基于Galois理論的抽象代數(shù)本科教學(xué)改革和研究

鄭華 羅亮 孫宇鋒

[摘 要] 以Galois理論為導(dǎo)向，對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)的抽象代數(shù)課程進(jìn)行教學(xué)改革，在更高的理論框架下展現(xiàn)課程主體知識(shí)的關(guān)聯(lián)和延伸，使學(xué)生進(jìn)一步明確課程目標(biāo)、激發(fā)興趣以及拓寬視野，提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力和提升教學(xué)效果，使學(xué)習(xí)更有深度、廣度和寬度。

[關(guān)鍵詞] 抽象代數(shù);Galois理論;數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

[基金項(xiàng)目] 教育部2017年“產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人”項(xiàng)目（No：201701044035、201701044085）;廣東省2016年“質(zhì)量工程”建設(shè)項(xiàng)目（大學(xué)生實(shí)踐教學(xué)基地立項(xiàng)No.46）;2018年廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（面向新工科《數(shù)學(xué)分析》課程之“對(duì)分課堂”教學(xué)改革研究與實(shí)踐No.531）;韶關(guān)學(xué)院第十九批教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目（基于大數(shù)據(jù)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的《專(zhuān)業(yè)核心技能訓(xùn)練》課程教學(xué)改革研究與實(shí)踐No.SYJY20181908）;韶關(guān)學(xué)院第二十批教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（《數(shù)學(xué)模型》課程思政化教學(xué)模式構(gòu)建與實(shí)踐研究No.SYJY20192006）;2017年韶關(guān)學(xué)院“質(zhì)量工程”建設(shè)項(xiàng)目（模糊數(shù)學(xué)在工程中的應(yīng)用No.29）;2018年韶關(guān)學(xué)院“質(zhì)量工程”建設(shè)資助項(xiàng)目（科學(xué)計(jì)算中的若干問(wèn)題No：7）

[作者簡(jiǎn)介] 鄭 華（1982—），男，廣東韶關(guān)人，博士，副教授，主要從事數(shù)值代數(shù)研究;羅 亮（1981—），女，江西豐城人，博士，副教授（通信作者），主要從事自適應(yīng)控制研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）37-0172-02? ? [收稿日期] 2019-12-25

一、引言

代數(shù)是純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，法國(guó)數(shù)學(xué)家Galois在1832年運(yùn)用群的思想解決了多項(xiàng)式方程求根公式的存在性問(wèn)題，使得代數(shù)學(xué)成了研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學(xué)，進(jìn)而把代數(shù)學(xué)推向了抽象代數(shù)時(shí)期（也稱(chēng)為近世代數(shù)）[1].

抽象代數(shù)是本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的重要專(zhuān)業(yè)課之一，通過(guò)講解群、環(huán)、域[2]等知識(shí)，使學(xué)生在掌握代數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的同時(shí)，在抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性上得到一定的思維訓(xùn)練。本文主要從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度，給出基于Galois理論對(duì)抽象代數(shù)課程本科教學(xué)進(jìn)行改革的若干策略。

二、Galois理論回顧

Galois理論的重要應(yīng)用之一，是一元五次方程求根公式的存在性問(wèn)題[3-4].先給出一些相關(guān)的引理.

引理1[5] 如果從A到B的域擴(kuò)張對(duì)應(yīng)的Galois群是可解的，那么存在不變子群G1，G2，…，Gk，使得A？茳G■？茳G■？茳…？茳G■？茳B，并且每一個(gè)商群G■/G■都是交換群.

引理2[5] 記一元五次方程根所在的域?yàn)镵，則所有從Q到K的域擴(kuò)張對(duì)應(yīng)的Galois群是S5.記A5為S5中所有偶置換構(gòu)成的集合，則A5不是交換群，并且S1？茳A5？茳S5是S5唯一的不變子群鏈.

用Galois理論討論一元五次方程求根公式存在性問(wèn)題的基本思路為：（I）為了找到方程的解（不在Q中），需要對(duì)Q進(jìn)行域擴(kuò)張;（II）多項(xiàng)式的零點(diǎn)具有某種對(duì)稱(chēng)性，而這種對(duì)稱(chēng)性可以用群來(lái)描述，進(jìn)一步可以等價(jià)地用域擴(kuò)張的對(duì)稱(chēng)性來(lái)描述;（III）只通過(guò)加減乘除無(wú)法得到Q的域擴(kuò)張，而通過(guò)開(kāi)方得到的域擴(kuò)張具有某種對(duì)稱(chēng)性，即對(duì)應(yīng)的Galois群是可解的;（IV）根據(jù)引理1和引理2，一元五次方程的根所對(duì)應(yīng)的Galois群是不可解的，因此只通過(guò)加減乘除和開(kāi)方運(yùn)算是不能從Q擴(kuò)張到包含五次方程解的域，再根據(jù)Galois對(duì)應(yīng)的定義，即得一元五次方程求根公式是不存在的.

三、基于Galois理論的教學(xué)策略實(shí)施

從Galois理論在一元五次方程求根公式存在性問(wèn)題中的探討思路可見(jiàn)，整個(gè)過(guò)程涉及的群、環(huán)、域的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)包括了：（I）域擴(kuò)張;（II）群的定義;（III）對(duì)稱(chēng)群;（IV）不變子群、置換群、群同構(gòu)、商群.可見(jiàn)，Galois理論覆蓋了抽象代數(shù)的主要常規(guī)教學(xué)內(nèi)容，并且把對(duì)稱(chēng)性、不變子群、商群、同構(gòu)等抽象的概念有機(jī)地串聯(lián)了起來(lái).考慮在每一章節(jié)常規(guī)的教學(xué)內(nèi)容中為Galois理論的引入做適當(dāng)鋪墊，盡量壓縮跟Galois理論關(guān)聯(lián)較少的知識(shí)教學(xué)時(shí)間，最后再利用2個(gè)課時(shí)對(duì)Galois理論進(jìn)行介紹，可以幫助學(xué)生更好地理解抽象代數(shù)課程的核心理論.

（一）課程總覽

在抽象代數(shù)的課程介紹中，一般會(huì)提到Galois理論的歷史.為了配合后續(xù)融合Galois理論思想的教學(xué)模式，需要額外介紹一元五次方程求根公式的數(shù)學(xué)問(wèn)題.由于是第一次課，學(xué)生尚不具備任何抽象代數(shù)知識(shí)，因此問(wèn)題介紹盡量不涉及課程的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，多從“什么是求根公式？”、“一元二次、三次、四次方程的求根公式是什么？”等簡(jiǎn)單話(huà)題展開(kāi)，先通俗粗糙地展示Galois理論的框架，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）群的教學(xué)

在學(xué)習(xí)完群的定義后，常規(guī)教學(xué)過(guò)程會(huì)給出幾個(gè)群的簡(jiǎn)單實(shí)例，雖然這嚴(yán)格遵循了代數(shù)的抽象定義體系，但由于各實(shí)例有一定的獨(dú)立性，導(dǎo)致大部分學(xué)生對(duì)該定義的理解往往是一種機(jī)械的模式.為了后續(xù)Galois理論的需要，由上節(jié)的步驟（II），引入對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成的群作為實(shí)例之一，并給學(xué)生強(qiáng)調(diào)該實(shí)例是跟求根公式探討直接相關(guān)的例子.

對(duì)于對(duì)稱(chēng)群、置換群、不變子群、商群這些引申概念的講解，在展示各個(gè)概念的定義之前，先結(jié)合后續(xù)求根公式存在性的推導(dǎo)過(guò)程，適當(dāng)突出各概念在Galois理論中所涉及的性質(zhì).在對(duì)稱(chēng)群和置換群的教學(xué)中，雖然概念的構(gòu)造比較簡(jiǎn)單，但為何特別要關(guān)注交換律而不是其他運(yùn)算律，為何要關(guān)注置換構(gòu)成的群，是部分學(xué)生可能產(chǎn)生的疑問(wèn)，由上節(jié)步驟（III）可見(jiàn)，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)此處和Galois理論相關(guān)，即可馬上消除學(xué)生的疑問(wèn).在不變子群和商群的教學(xué)中，部分學(xué)生難以理解為何要去學(xué)習(xí)這么“特殊”的群，同理，由上節(jié)步驟（IV），強(qiáng)調(diào)兩個(gè)概念都是后續(xù)Galois理論要使用的，讓學(xué)生先掌握純數(shù)學(xué)的抽象定義，并且期待后續(xù)相關(guān)概念的融合.

對(duì)于群同構(gòu)的教學(xué)，為何要討論抽象概念之間的抽象關(guān)系，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能產(chǎn)生的疑惑.由上節(jié)步驟（IV），群同構(gòu)是為Galois理論分析“對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成的群”內(nèi)在性質(zhì)做鋪墊的，同構(gòu)關(guān)系把群的特殊性抽象出來(lái)，同時(shí)可以回應(yīng)群論的定理：“任意的群都同構(gòu)于一個(gè)變換群”，幫助學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)階段性地串聯(lián)起來(lái).

（三）環(huán)和域的教學(xué)

Galois理論跟環(huán)論并無(wú)直接關(guān)聯(lián)，因此，環(huán)論的教學(xué)策略可采用常規(guī)教學(xué)的模式.對(duì)于域的教學(xué)，常規(guī)的方式一般會(huì)在域的定義上花較多的時(shí)間，然后再簡(jiǎn)單介紹域的性質(zhì).結(jié)合Galois理論的需要，在教學(xué)中更重視域的性質(zhì)，即該集合的元素在加減乘除四則運(yùn)算下是封閉的.在尋找一元五次方程求根公式時(shí)，正是因?yàn)橛欣頂?shù)域在四則運(yùn)算下是封閉的，才有引入域擴(kuò)張的必要性，因此關(guān)注域的上述特殊性質(zhì)是有必要的.

對(duì)于域擴(kuò)張理論（I），由于擴(kuò)域的知識(shí)一般不在本科《抽象代數(shù)》課的教學(xué)大綱內(nèi)，考慮到整體課程的學(xué)時(shí)安排，對(duì)這部分知識(shí)的教學(xué)，還是按大綱要求進(jìn)行，不去詳細(xì)講解.由于求根公式問(wèn)題只涉及域擴(kuò)張的簡(jiǎn)單實(shí)例，而該實(shí)例只涉及整環(huán)和域的定義，因此可在講解時(shí)引入有理數(shù)域擴(kuò)展的實(shí)例，并強(qiáng)調(diào)該實(shí)例與Galois理論相關(guān)即可.

（四）Galois理論介紹

在常規(guī)內(nèi)容的教學(xué)中，壓縮跟Galois理論關(guān)聯(lián)較少的群、環(huán)、域知識(shí)，在不超過(guò)課程總學(xué)時(shí)的前提下，用2個(gè)課時(shí)的時(shí)間給學(xué)生介紹Galois理論的推導(dǎo)思路.對(duì)于過(guò)程中的細(xì)節(jié)處理，需要關(guān)鍵的引理1和引理2，注意到這兩個(gè)引理是超出本科教學(xué)范圍要求的，由于課時(shí)有限，可采用忽略證明只介紹理論結(jié)果的方式進(jìn)行.對(duì)于引理3，內(nèi)容在本科教學(xué)的范圍內(nèi)，其細(xì)節(jié)推導(dǎo)可設(shè)置為講解不變子群和置換群后的課堂作業(yè).

四、小結(jié)

根據(jù)抽象代數(shù)的歷史由來(lái)，以一元五次方程求根公式存在性問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，把Galois理論的思想滲透在抽象代數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，給出相應(yīng)的教學(xué)策略，把群、環(huán)、域等主體知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能有效地改善教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)

[1]馮曉華，楊靜.劉維爾與伽羅瓦數(shù)學(xué)手稿的發(fā)表[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（3）：139-144.

[2]Rotman J.Advanced Modern Algebra[M].Upper Saddle River：Prentice Hall，2004.

[3]李青燕.從五次方程根式求解到伽羅瓦理論及其數(shù)學(xué)哲學(xué)意蘊(yùn)[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010（3）：49-53.

[4]謝彥麟.代數(shù)方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[5]劉邵學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2004.