關(guān)于泰勒多項式的“體驗式”教學(xué)設(shè)計

米黑龍 李蕓 曾甲生

摘要：泰勒多項式是高等數(shù)學(xué)課程的一個重點，也是一個難點。很多學(xué)生覺得其太過于抽象，不知所云。文章介紹“體驗式”教學(xué)方法在泰勒中值定理教學(xué)中的具體應(yīng)用以及所產(chǎn)生的效果。

關(guān)鍵詞：體驗式教學(xué);泰勒多項式;泰勒中值定理

中圖分類號：O172 ????文獻標識碼：A

1設(shè)計任務(wù)體驗多項式的“簡單”，理解引入泰勒多項式的必要性

要求學(xué)生不借助任何計算工具計算下列函數(shù)在處的函數(shù)值

（1）; ?????????（2）;

（3）; ??????????????????（4）

顯然，只有（1）與（2），我們不用借助任何計算工具，只通過手算給出答案，因為他們只包含加法，減法及乘法運算，而（3）與（4）盡管是我們最熟悉的初等函數(shù)，除了某些特殊點，其它任一一點的函數(shù)值幾乎都不好求，那在實際問題中遇到這些問題，我們怎么解決呢？學(xué)生自然會列出一系列解決方式，例如查表，運用計算器，借助電腦等等。此時，教師適時的指出，即使我們認為“萬能”的計算機其內(nèi)部也只會進行加、減、乘、除以及邏輯運算，或者換句話說，我們先要把其它運算轉(zhuǎn)化成加、減、乘、除以及邏輯運算，計算機才能幫助我們解決，那么轉(zhuǎn)化成什么形式？怎樣轉(zhuǎn)化？通過片刻的思考，學(xué)生突然醒悟，多項式的形式！至于怎么轉(zhuǎn)化就是接下來我們的主要任務(wù)了。

2設(shè)計任務(wù)體驗同一多項式的不同形式的優(yōu)越性

驗證下列多項式相等，并分別求出其在，，處的函數(shù)值

（1）; ???????（2）;

（3）

多項式（1），（2）和（3）只是冪的形式不一樣，實質(zhì)上是相等的，學(xué)生計算處的函數(shù)值自然會選（1），計算處的函數(shù)值自然會選（2），計算處的函數(shù)值自然會選（3）。教師適時提問，若我們需計算在點附近的某點處的函數(shù)值，當我們采用一個多項式來近似的時候，采用什么樣的冪的形式較好呢？學(xué)生自然就會想到采用的冪的形式計算方便一些。

3設(shè)計任務(wù)體驗泰勒多項式的系數(shù)的確定

（1）求在處的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)值，以及二階導(dǎo)數(shù)值，并觀察任務(wù)二的（1），（2）和（3），你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過觀察會迅速發(fā)現(xiàn)我們可以利用導(dǎo)數(shù)將多項式轉(zhuǎn)化成不同的冪的形式。

（2）當在點處可導(dǎo)時，對于充分接近的點，寫出其近似計算的公式。

學(xué)生迅速寫出，并且幡然頓悟：線性近似多項式的系數(shù)分別就是該點處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值！

（3）與在點處具有哪些相同點？上述結(jié)論能否推廣到一般的函數(shù)呢？即為一般的函數(shù)時，用一個關(guān)于的冪的形式的次多項式近似（注意此時只能是近似），是否也可通過上述方式確定的系數(shù)呢？

學(xué)生通過回顧微分的內(nèi)容迅速給出答案：與在點處不僅函數(shù)值相同，一階導(dǎo)數(shù)值也相同，從幾何上來說與在點處相交，并且在這一點具有相同的切線。并且實際上就是根據(jù)這兩個條件所確定的一次多項式。教師趁機引導(dǎo)如果還具有相同的彎曲方向是否近似程度更好？怎樣描述？此時可以確定幾次多項式？學(xué)生思考得出結(jié)論：此時多了一個相同的條件，近似程度當然更好，并且應(yīng)該可確定一個二次多項式。教師指出彎曲方向可由二階導(dǎo)數(shù)進行描述，即，并由此可得二次項的系數(shù)為。教師進一步引導(dǎo)，如果與近似的多項式在點處的三階，四階……直至階導(dǎo)數(shù)也相同，近似程度將更好，此時可以確定一個次多項式，并且通過簡單的計算得次冪的系數(shù)為。至此我們得到了階泰勒多項式的具體形式：

。

基金項目：2019年湖南商學(xué)院校級教學(xué)改革研究項目《應(yīng)用驅(qū)動式線性代數(shù)課程教學(xué)模式改革研究與實踐》（校教字[2019]16號）;2020年湖南工商大學(xué)校級教學(xué)改革研究項目《基于 MOOC+SPOC 的公共數(shù)學(xué)類課程混合式教學(xué)模式創(chuàng)新的探索與實踐》（校教字[2020]15號）。

參考文獻

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2002：137-143+215-223.

[2]王靜，方曉峰，于寧莉.泰勒公式的“探究式”教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2012，9（05）：45-47.