讓學生學會如何思考
——“全景式數學”思考方法的課程建設和教學設計樣本（應用題）

張宏偉（特級教師）

“思考方法的課程建設和教學設計”是全景式數學教育的核心工作之一。全景式數學教育認為：“思考的一般方法和流程的專項學習”是培養(yǎng)學生數學思考力特別重要的內容和路徑！

教學中，教師發(fā)現學生在解決問題中出現問題時，往往會這樣提醒學生“多動腦想想、好好想想！用心想、認真想、努力想……”但是，我們可曾想過：幾乎沒有學生不是用心去想、努力去想的，問題是學生根本不知道怎么去想！很多學生并不知道思考從哪里啟動、往哪個方向、按照哪個路線、怎樣一步步地想下去……也就是說，教學中，我們可能并沒有讓學生習得系統的、明確的、基礎的、具體的、一般的思考方法、步驟和流程，我們很少引導學生去“思考自己如何思考”。本文是一節(jié)通過應用題的教學引導學生明確如何去一步步思考應用題的教學樣本，拋磚引玉，期望能引發(fā)教育同仁對“讓學生學會如何思考”的思考，進一步展開討論和交流。

【新探內容】

三年級下冊，應用題：

【新探過程】

一、課前暖場（略）

二、課中新探

1.新探的開啟。

師：每個同學的桌上都有一張紙，這張紙的正反面一共印了4 道題，大家先整體瀏覽一下。

生：這不是一道題嗎？……

師：就是一道題，重復打印了4 遍，是不是覺得張老師很怪啊？隨著你思考的深入你會發(fā)現其中的秘密。這樣的題我們叫什么題呢？

生：應用題。

師：解答應用題的步驟是什么？

生：第一步是讀題，（板書：1.讀）第二步尋找有用信息，（板書：2.找）接下來是列式，列完后，算出結果，（板書：3.列，4.算）然后寫答。（板書：5.答）

師：這位同學不錯啊，一個人說了5 樣。

生：還要寫單位名稱。

師：寫單位名稱放在哪里？

生：放在答的前面。

師：答改成6；第五步寫單位名稱。（板書：5.名）

師：找信息，式子就自動蹦出來了？

生：思考、想……

師：那“想”放在哪里？

生：第三步。

師：其實，“讀”和“找”合起來就是審題，概括成一個字就是“審”，（板書：1.審）那第二第步就是“想”。（板書：2.想）

［根據學生思維的集體碰撞，把解答應用題的步驟梳理為：1審（讀、找），2想，3列，4算，5名，6答］

師：很棒，遺憾的是，還少一步，而且是很關鍵的一步，也是一般人最容易忘掉的一步！

生：檢查。

［教師補充上“查”后，形成更完整的解答應用題的一般步驟：1審（讀、找），2想，3列，4算，5名，6查，7答，并讓學生熟悉和鞏固］

2.刪繁就簡——我們到底如何去“審”。

（1）原來怎么審。

師：今天，張老師先和你們一起精細地研究前兩個步驟。第一個步驟是“審”，你以前都怎么審題？

生：讀一遍題，把有關的信息找出來。

生：第一遍讀題，第二遍找答案，再讀一遍。

生：先讀一遍題，再讀一遍問題，在題中找出關于問題的有用的信息。

（2）還可以怎么審？

①“刪刪”來了。

師：每位同學都有自己“審題”的“招”。張老師也有一個招，想不想知道張老師的“招”是什么？

師：張老師的“招”就一個字——刪。（板書：“刪”）

生：刪？刪什么？怎么刪？……

師：剛才一個同學說找有用的信息，每個人都喜歡找有用的信息，張老師跟你相反，專找無用的東西。明白嗎？

生：我明白了，刪的意思就是把多余的信息和用不上的一些數字都刪掉。

師：這道應用題當中可以把哪些字刪掉，而又不改變這道題的數學意思？

（3）刪的境界、刪的藝術。

①投影學生作品一。

師：看他把誰給砍掉了？（為了參加溜溜球比賽）

師：去掉它后，一起讀一遍，品一下題的數學含義改變沒？（學生讀后一致認為沒有）

師：為什么？

生：這句話沒有數學信息。

生：買了那么多溜溜球、花了那么多錢，參加、不參加比賽，都不影響題目的意思。

②投影學生作品二。

師：這位同學把王老師也刪了，行不行？為什么？

生：行，因為不管誰買的，有買就行。

③投影學生作品三。

師：他把“買了”也刪了，行不行？

生：我感覺不行，因為他不買的話，就不能花錢了，就沒有96 了。

生：我認為可以，花了96 元，意思就是買了。

這時，多數學生認為可以刪除“買了”，還有一部分學生認為不能刪。

教師讓學生讀刪剩的題目，品味題目的意思到底有沒有改變：“4 盒溜溜球，每盒兩個，一共花了96元，平均每個溜溜球多少元？”最后所有學生認同：可以去掉。

④投影學生作品四。

師：“花了”刪掉可以嗎？

生：可以，因為買不買價格都在那里。

教師讓學生一起品讀：“4 盒溜溜球，每盒2 個，一共96 元，平均每個溜溜球多少元？”大家一致認同可以刪除。

師：還能刪嗎？（全班靜默深思）

生：刪掉“一”！“4 盒溜溜球，每盒2 個，共96元，平均每個溜溜球多少元？”

生：溜溜球也可以刪掉。

⑤投影學生作品五。

生：溜溜球換成乒乓球、皮球都行，買蛋糕也行，買什么都行。不管你買什么，都是“4 盒，每盒2 個，一共96 元”。這道題數學意思沒變！

師：這就是數學厲害的地方，不管你買的是什么，“我自巋然不動”。“比賽”去掉了，“王老師”讓你砍了，“溜溜球”讓你刪了，“一”“花了”也去掉了，對這道題的數學意思根本沒有影響。

（3）知刪，更知不刪。

生：我覺得“平均”也能刪掉！

生：“平均”不能刪。如果價格不一樣怎么辦？

生：盒子里兩個球的錢可能不一樣，這樣平均才可以算，問一個不知道是哪一個，沒法求。

最后學生一致認為“平均”不能刪，刪了就改變了題目的數學含義。

師：不能為了簡單都刪掉。要保證它的基本意思不變，同時還要保持數學的嚴謹性。

（4）刪后摘錄。

師：剩下這些不能刪的才是這個題目中——

生：最重要的、最關鍵的。

師：現在請同學們把刪掉之后剩下來的關鍵部分寫下來。（教師板書三個條件一個問題：①4 盒，②每盒2 個，③共96 元→平均每個多少元？）

師：精簡之后的題和原來題目對比，什么感覺？

生：感覺比之前更清晰、明了了。

生：更好理解、更完整了。

生：信息好找了，字少了。

生：把無用的刪掉之后，有用的不找就出來了。

（板書：用“無用”找“有用”）

師：刪掉“無用”之后，題目比原來更簡單，更容易理解和思考，“刪”是一個審題的重要方法。其實，不僅數學的審題是這樣，其他學科審題也可以這樣刪。

3.思維導航——我們到底如何去“想”。

（1）原來怎么想。

師：解答應用題的第一步是“審”，其實就是干一件什么事？（刪）

師：解答應用題的第二步是什么？（想）

師：原來，你拿到一道應用題怎么想？

生：我就看著條件和問題反復地想。

生：就是先看問題，然后再想怎么列式。

生：把自己能看到有用的信息總結起來，想一想怎么列算式。

生：我先看問題，看完問題之后再看題，讀題之后思考這個問題該怎么解答，之后就算出來了。

生：先看問題，結合問題之后再看信息，然后想怎么列式。

師：當聚焦到“到底怎么去想一道應用題”的時候，我們會發(fā)現，自己原來所謂的想都是大框架的、粗放的、模糊的。對于如何解答一道應用題，其實你一直沒有一個明確、具體、詳細的思考方法和思考流程。說白了，我們并沒有掌握思考和解答一道應用題的一般步驟和方法！對于應用題，張老師這里有四種基本的“怎么好好想”的方法，今天先研究第一種。

（2）到底該怎樣去想？

①思之路——思路。

師：怎么想，其實就是解決問題的思路。（板書：思路）平時，老師會經常讓我們說一說解答這道題的思路。我們思考過、追問過什么叫思路嗎？

（學生紛紛搖頭，表示沒有）

師：思是思，路是路，思路是思路。

師：（在“思路”兩字之間用紅筆劃線隔開兩字）“思路”是由“思”“路”兩個字組成。“思”是思考，“路”是路線，“思路”是思考的路線，也就是說思考就像走路。比如，要去找臺子后面一角的攝像師，怎么走才能找到她？

a.啟動。（板書）先分析現狀，確定下一步要走的方向。（向左轉）

b.定向。這里有幾個方向呢？我準備這次從這個方向去找她。（教師板書：定向）

c.路線及流程。接下來呢？（轉過去）然后呢？（走）一直往前走嗎？接下來要找到需要拐彎的地方，就是走路的轉折點，也就是解決問題的關鍵點、節(jié)點。（板書：注意節(jié)點——轉折點、關鍵點）

師：到了轉折點，也就是解決問題的關鍵點、節(jié)點，要停下來思考：“我下一步往哪個方向”。（向右）轉折點是走路和思考的關鍵。我右轉后，走走走，能一直走下去嗎？（走到了轉折點后，全體學生喊停）

師：到了這里……

生：又要想“往哪個方向轉？”，還是向右，然后轉身、繼續(xù)走，找到了！

師：現在明白什么是思路了嗎？

生：先根據情況，定開始想的方向，想到一個轉折點停下來，思考再往哪里走，怎么走。

②思路一——像“過家家”一樣去想。

師：張老師今天教你的第一種想的方法叫“過家家”。（板書：過家家）什么叫“過家家”呢？

生：一個人當爸爸，一個人當媽媽，“結婚”后還會“生”“寶寶”。

師：應用題里怎么玩過家家呢？就是想第一個條件“4 盒”跟題目當中的誰“結婚”，可以“生”出哪個“寶寶”？

生：和每盒2 個“結婚”，可以“生”出“一共8 個球”。

教師根據學生回答板書如下：

師：怎么列式？

生：4×2=8（個）。

師：做完這一步，就像走路一樣，到了拐彎的地方，也就是解決問題的轉折節(jié)點，接下來怎么辦？

生：8 個和96 元“結婚”！

師：這個同學很了不起！把“生”出來的這個“寶寶”再當條件④，放到原來的題目當中，用它和剩下的其他條件去“結婚”。大家看看它們倆能結嗎？

生：能，“生”的“寶寶”是“96 除以8 等于12 元”。

教師根據學生回答板書如下：

①→②：4×2=8（個）

④→③：96÷8=12（元）

師：你會發(fā)現生“出”的這個“寶寶”就是你要求的問題，問題解決了。如果這次“生”出的“寶寶”不是問題呢？

生：繼續(xù)放到題中去“結婚”。

師：張老師教你的這一種思維的方法叫什么？（“過家家”）你現在明白怎么思考了嗎？說一說。

生：先拿第一個條件去找跟誰“結婚”，“生”出來一個“寶寶”，然后把這個“寶寶”放到題目當中再去找剩下的條件“結婚”，再“生”出一個“寶寶”，一直到把問題“生”出來。（眾生笑）

（3）另一種像“過家家”一樣去想。

師：不加任何限制的話，老師找到攝像師有多少種方法？

生：很多種。

師：其實數學的思路和走路是一樣的，也可能有多種可能、甚至無數種?；仡^看這道應用題，難道只有這一種過家家的方案嗎？

（學生在第二個空白處獨立進行嘗試）

學生反饋一：先讓條件①和條件③“結婚”，“生”出的“寶寶”用96÷4=24（元），當條件⑤，然后再把“寶寶”⑤和剩下的條件②“結婚”，就可以“生”出問題“寶寶”了。

教師根據學生回答板書如下：

①→③：96÷4=24（元）

⑤→②：24÷2=12（元）

學生講述自己思路的時候，教師引導學生重點關注該拐彎的地方——即把“寶寶”當作新的已知條件放回題目進行連接。

（4）到底能不能這樣“過家家”？

學生反饋二：條件③和條件②“結婚”，“生”出“寶寶”條件⑥，再和條件①“結婚”。

有很多學生表示反對，主要意見有兩種：他倆不能“結婚”，96 元÷2 個，就得1 個48 元了；他倆不能“結婚”，因為他倆“生”不出孩子。96 元是4 盒的錢，不是2 個的錢，不能用96 元÷2 個。（教師引導學生認識到：就是2 個球和96 元不對應）

師：數學中并不是所有的條件都能“結婚”、都能直接連接的。就像同學們剛才的發(fā)現一樣：96 元錢是4 盒的錢，不是2 個的錢，也就是說“如果兩個條件不對應、不匹配，它們就不能直接連接，直接過家家”。（板書）

師：這個世界充滿了無限的可能性，數學也可能有很多可能。不能直接連接，并不意味就絕對不能連接，也許……

生：每盒去掉一個，那4 盒，就是一共48 元。

師：我明白你的意思，你可以再試著換一種說法，給大家講講嗎？

生：去掉后就剩下4 個，這4 個是48 元。

生：題里是4 盒，不是4 個！

師：你們問到點子上了，也許真的能轉變。要不你就按他說的畫一畫，別忘了，去掉的也不能丟，可以畫在旁邊。

（學生又開始嘗試、思考、討論）

忽然幾個學生歡呼，他們的想法和畫法如下：

這時，絕大多數學生都恍然大悟。為了讓學生更好地理解，選取了4 排同桌的男女生進行戲劇化表演。

回到原題中，學生再次理解：

先把每盒球左邊的一個組成一組，右邊看成一組，兩組一樣：所以96÷2，這里的2 不是2 個，而是轉化成了2 組。得數48 元是一組4 個的錢，再除以4，這里的4 不再是4 盒，而是轉化成了4 個。

師：學習這道應用題的第一重境界是看盒是盒，看個是個。到了第二重境界，盒不再是盒，個不再是個。說白了數學其實跟“個”，跟“盒”根本沒關系，4 盒每盒2 個就是數學上的幾個幾？（4 個2）4個2 是幾？（8）8 份一共96 元，求一份是多少？（96÷8）所以你最終算的是數學里的幾個幾和平均每個是多少。

三、課后續(xù)探

解決問題：6月1日，青海省城中區(qū)北大街小學舉行慶祝兒童節(jié)表演活動，三年級的學生中，一共有60 人報名參加大合唱，教合唱的李老師，把他們平均分成3 個方隊，每個方隊又平均分成4 個小組，三年級合唱隊的每個小組有幾人？

要求：

1.“刪”到底。

2.摘錄最簡條件和問題。

3.任選一種“過家家”的想法，用自己喜歡的方式記述自己“過家家”的思考過程。