捻制系數(shù)不等式的建立及證明

沈志軍， 佟玉飛， 趙憲海， 彭桂嘉， 魏曉旭

（1.咸陽(yáng)寶石鋼管鋼繩有限公司， 陜西 咸陽(yáng)712000； 2.鞍鋼鋼繩有限責(zé)任公司， 遼寧 鞍山114000）

0 引言

用戶根據(jù)工況和設(shè)備參數(shù)，可確定鋼繩使用直徑，然后將數(shù)據(jù)提供給鋼繩生產(chǎn)商，以便生產(chǎn)商制造鋼繩.然而鋼繩是由數(shù)百根鋼絲甚至上千根鋼絲捻制而成，所以鋼繩一般不采用一次捻制. 生產(chǎn)中，鋼繩通用制造方法包括捻股和合繩等生產(chǎn)階段. 制造過(guò)程會(huì)引入一個(gè)未知的股直徑參數(shù)，然后才能用股合成鋼繩. 這種由繩直徑倒推股直徑參數(shù)的比例系數(shù)一般稱為捻制系數(shù). 鋼繩設(shè)計(jì)中，工程師特別關(guān)注捻制系數(shù)的取值，根據(jù)文［1－2］可知，捻制系數(shù)計(jì)算涉及一元四次方程求解，對(duì)于工程師而言，求解一元四次方程是困難的工作. 為計(jì)算捻制系數(shù)，文［3］求解了捻制系數(shù)的理論計(jì)算公式.

鋼繩工作者指出如下問(wèn)題：盡管文［3］已證明理論公式，但利用計(jì)算器等工具計(jì)算捻制系數(shù)并不容易，若能給出捻制系數(shù)下限也特別有意義. 因此，本文討論了捻制系數(shù)不等式的建立過(guò)程，并給出了證明.

1 捻制系數(shù)精確解

為描述方便并兼顧鋼繩工業(yè)的習(xí)慣，約定捻制系數(shù)為m，中心角為φ（φ是銳角），捻距倍數(shù)為K（K＞π），股根數(shù)為N，π（圓周率）為常數(shù)，捻角為α.

文［1］中，參數(shù)關(guān)系如下

字符除m外，其他字符為已知常量，且各參數(shù)均為正值. m的理論計(jì)算式即［3］

2 捻制系數(shù)下限

實(shí)際中，如果將鋼絲不經(jīng)過(guò)捻制而直接放在一起，則有K→＋∞，此時(shí)可給出m的下限［4］，如下所述.

當(dāng)K→＋∞，則

3 建立捻制系數(shù)不等式

2011 年，在理論分析的基礎(chǔ)上，筆者曾在《不等式研究通訊》中提出：

筆者稱式（7）為捻制系數(shù)不等式.

4 證明捻制系數(shù)不等式

在北京師范大學(xué)物理學(xué)系白在橋教授的指導(dǎo)下，筆者證明了式（7）.

4. 1 證明方法的形成

注意式（7）中的m（K，N）來(lái)自于式（1），因此

式（8）中，若f（m）＝0，則

設(shè)式（9）等式左邊的四次函數(shù)為L(zhǎng)（m），再設(shè)右邊的二次函數(shù)為R（m）.將L（m）與R（m）畫在一個(gè)坐標(biāo)系，見(jiàn)圖1.圖中用φ＝π／6、K＝3.15 演示.

根據(jù)圖1 可見(jiàn)： 1）函數(shù)L（m）的4 個(gè)根，依次為－（1－sinφ）／sinφ、0、0、（1＋sinφ）／sinφ； 2）當(dāng)0＜m＜（1＋sinφ）／sinφ，L（m）＜0. f（m）＝0 有兩實(shí)根m1、m2，兩根數(shù)值：m1＜（－1＋sinφ）／sinφ，m2＞（1＋sinφ）／sinφ，可見(jiàn)含有m2的不等式就是捻制系數(shù)不等式.

據(jù)此需要分析的f（m）各階導(dǎo)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，然后根據(jù)零點(diǎn)定理證明捻制系數(shù)不等式.

圖1 二次函數(shù)R（m）與四次函數(shù)L（m）的仿真

4. 2 f（m）各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)性質(zhì)

為方便討論，約定m?＝（1＋sinφ）／sinφ，根據(jù)式（1）得［5］

當(dāng)m＞m?時(shí)，有f ?（m）＞0，則f ″（m）為增函數(shù).因此，

即m＞m?時(shí)，有f ″（m）＞0.

改寫式（10）中f ′（m?），即

其中：g（m?）＝2K2m?2－3K2m?－cot2φ（K2＋π2）.

如果g（m?）＞0，則f ′（m?）＞0.實(shí)際上，

即f ′（m?）＞0.

因此，K＞π 且m＞m?時(shí)，f（m）為增函數(shù).另一方面，f（m）各階導(dǎo)數(shù)均為多項(xiàng)式，根據(jù)高等數(shù)學(xué)可知連續(xù).

綜上所述，K＞π 且m＞m?時(shí)，f ?（m）＞0，f ″（m）＞0，f ′（m）＞0；f ?（m）、f ″（m）、f ′（m）以及f（m）為增函數(shù)且連續(xù).將m?代入可知f（m?）＜0，而f（＋∞）＞0.因此根據(jù)零點(diǎn)定理，存在m∈（m?，＋∞）使得f（m）＝0，即式（7）成立.

5 推廣捻制系數(shù)不等式

近期，在微分幾何基礎(chǔ)上，筆者建立鋼絲繩參數(shù)關(guān)聯(lián)因子n的概念［6］.經(jīng)過(guò)咸陽(yáng)寶石公司多位工程師的努力［7－8］，發(fā)現(xiàn)n和m存在函數(shù)關(guān)系.因此，筆者對(duì)于捻制系數(shù)不等式的證明有了新理解，此外推廣了捻制系數(shù)不等式.

5.1 捻制系數(shù)下限的簡(jiǎn)單證明

在式（9）中，令K→＋∞，可得

注意到m＞0，可得

為了直觀說(shuō)明5.1 的含義，見(jiàn)圖2.

圖2 直接說(shuō)明了本文建立的捻制系數(shù)不等式的含義.

圖2 N 與K 對(duì)m 的影響示意圖

5.2 推廣捻制系數(shù)不等式

鋼絲繩參數(shù)關(guān)聯(lián)因子含有很多對(duì)稱性，受n啟發(fā)，建立推廣的捻制系數(shù)不等式.

其中：Δ 與式（2）相同.除m1外，其他字符為已知常量，且各參數(shù)均為正值，則

5.3 兩類捻制系數(shù)不等式的統(tǒng)一證明

將式（9）變形為

在m∈R、K＞π 下，

則

式（23）的正確性可用文［3］的數(shù)據(jù)檢驗(yàn).

必須指出：式（23）對(duì)于認(rèn)識(shí)鋼絲繩參數(shù)關(guān)聯(lián)因子n有重要意義.式（23）反映出與n相關(guān)參數(shù)具有函數(shù)對(duì)稱性.筆者曾和孫冠工程師猜測(cè)：除了實(shí)數(shù)表達(dá)式，n具有復(fù)數(shù)表達(dá)式.根據(jù)文［3］，關(guān)于m的一元四次方程有2 個(gè)實(shí)根、2 個(gè)復(fù)數(shù)根，而n與m存在函數(shù)關(guān)系，即通過(guò)m可直接說(shuō)明前述猜測(cè)正確.

6 討論

工程不等式背景深刻且應(yīng)用廣泛，它值得理論工作者關(guān)注，文［9］給出了一些工程不等式的例子.工程中的不等式對(duì)于產(chǎn)品質(zhì)量控制等方面有積極意義，解決工程中與不等式相關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)涉及不同的數(shù)學(xué)分支，它是很好的應(yīng)用數(shù)學(xué)方向.美國(guó)勞倫斯實(shí)驗(yàn)室的邵美悅老師曾對(duì)筆者說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)證明過(guò)程有助于理解工程結(jié)果的合理性.捻制系數(shù)不等式左邊表示m的“實(shí)際值”，而右側(cè)表示m的“理論值”.捻制系數(shù)不等式表明：理論的鋼繩捻制系數(shù)m影響因素少于生產(chǎn)中的，即生產(chǎn)中不可以忽略捻制對(duì)鋼繩的影響.通過(guò)捻制系數(shù)不等式的證明，筆者深刻體會(huì)了邵老師的觀點(diǎn).

致謝感謝陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院孫越老師的指導(dǎo).