以知識(shí)應(yīng)用看數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)策略
——以“公頃”概念教學(xué)為例

費(fèi)嶺峰

“公頃”作為一個(gè)測(cè)量土地面積常用單位的學(xué)習(xí)，人教版教科書(shū)是編排在四年級(jí)上冊(cè)的第二單元。從學(xué)習(xí)起點(diǎn)來(lái)看，學(xué)生對(duì)“公頃”的認(rèn)識(shí)，有兩個(gè)維度的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：一是知識(shí)儲(chǔ)備基礎(chǔ)，即對(duì)面積的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，面積是指“面”的大小，表現(xiàn)為“二維”的空間感知；二是能力經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，這也是學(xué)生對(duì)面積概念理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即如何與長(zhǎng)度建立聯(lián)系、如何建構(gòu)起相應(yīng)的量感等等。

從學(xué)習(xí)目標(biāo)來(lái)看，我們可以從對(duì)“公頃”概念的“認(rèn)識(shí)”水平來(lái)考查。常見(jiàn)測(cè)評(píng)題如填空：5 公頃=（ ）平方米或20000 平方米=（ ）公頃。重點(diǎn)考查“公頃”與同為面積單位的“平方米”間的進(jìn)率關(guān)系，體現(xiàn)的是知識(shí)的記憶與技能的簡(jiǎn)單應(yīng)用。還可以從對(duì)“公頃”的“理解”水平來(lái)考查?？稍O(shè)計(jì)成這樣的測(cè)評(píng)題：在（ ）里填上適當(dāng)?shù)拿娣e單位，如，動(dòng)物園的占地面積約是3（ ）。較之前面填空，在知識(shí)的認(rèn)知要求上已經(jīng)提高了，測(cè)查的不僅僅是知識(shí)的記憶與簡(jiǎn)單應(yīng)用，還在測(cè)查學(xué)生對(duì)相應(yīng)面積的量感把握與理解水平。

我區(qū)在2019年第一學(xué)期小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)“能力素養(yǎng)”監(jiān)測(cè)卷中，設(shè)計(jì)了對(duì)“公頃”概念“應(yīng)用”水平的考查。測(cè)評(píng)題如下：

小敏家有一個(gè)長(zhǎng)方形農(nóng)場(chǎng)，面積為3 公頃。這個(gè)長(zhǎng)方形農(nóng)場(chǎng)的長(zhǎng)可能是（ ），寬可能是（ ）。

給定的分值是每空2 分，共4 分。其測(cè)評(píng)的意義在于檢測(cè)學(xué)生對(duì)“公頃”這一面積單位的空間感與概念理解的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)這兩個(gè)方面的水平狀況，有較大的創(chuàng)新與豐富。主要表現(xiàn)為：以知識(shí)的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)“‘公頃’是面積單位”的認(rèn)知水平（包括“公頃”與“平方米”的轉(zhuǎn)化，以及圖形面積與長(zhǎng)度之間的關(guān)系把握）。形式上雖采用的是“填空”形式，但答案卻是開(kāi)放的，寓本質(zhì)內(nèi)涵于多樣的表現(xiàn)形式中，了解學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu)水平。

【測(cè)試數(shù)據(jù)分析】

此題的基本思路：一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是3 公頃，也就是30000 平方米。長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，現(xiàn)在面積是30000 平方米，也就是說(shuō)長(zhǎng)×寬的積是30000平方米。解答時(shí)，只要去想，（ ）米×（ ）米=30000平方米，這里的兩個(gè)長(zhǎng)度量就是本題的答案?？傮w抽樣300 份試卷（包括城市實(shí)驗(yàn)學(xué)校、城市小規(guī)模學(xué)校、鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心小學(xué)、村級(jí)完全小學(xué)的學(xué)生）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，正確人數(shù)為110 人，占抽樣人數(shù)的36.7%。

正確答案中主要有兩類(lèi)：

一類(lèi)答案：長(zhǎng)300 米、寬100 米，占抽樣總?cè)藬?shù)的17%，占正確人數(shù)的46.4%，接近一半。

另一類(lèi)答案：長(zhǎng)600 米、寬50 米（或長(zhǎng)500 米、寬60 米），占抽樣總?cè)藬?shù)的11%，占正確人數(shù)的30%。

以上兩類(lèi)答案共占正確人數(shù)的76.4%，接近八成，可以認(rèn)為這兩類(lèi)答案為基本答案，為一般學(xué)生所采用。當(dāng)然也會(huì)有：長(zhǎng)200 米、寬150 米，長(zhǎng)1000 米、寬30 米或長(zhǎng)1500 米、寬20 米，合計(jì)占抽樣總?cè)藬?shù)的4.3%，占正確人數(shù)的11.8%。

以上解答的過(guò)程，應(yīng)該屬于比較常規(guī)的思路。解答正確，思路也比較清晰。這樣的解答過(guò)程，對(duì)于“公頃”是個(gè)面積單位是理解的，且對(duì)于“1 公頃=10000平方米”的認(rèn)識(shí)也比較清楚，而且轉(zhuǎn)化的技能也掌握得比較好，“3 公頃=30000 平方米”轉(zhuǎn)化也比較到位，我們可以用“四平八穩(wěn)”來(lái)描述。

【典型答案解析】

接下來(lái)就本題解答過(guò)程中的兩類(lèi)典型答案進(jìn)行解讀與分析。

第一類(lèi)：值得商榷的答案。

圖1（略）。

答案中，長(zhǎng)30000 米、寬1 米（或長(zhǎng)10000 米、寬3 米），占抽樣總?cè)藬?shù)的3.3%，占正確人數(shù)的9.1%。

圖2（略）。

答案中，長(zhǎng)15000 米、寬2 米（或長(zhǎng)5000 米、寬6 米），占抽樣總?cè)藬?shù)的1%，占正確人數(shù)的2.7%。

這樣的答案，在數(shù)學(xué)層面（也就是我們常說(shuō)的理論層面）還是相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)潔且清晰。結(jié)果完全符合數(shù)理結(jié)論。但從生活角度來(lái)思考，卻是不切實(shí)際的。此類(lèi)答案，在評(píng)分時(shí)沒(méi)有扣分，但在數(shù)據(jù)解讀時(shí)，需要提醒教師應(yīng)該注意進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，以使學(xué)生在解決生活問(wèn)題時(shí)，應(yīng)關(guān)注問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義，即解題結(jié)果相對(duì)符合常理。

第二類(lèi)：典型的錯(cuò)誤答案。

對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤解答，我們分成了四個(gè)水平層次來(lái)統(tǒng)計(jì)與分析：一是完全錯(cuò)誤，屬于“零”水平（包括沒(méi)做的）；二是直接將“公頃”當(dāng)作一般的面積單位思考（如平方米等），屬于一級(jí)水平；三是轉(zhuǎn)換成了長(zhǎng)度來(lái)思考，但把30000 平方米作為周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算，屬于二級(jí)水平；三是轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)度來(lái)思考，同時(shí)還考慮到長(zhǎng)方形的面積是用長(zhǎng)×寬來(lái)計(jì)算的，但結(jié)果算錯(cuò)，屬于三級(jí)水平。

歸因分析：

1.“零”水平學(xué)生（占比14.7%）：對(duì)“公頃”的知識(shí)一無(wú)所知。如下面學(xué)生的答案，不知道是怎樣想的，需要進(jìn)行訪談才能知曉。

圖1（略）。

圖2（略）。

2.一級(jí)水平的學(xué)生（占比16.7%）：?jiǎn)挝诲e(cuò)誤，主要是指直接將“3 公頃”作為長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算，出現(xiàn)兩種情況：一種是長(zhǎng)為3 公頃，寬為1 公頃，長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法正確，但對(duì)“公頃”是面積概念的認(rèn)識(shí)有誤；還有一種是長(zhǎng)為2 公頃，寬為1 公頃，同樣對(duì)“公頃”是面積概念的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤。不包括轉(zhuǎn)換成了面積單位，最后數(shù)據(jù)正確，后綴單位寫(xiě)成“平方米”的學(xué)生。

圖3（略）。

圖4（略）。

3.二級(jí)水平的學(xué)生（占比13.7%）：知道“公頃”是個(gè)面積單位，不是長(zhǎng)度單位，所以不能直接運(yùn)算，而是需要轉(zhuǎn)換成面積單位，即30000 平方米。但最后在計(jì)算時(shí)，想成了周長(zhǎng)的計(jì)算方法。如長(zhǎng)8000 米、寬7000 米；再如長(zhǎng)10000 米、寬5000 米等等。

圖5（略）。

圖6（略）。

4.三級(jí)水平的學(xué)生（占比18.3%）：思路是正確的，但計(jì)算出錯(cuò)（包括單位寫(xiě)成了平方米的錯(cuò)誤）。這種錯(cuò)誤與計(jì)算能力有關(guān)，也與學(xué)生對(duì)面積和長(zhǎng)度單位的敏感性不強(qiáng)有關(guān)。當(dāng)然，終究還是對(duì)面積單位“公頃”“平方米”與長(zhǎng)度單位“米”之間的聯(lián)系與區(qū)別掌握不到位。

刻槽需要在橋面收漿后進(jìn)行，通常情況下，橋面刻槽的寬度與深度需要分別控制在3mm、5mm之間，并且刻槽的間距控制在30mm范圍。

圖7（略）。

圖8（略）。

【教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的建議】

“公頃”和“平方千米”作為常用的土地面積單位。首先屬于“量與計(jì)量”內(nèi)容，其次屬于測(cè)量的范疇。因此，教學(xué)時(shí)需要做好以下幾個(gè)層面的引導(dǎo)。

一、“情境問(wèn)題”引出面積，突出“公頃”作為面積單位的“意義”的理解

教學(xué)“公頃”時(shí)，應(yīng)以認(rèn)識(shí)“面積”導(dǎo)入，體會(huì)測(cè)量土地等較大的面積時(shí)，需要用到“公頃”。比如，可以用下面的問(wèn)題切入：

請(qǐng)選擇合適的面積單位（口答完成）。

1.橡皮正面的面積大約是6（ ）。

2.單人課桌面的面積約是20（ ）。

3.一間教室地面的面積約是50（ ）。

以上三題指名回答后，請(qǐng)學(xué)生用手比劃一下面積的大小。然后提出問(wèn)題：“國(guó)家體育場(chǎng)‘鳥(niǎo)巢’的占地面積約是20（ ）”。請(qǐng)學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)膯挝惶钊搿Ｒ龑?dǎo)發(fā)現(xiàn)：“鳥(niǎo)巢”的占地面積20 后面的面積單位填“平方米”不合適，更不可能填“平方分米”或者“平方厘米”。需要一個(gè)比“平方米”還要大的面積單位才能表示出來(lái)。今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)一個(gè)測(cè)量土地面積時(shí)常用的面積單位——公頃。

這是從舊知復(fù)習(xí)引入，喚起學(xué)生對(duì)面積單位的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，并以一個(gè)新的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，新知的引出產(chǎn)生于學(xué)生的認(rèn)知沖突，能夠有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。

二、“遷移類(lèi)比”思考問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生注重面積與長(zhǎng)度間關(guān)系的理解

面積是測(cè)量的結(jié)果，測(cè)量面積需要面積單位。理解面積單位是認(rèn)識(shí)面積和深入探究面積的重要前提。因此，教學(xué)中對(duì)公頃單位“1 公頃”的認(rèn)識(shí)，可以設(shè)計(jì)兩個(gè)層次的活動(dòng)，幫助學(xué)生深度建構(gòu)。

活動(dòng)一：回憶面積單位的定義。引導(dǎo)學(xué)生回憶1平方米、1 平方分米和1 平方厘米等三個(gè)面積單位的描述定義，既喚起學(xué)生對(duì)面積單位“形”的認(rèn)知，即面積單位一般用“面積是1 個(gè)單位”的正方形來(lái)表示；同時(shí)也喚起學(xué)生對(duì)面積與長(zhǎng)度聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)，即“邊長(zhǎng)是1 米的正方形，面積是1 平方米”“邊長(zhǎng)是1 分米的正方形，面積是1平方分米”，這里的1 米和1 分米，即為長(zhǎng)度，與之相對(duì)應(yīng)的則是面積單位1 平方米和1 平方分米。這些認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)都應(yīng)該是后續(xù)理解“1 公頃”的概念所必需的。

活動(dòng)二：探討面積單位“1 公頃”的描述。結(jié)合以上知識(shí)的回顧，告知學(xué)生：我們同樣可以用一個(gè)正方形來(lái)描述“1 公頃”這個(gè)面積單位，即“邊長(zhǎng)100 米的正方形，面積就是1 公頃”，并請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)理解過(guò)程。關(guān)鍵抓?。哼呴L(zhǎng)1 米的正方形面積是1 平方米；邊長(zhǎng)100 米，可以想成1 百米，那么，這個(gè)正方形的面積也就是“1 平方百米”。這個(gè)活動(dòng)的目的，在于引導(dǎo)學(xué)生將“公頃”與“平方百米”建立聯(lián)系，將面積單位公頃納入到平方米、平方分米、平方厘米的認(rèn)識(shí)習(xí)慣中，易于學(xué)生理解，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)“平方千米”積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

三、“面積測(cè)量”獲取經(jīng)驗(yàn)，重視直觀感知與概念表象的建立

當(dāng)學(xué)生對(duì)“公頃”與平方米的關(guān)系初步建立后，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)踐性活動(dòng)為其積累量感：在操場(chǎng)上畫(huà)一個(gè)面積是1 公頃的正方形。全班學(xué)生一起動(dòng)手，借助50 米皮尺和標(biāo)志桿畫(huà)1 公頃的正方形。完成后，四個(gè)頂點(diǎn)處插上標(biāo)志桿。然后請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)面積是“1 公頃”的正方形的感受，據(jù)此推斷學(xué)校的占地面積大約是多少。如果說(shuō)，前面的學(xué)習(xí)更多是著眼于數(shù)理上的理解的話，實(shí)踐性活動(dòng)的目的則是幫助學(xué)生積累直接經(jīng)驗(yàn)，形成“1 公頃”的直觀表象。有了相應(yīng)的直接經(jīng)驗(yàn)之后，再輔之以相應(yīng)的練習(xí)，特別是增加一些對(duì)實(shí)際場(chǎng)所的面積判斷的練習(xí)，幫助學(xué)生更好地建構(gòu)“公頃”的概念，深刻理解面積內(nèi)涵。