《線性代數(shù)》課程混合式教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

閻昕明， 田德路， 張然然

（廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州510303）

0 引言

《線性代數(shù)》是高等院校理工類和經(jīng)管類專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程. 關(guān)于該課程的改革、教學(xué)方法等研究受到了學(xué)者們的普遍關(guān)注［1－2］. 隨著大學(xué)課程在線學(xué)習(xí)平臺(tái)和信息化教學(xué)手段的廣泛發(fā)展和取得的良好教學(xué)效果，有學(xué)者針對已上線的線性代數(shù)在線開放課程予以介紹［3］，也有對課前以在線學(xué)習(xí)引領(lǐng)線性代數(shù)課堂教學(xué)的混合式教學(xué)的研究［4］， 以計(jì)算思維驅(qū)動(dòng)線性代數(shù)的現(xiàn)代教學(xué)和課程改革的研究［5］，以及線性代數(shù)課程中可視化教學(xué)案例的研究［6］等，但對基于在線學(xué)習(xí)平臺(tái)的線性代數(shù)課程混合式教學(xué)的具體教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的研究尚未見到.

在傳統(tǒng)授課模式下，線性代數(shù)課堂教學(xué)存在一些難以逾越的困境. 例如，在一個(gè)約60 人的授課班級(jí)里，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)存在著明顯的差異，認(rèn)知水平、理解能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣都有較大的不同，教師很難顧及到每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，導(dǎo)致有些學(xué)生“吃不飽”，有些學(xué)生“吃不著”，教學(xué)效果難以達(dá)到理想的水平. 另外，大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程普遍進(jìn)度快、坡度大、概念強(qiáng)，外延知識(shí)較多［7］，僅憑借課堂教師的教學(xué)，難以最大程度地傳授知識(shí). 因此針對類似線性代數(shù)的課程，在線開放平臺(tái)的利用和線上線下多種混合教學(xué)渠道將有利于解決教學(xué)活動(dòng)中規(guī)模化與個(gè)性化之間的矛盾，并提供課前、課中和課后多種教學(xué)形態(tài)，滿足不同學(xué)習(xí)程度學(xué)生的需要.

鑒于利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)的教學(xué)與傳統(tǒng)意義上的教學(xué)在教學(xué)過程、教學(xué)方法和師生互動(dòng)等方面存在明顯差異，作為一線教師如何最大程度地利用好信息化手段服務(wù)教學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)方案的制定和實(shí)施就顯得尤為重要. 本文將從學(xué)情與教材分析、課前、課中、課后和教學(xué)反思5 個(gè)方面來制定和實(shí)施基于在線學(xué)習(xí)平臺(tái)的線性代數(shù)課程線上線下混合式教學(xué)設(shè)計(jì)方案.

1 《線性代數(shù)》課程混合式教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.1 學(xué)情與教材分析

在線學(xué)習(xí)平臺(tái)的真正價(jià)值在于輔助課堂教學(xué)并實(shí)現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達(dá)到甚至達(dá)不到的教學(xué)效果.因此，線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)須先進(jìn)行學(xué)情分析和教材分析.

1.1.1 學(xué)情分析

《線性代數(shù)》課程教學(xué)對象為大學(xué)一年級(jí)非數(shù)學(xué)專業(yè)理工科學(xué)生，他們有強(qiáng)烈的好奇心、認(rèn)知的敏銳性，具備一定的自學(xué)能力和對基本概念的理解能力，但仍欠缺大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯思維能力和深入分析問題的能力. 因此，針對各節(jié)教學(xué)內(nèi)容，教師可借助學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)幫助其理解概念. 為了增強(qiáng)學(xué)生的求知欲，教師在教學(xué)中可創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性、新穎有趣的數(shù)學(xué)問題，并以微課和網(wǎng)上答疑的形式給出解決該問題的思路和方法.

針對學(xué)情，教師要“身臨其境”為學(xué)生著想，基于線性代數(shù)課程分析如何從學(xué)生角度出發(fā)，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，充分利用在線開放課程獲得更多知識(shí)； 巧設(shè)教學(xué)內(nèi)容，“知行合一”探索教學(xué)設(shè)計(jì)改革； 通過上一章節(jié)作業(yè)的在線反饋數(shù)據(jù)，精確地了解學(xué)生對上一節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握情況等.

1.1.2 教材分析

教材在線性代數(shù)課程的教學(xué)中有很重要的作用，在線性代數(shù)課程混合式教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要認(rèn)真分析和研究、理解和掌握教材內(nèi)容，進(jìn)而靈活地運(yùn)用、組織和處理教材，合理地劃分線上和線下教學(xué)內(nèi)容. 首先，教師應(yīng)充分分析教材中知識(shí)發(fā)生的前因后果，例如“行列式”一節(jié)引入二階和三階行列式，是以加強(qiáng)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接為目的； 又如先引進(jìn)矩陣的初等變換和秩的概念，藉此建立線性方程組有唯一解和無窮多解的充要條件，解決線性方程組的求解問題. 其次，教師通過教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)分析，確定教學(xué)中需發(fā)布在平臺(tái)用于引入課程的材料，從而建立合理的課程結(jié)構(gòu)并確定重難點(diǎn). 例如“向量的正交性”一節(jié)共涉及4 個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)正交基、施密特正交化方法、正交矩陣和正交變換. 教學(xué)重點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念和應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)是施密特正交化方法的推導(dǎo)過程. 通過分析教材，確定該節(jié)課程的結(jié)構(gòu)：基本概念可以放在課前導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)中，利用導(dǎo)學(xué)案或微課的形式線上推送； 教材中關(guān)于施密特正交化的幾何展示可在課中用多媒體演示，這更利于學(xué)生形象理解； 由于時(shí)間有限，教材中關(guān)于施瓦茨不等式的證明可留作課后練習(xí)并以網(wǎng)上推送證明過程的方式解答； 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基有何優(yōu)勢可作為開放性思考題在課后以微課的形式展示并留言互動(dòng).

針對教材，教師要分析本節(jié)教材的哪些內(nèi)容適合設(shè)計(jì)為在線開放課程的預(yù)習(xí)微課，哪些內(nèi)容適合情景創(chuàng)設(shè)教學(xué)，哪些內(nèi)容適合課后討論型微課，哪些內(nèi)容可以推送給學(xué)生作為課外學(xué)習(xí)資源等.

在學(xué)情與教材分析環(huán)節(jié)，教師通過深挖教材，以培養(yǎng)學(xué)生能力為目標(biāo)，確定課程的教學(xué)目標(biāo)、完成課程所需的學(xué)時(shí)以及設(shè)計(jì)課程結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)活動(dòng)來整合線上線下學(xué)習(xí)，從而促成教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).

1.2 課前導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)

在線學(xué)習(xí)平臺(tái)是利用信息化手段開發(fā)的教學(xué)資源，可供學(xué)生在線觀看和學(xué)習(xí). 針對線性代數(shù)課前導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)部分， 學(xué)生可在線閱覽教學(xué)資源，完成課前測試（多數(shù)章節(jié)配有導(dǎo)學(xué)案或知識(shí)點(diǎn)微課供學(xué)生課前觀看，生動(dòng)易懂，便于理解）. 根據(jù)上一節(jié)課后作業(yè)的完成情況，教師可適時(shí)調(diào)整課前預(yù)習(xí)內(nèi)容，合理應(yīng)用技術(shù)以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí).

例1“矩陣的運(yùn)算”一節(jié)的課前導(dǎo)學(xué)案見表1.

表1 矩陣與行列式的區(qū)別

例2“向量的正交性”一節(jié)的課前教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)如下.

第一部分以微課的形式介紹解析幾何中內(nèi)積的概念、性質(zhì)以及由此內(nèi)積定義的長度、角度，啟發(fā)學(xué)生能否將此內(nèi)積性質(zhì)抽象化，得到數(shù)學(xué)上一般的內(nèi)積概念的定義. 第二部分以線上導(dǎo)學(xué)案的形式給出本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)，具體見表2.

表2 “向量的正交性”導(dǎo)學(xué)案

在課前環(huán)節(jié)，學(xué)生通過導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容并檢測認(rèn)知水平； 教師通過線上反饋掌握學(xué)生學(xué)習(xí)情況，為高效的課堂教學(xué)奠定基礎(chǔ).

1.3 課中探究學(xué)習(xí)、實(shí)時(shí)檢測

教師在授課過程中可借助線上信息化教學(xué)資源讓教學(xué)內(nèi)容直觀化、動(dòng)態(tài)化和多元化，這有助于學(xué)生領(lǐng)會(huì)教學(xué)內(nèi)容. 根據(jù)課程特點(diǎn)，線性代數(shù)教學(xué)中常見的信息化教學(xué)資源有：動(dòng)畫（二維或三維）、在線資源庫、思維導(dǎo)圖、線上實(shí)時(shí)檢測試卷和二維碼實(shí)時(shí)互動(dòng)等. 在具體的制定和實(shí)施課中教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要注意設(shè)計(jì)的內(nèi)容和形式是為了更好地解決當(dāng)下的教學(xué)問題，改善教學(xué)效果.

例3“向量的正交性”一節(jié)的課中教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)如下.

1）在學(xué)生課前線上預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，教師要著重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)上向量內(nèi)積的一般定義. 在講解定義的過程中強(qiáng)調(diào)內(nèi)積是一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，2 個(gè)向量作內(nèi)積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，不再是向量. 內(nèi)積的正定性常常用于證明一個(gè)向量是零向量.

2）給出施瓦茨不等式，證明留作課后微課擴(kuò)展學(xué)習(xí).

3）動(dòng)畫演示向量的正交性和線性相關(guān)性之間的關(guān)系.

4）給出標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義，結(jié)合定義給出判斷標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件，即設(shè)n維向量e1，e2，…，er是向量空間V（?Rn）的一個(gè)基，則e1，e2，…，er是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是

注意結(jié)合幾何圖形演示：三維幾何空間中的基就是坐標(biāo)系的坐標(biāo)向量，標(biāo)準(zhǔn)正交基就是直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)向量.

5）請同學(xué)們思考為什么在給向量空間取基時(shí)常常要取標(biāo)準(zhǔn)正交基，即標(biāo)準(zhǔn)正交基有何優(yōu)勢？ 針對這一思考題，學(xué)生課后可在充分自主探究后觀看線上微課.

6）幾何圖形演示二維和三維空間中的施密特正交化方法（如圖1 和圖2 所示），易于學(xué)生理解和記憶［8］.

7）板書講解例題，有助于學(xué)生領(lǐng)悟解題過程和掌握解題技巧.

8）講解正交矩陣和正交變換的定義和性質(zhì)，關(guān)于正交矩陣和正交變換的擴(kuò)展內(nèi)容可留作課后線上閱讀材料.

9）本節(jié)涉及的知識(shí)點(diǎn)較多， 課上可借助思維導(dǎo)圖總結(jié)，如圖3 所示.

10）借助線上教學(xué)工具設(shè)計(jì)練習(xí)題，題型為選擇題或填空題，用于實(shí)時(shí)檢測本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生可借助電子終端設(shè)備作答，具體題目見表3.

在課中環(huán)節(jié)，教師充分利用線上可視化教學(xué)手段設(shè)計(jì)該節(jié)教學(xué)內(nèi)容，可有效地幫助學(xué)生梳理線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)概念、理解推導(dǎo)過程和建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)用等.

圖1 二維空間中的施密特正交化方法

圖2 三維空間中的施密特正交化方法

圖3 “向量的正交性”一節(jié)思維導(dǎo)圖總結(jié)

1.4 課后微課輔導(dǎo)、答疑互動(dòng)、批閱作業(yè)

在線開放課程為課后閱讀、釋疑和擴(kuò)展訓(xùn)練帶來了豐富的交流渠道，由單一的線下交流變?yōu)榫€上、線下多途徑交流，這為學(xué)生提供了更多的互助溝通的機(jī)會(huì)，提高了學(xué)生的表達(dá)能力和分析解決數(shù)學(xué)問題的能力. 鑒于線性代數(shù)中各章節(jié)的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，學(xué)生還可利用線上工具自主完成一節(jié)或一章內(nèi)容的意義建構(gòu)，他們在整合知識(shí)、充分思考后更樂于觀看和參與微課討論活動(dòng). 同時(shí)，信息技術(shù)成為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的資源收集、建構(gòu)以及分析的工具，例如基于Maple T.A.系統(tǒng)的在線進(jìn)階測試，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)，前一環(huán)節(jié)的測試完成才可進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的測試，這有利于強(qiáng)化學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)［8］.根據(jù)線性代數(shù)各章節(jié)涉及的相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展背景，課后可增加前沿領(lǐng)域的相關(guān)介紹和聯(lián)系生活實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生具有較寬的數(shù)學(xué)知識(shí)面.

表3 “向量的正交性”課堂在線練習(xí)題

例4“矩陣的運(yùn)算”一節(jié)課后線上題目如下.

假設(shè)某只股票的行情有3 種狀態(tài)：漲、跌、停， 如果這只股票今天跌，則明天漲的概率為1／2，跌的概率為1／4，停的概率也為1／4. 如果這只股票今天漲或停，則明天行情會(huì)出現(xiàn)另外的概率，如表4 所示.

表4 股票行情分析

我們將這些概率排成一個(gè)矩陣，設(shè)

已知這只股票今天漲、跌、停的概率可寫為

請問這只股票明天漲、跌、停的概率是多少？

該題目通過將矩陣乘法運(yùn)算應(yīng)用在預(yù)測股票行情的實(shí)際問題上，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決生活實(shí)際問題的能力.

例5“向量的正交性”一節(jié)的課后教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)如下.

1）創(chuàng)設(shè)思考題.為什么我們在給向量空間取基時(shí)常常取標(biāo)準(zhǔn)正交基？ 即標(biāo)準(zhǔn)正交基有何優(yōu)勢？ 設(shè)計(jì)微課內(nèi)容：首先，教師針對研究該問題所需的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧.其次，逐步探討標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)勢，盡可能詳盡地為學(xué)生展示推導(dǎo)過程，并給學(xué)生預(yù)留分析的空間.再次，用通俗易懂的語言對標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)勢進(jìn)行小結(jié)：在標(biāo)準(zhǔn)正交基下一個(gè)向量的坐標(biāo)可由內(nèi)積得出； 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下計(jì)算2 個(gè)向量的內(nèi)積最簡單，進(jìn)而計(jì)算向量的長度、2 個(gè)向量的距離等度量性質(zhì)也簡單； 由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣有特殊形式，是正交矩陣.最后針對這一開放性問題提出：若同學(xué)們找到更多的優(yōu)勢可以留言互動(dòng).

2）線上閱讀材料.材料1：歐式空間V 中的正交變換只包含：旋轉(zhuǎn)、反射以及旋轉(zhuǎn)加反射的組合（即瑕旋轉(zhuǎn)），分別對這3 種幾何直觀予以介紹； 材料2：正交矩陣的一些性質(zhì)和證明； 材料3：施瓦茨不等式的證明.

3）除了書本習(xí)題作業(yè)以外，線上創(chuàng)設(shè)有一定難度的題目.如：“一組向量α1，α2，…，αn的格拉姆行列式是這組向量的關(guān)于內(nèi)積的對稱矩陣的行列式，即

設(shè)α1，α2，…，αn是向量空間V 的一個(gè)線性無關(guān)向量組，β1，β2，…，βn是由α1，α2，…，αn通過施密特正交化所得的向量，證明這2 個(gè)向量組的格拉姆行列式相等.”

在課后環(huán)節(jié)，教師充分利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)投放閱讀材料，以彌補(bǔ)學(xué)有余地的學(xué)生課上知識(shí)量獲取的不足. 錄制的教學(xué)微視頻有助于學(xué)生完成知識(shí)整合，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)碎片有效聚合，形成系統(tǒng). 創(chuàng)設(shè)的思考題有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高他們的自我效能感.

1.5 教學(xué)反思

因?yàn)榛谠诰€開放課程的線性代數(shù)課程混合教學(xué)模式的開展還處于探索階段，所以教學(xué)設(shè)計(jì)中有必要通過教學(xué)反思部分審視教學(xué)環(huán)節(jié)的合理性和必要性，從而不斷地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)手段和創(chuàng)新教學(xué)模式.

例6 “向量的正交性”一節(jié)的教學(xué)反思如下.

課前線上微課和導(dǎo)學(xué)案的預(yù)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，也節(jié)省課時(shí). 課中利用線上多媒體直觀性展示說明性質(zhì)、定理和方法的推導(dǎo)過程，使課堂教學(xué)變得生動(dòng)、形象. 課后自主探究開放性思考題，可發(fā)揮微課補(bǔ)充課堂教學(xué)的作用，也體現(xiàn)基于問題解決的課程設(shè)置理念［9］，學(xué)生在充分思考后更樂于觀看和參與微課. 總之，制定此教學(xué)設(shè)計(jì)的初衷是讓學(xué)生獲得愉快的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，通過這種“線上＋線下”混合教學(xué)的模式改變知識(shí)單向傳遞的弊端，極大地發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.

在一節(jié)課的教學(xué)反思環(huán)節(jié)，教師應(yīng)本著實(shí)事求是的原則，總結(jié)優(yōu)勢和不足，進(jìn)而引導(dǎo)和啟發(fā)后續(xù)章節(jié)教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施.

2 結(jié)語

應(yīng)用信息技術(shù)變革教學(xué)方式、制定符合實(shí)際需要的教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)漫長而艱辛的進(jìn)程，教學(xué)中通過調(diào)整課程結(jié)構(gòu)、提供多種課堂形態(tài)、鼓勵(lì)任課教師積極學(xué)習(xí)和掌握多媒體技術(shù)以適應(yīng)快速發(fā)展的教育教學(xué)方式.教學(xué)關(guān)涉師生的成長，課堂不能為了迎合技術(shù)而應(yīng)用技術(shù)，而是合理應(yīng)用技術(shù)以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，只有教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用技術(shù)和精心地設(shè)計(jì)教學(xué)，才能夠達(dá)到線上與線下相輔相成和相互交融，從而提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率. 本文僅針對線性代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容并選取有代表性的章節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，希望通過該教學(xué)設(shè)計(jì)的闡述，啟發(fā)教師更多地將線上線下混合式教學(xué)的設(shè)計(jì)方法、理念應(yīng)用到其他課程中.

總之，線上學(xué)習(xí)平臺(tái)的引入并不代表教師為了最大化應(yīng)用信息技術(shù)而丟失最基礎(chǔ)的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié). 恰恰相反，由于混合教學(xué)模式的運(yùn)用給教師的教學(xué)設(shè)計(jì)帶來了更多的創(chuàng)新和挑戰(zhàn)，教師應(yīng)整合教學(xué)內(nèi)容，重視每一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，有的放矢地應(yīng)用信息技術(shù)、創(chuàng)新教學(xué)模式，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果.