導(dǎo)數(shù)概念通俗化教學(xué)設(shè)計(jì)

孫波

[摘 要] 研究導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)。針對(duì)傳統(tǒng)教材教法過于單調(diào)、抽象的缺陷，設(shè)計(jì)了易于理解和接受的通俗化教法。主要手段和特色是增加平均速度導(dǎo)入過程，加入市場(chǎng)營(yíng)銷等社會(huì)經(jīng)濟(jì)背景。

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);通俗化;平均速度;經(jīng)濟(jì)背景

[作者簡(jiǎn)介] 孫 波（1965—），男，湖南澧縣人，博士，湖南科技學(xué)院理學(xué)院教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)與教育數(shù)學(xué)研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）40-0295-02? ? [收稿日期] 2020-03-09

一、引言

高等數(shù)學(xué)或微積分主要由微分和積分兩大塊構(gòu)成。這里的微分泛指導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，當(dāng)然也包含光滑函數(shù)局部線性近似的微分。簡(jiǎn)單說來，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的瞬時(shí)變化率。其嚴(yán)格定義則是函數(shù)值改變量與自變量改變量之比的極限（自變量改變量趨于零時(shí)）：

二十年以前這么一講就完了，學(xué)生基本都能理解和掌握。但今天的大眾化教育跟以前的精英教育大不一樣了，學(xué)生心里還想著手機(jī)玩具呢！這已不是個(gè)別現(xiàn)象，而是普遍教學(xué)現(xiàn)象和社會(huì)問題。當(dāng)然，加強(qiáng)課堂管理、強(qiáng)調(diào)教學(xué)紀(jì)律可以提高授課效果，但不可能完全解決問題?，F(xiàn)在的高學(xué)歷教師已占很大比例，授課水平應(yīng)該是沒得話說，可就是有那么多學(xué)生稀里糊涂，聽了跟沒聽一個(gè)樣。

其實(shí)只要稍微推敲一下哲學(xué)和教育心理學(xué)，就會(huì)明白快刀斬亂麻的教法有問題。任何事物都須經(jīng)歷量變積累方可達(dá)到質(zhì)變，瞬時(shí)變化率概念的形成也是一樣。只是我們?cè)瓉頉]想這么多，把沉重的思維負(fù)擔(dān)強(qiáng)加給了學(xué)生。而在高等教育從精英型轉(zhuǎn)化為大眾型的過程中主流高數(shù)教材教法不僅沒有相應(yīng)轉(zhuǎn)型，反而變本加厲：把書越寫越復(fù)雜，使教材教法和生源質(zhì)量之間的矛盾越來越突出。

改革開放四十年來，我國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的形成和發(fā)展拓寬了微積分應(yīng)用面，經(jīng)濟(jì)學(xué)背景成了數(shù)學(xué)的半邊天。考慮到社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和概念就在人們?nèi)粘Ｉ钪?，更容易被學(xué)生理解，本文參照歐美應(yīng)用微積分教材把社會(huì)經(jīng)濟(jì)素材作為背景引入微積分概念，補(bǔ)充導(dǎo)數(shù)引入過程，并適當(dāng)增加平均速度引入過程[4，5]。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

基于上述鋪墊，筆者在教學(xué)實(shí)踐中做了如下改革設(shè)計(jì)：首先以一家三口外出郊游為例引入平均速度概念：一家三口開車外出郊游，小孩每半小時(shí)記一下從家里出來的里程，前三小時(shí)的數(shù)據(jù)如下：其中時(shí)間單位為小時(shí)，里程單位為公里。

課件開頭可考慮播放一小段開車視頻以吸引學(xué)生興趣和注意力。

用f表示出發(fā)t小時(shí)的里程，則表中數(shù)據(jù)可表示為函數(shù)值

汽車速度一般隨時(shí)間變化，僅憑一組里程數(shù)據(jù)算不出每時(shí)每刻的速度，但可計(jì)算一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，公式為平均速度=距離÷時(shí)間

其他時(shí)間段內(nèi)的平均速度亦可類似計(jì)算，如下表：

上述平均速度計(jì)算公式還可抽象上升為一般函數(shù)的平均變化率。接著構(gòu)造1～2個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)例子，如一家公司同時(shí)在兩個(gè)地方做為期三個(gè)月的推銷活動(dòng)，以此預(yù)測(cè)市場(chǎng)。下面是那兩個(gè)地方日銷售量走勢(shì)圖，橫軸表示月份，縱軸表示日銷售量。

從圖像可以看出，盡管前三個(gè)月活動(dòng)1的銷售量一直高于活動(dòng)2，但它后來往下走。相反，活動(dòng)2一路攀升。

在時(shí)間區(qū)間[2，4]上，促銷1的變化率等于

而促銷2的變化率等于

活動(dòng)1的負(fù)結(jié)果表明，在所統(tǒng)計(jì)的這兩個(gè)月內(nèi)銷售量以每月10，000件的速度下降;而活動(dòng)2的正結(jié)果則表明其銷售量以每月12，500件的速度增長(zhǎng)。這兩個(gè)促銷活動(dòng)的結(jié)果說明市場(chǎng)二未來更強(qiáng)勢(shì)，故應(yīng)放棄市場(chǎng)1。

還可構(gòu)造幾個(gè)類似例子，如某款新手機(jī)上市后單位利潤(rùn)隨時(shí)間變化函數(shù)。計(jì)算某些時(shí)間段的平均變化率以說明其增減情況，最后說明平均變化率還是不能細(xì)致反映函數(shù)值隨自變量的變化情況，說明瞬時(shí)變化率的必要性。

若想知道它某一時(shí)刻的運(yùn)行速度如第10秒末的運(yùn)行速度，就只能通過第10秒附近短時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度來估算了：

學(xué)生從表中列出的三個(gè)平均速度顯然能看出汽車在第10秒末的運(yùn)行速度是23米/秒。

然后趁熱打鐵，整出個(gè)絕對(duì)可靠的說法。先用h表示某個(gè)很小的正數(shù)，則汽車在第10秒到第10+h秒內(nèi)的平均速度等于

這就進(jìn)一步證實(shí)了我們從上面那個(gè)數(shù)據(jù)表看出的精確速度。我們稱此極限為瞬時(shí)速度。

接著將上述瞬時(shí)速度概念和計(jì)算方法提升為函數(shù)在某點(diǎn)的變化率：

三、結(jié)語(yǔ)

筆者首次在二類本科院校q按上述方式講述導(dǎo)數(shù)概念，大部分學(xué)生都能聽懂并掌握。教學(xué)班級(jí)為工程管理專業(yè)四個(gè)行政班130名學(xué)生，期末試題量為五大題22小題，在教研室統(tǒng)一命題且沒有針對(duì)性復(fù)習(xí)的前提下格率達(dá)80%以上，說明學(xué)生理解了微積分基本理論?？磥?，多視角慢鏡頭引入抽象數(shù)學(xué)概念更適合大眾化教育。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時(shí)類型）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.L.Lial，Calculus with applications，Springer-Verlag，2010.