=■[1-x0（x1+x2）+x20x1x2]=■.

所以x1x2+y1y2 =■<0 ……？譹？訛，

另一方面，假設(shè)■·■=1，則有■·■=■■=1，由射影定理有AO⊥BO，所以■·■= 0，故x1x2+y1y2 =0 ，與①矛盾.

故這樣的直線不存在.

當(dāng)y0 = 0時(shí)，亦有同樣的結(jié)論（略）.

四、討論與啟示

如上所知，表征是知識(shí)在人腦中的貯存方式. 根據(jù)上述四個(gè)例子的分析，在數(shù)學(xué)問題解決中公式通達(dá)和公式運(yùn)用這兩個(gè)步驟確實(shí)存在四個(gè)水平，因此，公式應(yīng)該有四種表征形式，其在解題者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中應(yīng)按這四個(gè)水平貯存. 水平1表現(xiàn)為機(jī)械的算法，屬于公式表征的底層認(rèn)知結(jié)構(gòu)，其表征（貯存）特點(diǎn)是保證算法流暢. 其余三個(gè)水平中的復(fù)雜通達(dá)和復(fù)雜運(yùn)用往往具有一題一法特征，且由題設(shè)條件間接獲得，亦不再是基本幾何概念和代數(shù)符號(hào)之間的直接轉(zhuǎn)化. 因而，類比推理的公式通達(dá)和運(yùn)用這兩個(gè)步驟需要在挖掘隱含條件的同時(shí)融入認(rèn)知策略.

綜上所述，我們可以得到如下啟示：

（1）豐富學(xué)生公式表征的不同水平，避免在水平1上重復(fù)、持續(xù)訓(xùn)練，同時(shí)避免不顧學(xué)生基礎(chǔ)和理解能力，突然躍至高層級(jí)的表征水平.

（2）幫助學(xué)生由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地適應(yīng)公式的不同應(yīng)用場(chǎng)景，并將這些場(chǎng)景與公式不同表征水平相關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行分類，如水平1中，根與系數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單通達(dá)與直線與圓錐曲線交點(diǎn)直接聯(lián)系，而根與系數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用則是與距離、中點(diǎn)等基本知識(shí)點(diǎn)直接聯(lián)系.

需要指出的是，本文將公式通達(dá)和運(yùn)用描述為簡(jiǎn)單、復(fù)雜兩個(gè)水平比較“粗糙”，可加入更多的“變量”來劃分公式表征水平，如不同知識(shí)板塊或運(yùn)算技巧等.

另外，本文所選試題可能存在更為簡(jiǎn)單或不用韋達(dá)定理的解答思路，如例4：

因?yàn)椋?OA2≥3，BO2≥3，

所以，■·■=■·■=

≥■·■=2>1

故，這樣的直線不存在.

這涉及解題策略的探討，本文不作闡述，需要另行研究.

責(zé)任編輯羅 峰