基于大樣本的總體比例區(qū)間估計(jì)問題淺析

馬一江，韓利娜

（西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西 西安710065）

在實(shí)際工作當(dāng)中，通常需要去估計(jì)具有某種特征的單位數(shù)占總體全部單位的比例，加以對(duì)總體比例進(jìn)行判斷。例如，在燈泡合格率的抽樣當(dāng)中，要通過樣本的不合格率來估計(jì)整批燈泡的不合格率，并作出整批燈泡是否合格的判斷。有時(shí)還需要從兩個(gè)對(duì)立總體中抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，估計(jì)兩個(gè)總體的比例之差。具體來講就是根據(jù)一定的概率即置信水平要求，估計(jì)總體比例或比例之差的范圍，從而形成此類問題的區(qū)間估計(jì)。

下文分別討論一個(gè)總體比例和兩個(gè)總體比例差的置信區(qū)間的求法。

1 一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

1.1 大樣本np＞5，n（1－p）＞5 的情形

如果隨機(jī)變量X代表在n次二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中具有某種特征的單位數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，其期望和方差分別為E（X）=nπ，D（X）=nπ（1－π），設(shè)隨機(jī)變量p=X/n，有E（p）=π，D（p）=π（1－π）/n，可知樣本比例p是總體比例π的無偏估計(jì)。根據(jù)中心極限定理，在大樣本條件np＞5，n（1－p）＞5 的情形下，可以把二項(xiàng)分布問題轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布問題近似的去求解，所以有將p再經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化，得到服從N（0，1），在π未知的情況下，可以用p來代替π計(jì)算上式中z的分母，即：

若置信水平為1－α，則總體比例π的置信區(qū)間估計(jì)的概率表達(dá)式為即P｛p-

因此，總體比例π的置信水平為1－α的雙側(cè)置信區(qū)間為：

例1：某公司要估計(jì)一批總數(shù)為5000個(gè)插座的不合格率，于是隨機(jī)選取400個(gè)插座來進(jìn)行監(jiān)測(cè)，發(fā)現(xiàn)有32個(gè)插座不合格，試求該批插座的不合格率的90%的置信區(qū)間。

解：記合格插座為“X=0”，不合格插座記為“X=1”，整批產(chǎn)品的不合格率為π。已知n=400，N=5000，樣品不合格率p=32/400=0.08，np=32＞5，n（1－p）=32＞5。

大樣本條件滿足，置信水平1－α=90%，α=10%，查“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”，得到zα/2=z0.05=1.645。因此這批插座的不合格率π的90%的置信區(qū)間為：

因此，有90%的把握認(rèn)為這批產(chǎn)品的不合格率的置信區(qū)間為5.77%～10.23%。

1.2 樣本容量n 較小或樣本比例p 在0 或1 附近

當(dāng)樣本比例p在0 或1 附近或者樣本容量n較小時(shí)，二項(xiàng)分布呈偏態(tài)，不能用上面的正態(tài)分布來近似，去估計(jì)總體比例π的置信上下限，此時(shí)需要采用查表法，以例說明。

例2：向55 人調(diào)查關(guān)于推薦張某某市人大代表的意見，其中表示贊成的有21 人，試估計(jì)贊成張某成為市人大代表總體比例的95%置信區(qū)間。

解：已知n=55，X=21，查百分率的可信限表[1]。

首先查出與n=55，X=21 相對(duì)應(yīng)的95%置信限為28、57，以及與n=60，X=21 相對(duì)應(yīng)的95%置信限為23、49。

設(shè)所要求的95%置信下限為p1，上限為p2，則：

于是總體比例的95%置信下限為25.5%，置信上限為54% ，說明贊成張某成為市人大代表95%的可能在25.5%～54%范圍內(nèi)。

2 兩個(gè)總體比例差的區(qū)間估計(jì)

在實(shí)際問題的研究中，一般需要對(duì)兩個(gè)總體比例之差作一個(gè)了解，比如對(duì)兩個(gè)大型公司、兩個(gè)大企業(yè)的某個(gè)板塊比例進(jìn)行比較，還有就是對(duì)某兩個(gè)行業(yè)比例作一個(gè)比較等，這就涉及到兩個(gè)總體比例差的區(qū)間估計(jì)問題。

分別從兩個(gè)總體中各自隨機(jī)抽取容量為n1和n2兩個(gè)隨機(jī)樣本，設(shè)兩個(gè)總體比例分別是π1和π2，要估計(jì)π1－π2，先計(jì)算出兩個(gè)樣本比例p1和p2?？梢宰C明出當(dāng)n1和n2兩者都很大（都是大樣本）且總體比例不太接近0 或者1 時(shí)，p1－p2的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。

其中，E（p1-p2）=π1-π2，D（p1-p2）=

由于π1和π2均未知，上述公式中分母的總體比例π1和π2需要用樣本比例p1和p2來代替，即這時(shí)統(tǒng)計(jì)量z近似服從N（0，1）。

如果置信水平為1－α，則兩個(gè)總體比例差π1－π2的置信區(qū)間估計(jì)的概率表達(dá)式為：

此時(shí)，總體比例之差π1－π2的置信度為1－α的近似置信區(qū)間為：

例3：某公司有兩個(gè)生產(chǎn)車間，分別用M 和N 表示。為了降低不合格率，該公司相關(guān)負(fù)責(zé)人對(duì)N 車間的工人進(jìn)行相關(guān)培訓(xùn)。5個(gè)月后，該公司負(fù)責(zé)人對(duì)兩個(gè)生產(chǎn)車間的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)。從M 車間抽取了200 件產(chǎn)品，從N 車間抽取了220 件產(chǎn)品，查到不合格品率M 車間為pM=15%，N車間為pN=3%。試在95%的可靠度下，構(gòu)造兩個(gè)車間不合格品率之差的置信區(qū)間。

解：已知pM=15%，pN=3%，nM=200，nN=220，當(dāng)置信度為95%時(shí)，zα/2=1.96。

因此，（πM－πN）置信區(qū)間估計(jì)為[0.0658，0.1742]。根據(jù)這一結(jié)果，有95%的可靠程度車間M 的不合格品率比車間N 高6.58%～17.42%，估計(jì)的誤差為5.42%。

3 結(jié)束語

本文主要討論了兩個(gè)問題：①一個(gè)總體大樣本情況下，可以將原本的二項(xiàng)分布近似為正態(tài)分布，從而得到總體比例的置信區(qū)間。如果樣本容量較小，或者樣本比例p在0 或1附近，此時(shí)二項(xiàng)分布呈偏態(tài)，則不能用正態(tài)近似法來估計(jì)總體比例的置信限，這時(shí)可以借助統(tǒng)計(jì)專用表百分率的可信限來求。②兩個(gè)總體比例差的區(qū)間估計(jì)，從兩個(gè)二項(xiàng)總體中抽出兩個(gè)獨(dú)立大樣本，沿用正態(tài)近似的結(jié)論，建立了兩個(gè)總體比例差的區(qū)間估計(jì)結(jié)構(gòu)。

對(duì)于總體比例差的區(qū)間估計(jì)效果如何，可以進(jìn)一步做顯著性檢驗(yàn)，這部分內(nèi)容在后期將進(jìn)一步研究探討。