基于R藤的Copula模型選擇及應(yīng)用

劉春婷

摘要：在實(shí)際生活中，高維數(shù)據(jù)的情形較多，常用的研究數(shù)據(jù)間相關(guān)關(guān)系的方法大多為傳統(tǒng)的線性回歸模型以及Logistic回歸等，處理高維數(shù)據(jù)的方法涉及較少?；谏鲜龇治?，本文考慮采用Copula建模方法對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在Copula建模中較為重要的一點(diǎn)是對(duì)模型進(jìn)行選擇。因此本文考慮采用Copula模型中的R藤結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，通過(guò)選用貪婪算法來(lái)對(duì)R藤的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇，即對(duì)節(jié)點(diǎn)和Copula對(duì)函數(shù)類型進(jìn)行確定。為了驗(yàn)證這一方法的可行性及適用性，通過(guò)陜西省城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，并得出相關(guān)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：高維數(shù)據(jù);Copula函數(shù);模型選擇;相關(guān)關(guān)系

中圖分類號(hào)：TP18 ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）17-0222-03

隨著時(shí)代的發(fā)展，越來(lái)越多的數(shù)據(jù)信息所產(chǎn)生，選擇有效的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析是至關(guān)重要的。Copula函數(shù)主要是用于刻畫多個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系的，它不僅可以刻畫協(xié)變量對(duì)響應(yīng)變量的影響，還能夠刻畫協(xié)變量間的相關(guān)關(guān)系，克服了傳統(tǒng)方法模型單一對(duì)數(shù)據(jù)中的信息挖掘不到位的缺點(diǎn)。Copula建模方法主要是選用不同的連接方式進(jìn)行建模，常見的有C藤、D藤以及R藤，其中相比C藤和D藤而言R藤具有較高的靈活性，能夠更加準(zhǔn)確地描述變量間的相關(guān)關(guān)系，但是其涉及的連接種類多，計(jì)算量大成為了這一模型的難點(diǎn)。為了克服這一難點(diǎn)，本文考慮采用貪婪算法對(duì)R藤的結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇。關(guān)鍵包含兩個(gè)方面，一方面是對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行選擇，即變量的位置關(guān)系進(jìn)行選擇，另一方面是對(duì)每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)間的Copula函數(shù)類型進(jìn)行確定。

在Copula理論的發(fā)展過(guò)程中，它被廣泛地應(yīng)用到金融保險(xiǎn)、投資組合以及風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)等各個(gè)領(lǐng)域中，Rockinger和Jondeau（2001）[1]建立了Copula-GARCH模型對(duì)金融數(shù)據(jù)進(jìn)行分析;杜子平（2009）[2]等將動(dòng)態(tài)Copula和高維Vine Copula進(jìn)行結(jié)合從而對(duì)不同國(guó)家證券市場(chǎng)間的關(guān)系進(jìn)行分析。本文利用貪婪算法對(duì)Copula建模方法中R藤的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇，能夠較快地得出R藤的具體模型結(jié)構(gòu)，有效地降低了R藤模型算法的計(jì)算復(fù)雜度。

消費(fèi)結(jié)構(gòu)反映了一個(gè)地區(qū)的消費(fèi)水平，也決定了當(dāng)?shù)厝嗣竦纳钏?，具有較大的研究意義。近幾年來(lái)，陜西省的綜合實(shí)力不斷上升，居民的消費(fèi)水平也在發(fā)生著重要的變化，消費(fèi)結(jié)構(gòu)由較多的變量組成，為了更好地看出消費(fèi)的各項(xiàng)指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系，本文擬考慮采用刻畫變量間相關(guān)關(guān)系具有極大優(yōu)勢(shì)的Copula建模方法進(jìn)行研究，R藤的高度靈活性正好適用于這一實(shí)際問(wèn)題。本文基于Copula建模方法采用R藤的方式進(jìn)行建模，并對(duì)陜西省2009年至2018年的城鎮(zhèn)居民消費(fèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

Copula函數(shù)是Sklar[3]在1959年提出的，他提出可以將一個(gè)多維的聯(lián)合分布函數(shù)分解成多個(gè)邊緣分布函數(shù)和一個(gè)連接函數(shù)，Copula函數(shù)就稱為這個(gè)連接函數(shù)，通過(guò)該連接函數(shù)作為橋梁把邊緣分布函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)進(jìn)行連接。

結(jié)合上述分析，將Copula函數(shù)進(jìn)行分類，主要包含橢圓族Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)兩大類，它們用于刻畫不同的數(shù)據(jù)特征，其中橢圓族Copula函數(shù)具有尾部對(duì)稱的特點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的輪廓圖如下圖1所示。

阿基米德族Copula函數(shù)尾部具有非對(duì)稱性的特點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的輪廓圖如下圖2所示。

因此對(duì)于不同的數(shù)據(jù)特征，要選用恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)類型進(jìn)行刻畫，這是R藤的模型建立過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)。

Bedford & Cooke[4]于1999年提出，可以采用樹的結(jié)構(gòu)方式來(lái)直觀的描述變量間的連接形式。其中用節(jié)點(diǎn)來(lái)表示變量，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的連線表示的是所選擇的Copula函數(shù)類型。不同的連接方式得到不同結(jié)構(gòu)的樹，把這些樹叫作規(guī)則藤，即R藤。R藤表現(xiàn)形式不按照一定的規(guī)則對(duì)節(jié)點(diǎn)間的位置關(guān)系進(jìn)行排序，為了更加直觀的進(jìn)行說(shuō)明，以一個(gè)4維變量為例，給出其中一種類型的R藤的表現(xiàn)形式。

對(duì)上式中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，主要采用分兩步極大似然估計(jì)的方法，首先，對(duì)邊緣分布函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)，其次將邊緣分布的參數(shù)估計(jì)結(jié)果帶回，再利用極大似然估計(jì)對(duì)聯(lián)合分布函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2 基于貪婪算法的模型選擇

2013年，Dissman等人提出了一類處理高維離散型數(shù)據(jù)的貪婪算法[5]的方法，受該方法的啟發(fā)，將該方法應(yīng)用到數(shù)據(jù)為連續(xù)型的形勢(shì)下，該算法的基本步驟如下。

1）估計(jì)邊緣分布函數(shù)的參數(shù)

2） 從低階節(jié)點(diǎn)出發(fā)，分別計(jì)算低階節(jié)點(diǎn)涉及的所有的Copula對(duì)類型及參數(shù)值，進(jìn)而以修正的赤池信息準(zhǔn)則mAIC（modify Akaike Information Criterion）為判別標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步篩選出節(jié)點(diǎn)間所有可能的結(jié)合方式當(dāng)中最優(yōu)的模型，再以上述最優(yōu)模型的節(jié)點(diǎn)連接方式所得到的兩兩Copula對(duì)為下一步的起點(diǎn)。

3） 重復(fù)上述過(guò)程，直至將第[n-1]棵樹的相關(guān)節(jié)點(diǎn)間的結(jié)合方式及每條邊對(duì)應(yīng)的Copula對(duì)類型確定。

3 實(shí)例分析

通過(guò)上述分析可知，Copula函數(shù)主要是用于對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的，當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)較多時(shí)，單一的考慮每個(gè)指標(biāo)的變化規(guī)律不能夠很好的刻畫實(shí)際問(wèn)題，因此可以通過(guò)Copula函數(shù)來(lái)考慮不同指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系。陜西省城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)結(jié)構(gòu)由8個(gè)指標(biāo)組成，那么除了單一的研究每年指標(biāo)的變化規(guī)律外，觀察不同指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系是十分具有價(jià)值的。因此本文選取陜西省2009年至2018年的城鎮(zhèn)居民消費(fèi)數(shù)據(jù)，其中包含如下8個(gè)指標(biāo)。

各個(gè)指標(biāo)是如何發(fā)展的，通過(guò)如下變化趨勢(shì)圖能夠直觀的得出結(jié)果。

從圖4只能大致看出各項(xiàng)指標(biāo)的發(fā)展趨勢(shì)以及發(fā)展趨勢(shì)的強(qiáng)度，但是具體不同指標(biāo)之間是否有相關(guān)關(guān)系，值得進(jìn)一步研究。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)觀察不難發(fā)現(xiàn)，指標(biāo)的個(gè)數(shù)較多，且數(shù)據(jù)大多呈現(xiàn)出不對(duì)稱的特征，因此采用本文所建立的處理高維數(shù)據(jù)的Copula函數(shù)模型是極具優(yōu)勢(shì)的。為了更加全面的分析各指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系，將年份也作為一個(gè)變量進(jìn)行研究，同時(shí)對(duì)9個(gè)變量進(jìn)行分析，通過(guò)貪婪算法對(duì)R藤的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇，所得到的結(jié)果如下圖5所示。

圖5為通過(guò)貪婪算法對(duì)Copula建模方法下的R藤的選擇結(jié)果，本文主要研究第一層樹，即對(duì)不同變量間的關(guān)系進(jìn)行刻畫。其中圖的左下方描述的是所選用的Copula函數(shù)擬合出的輪廓圖，從圖上可以看出，指標(biāo)衣著與醫(yī)療保健、交通通訊與文教娛樂與通訊等指標(biāo)對(duì)之間呈現(xiàn)出較強(qiáng)的尾部對(duì)稱性，并且從輪廓圖的形狀上來(lái)看，越扁的說(shuō)明兩個(gè)指標(biāo)的相關(guān)性越強(qiáng)。圖的右上方這些數(shù)字刻畫了每?jī)蓚€(gè)變量間的相關(guān)性強(qiáng)弱，相關(guān)性越強(qiáng)這個(gè)紅色的字體越大并且對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越弱，對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值越接近于0。為了更加直觀的得出不同指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系，給出具體數(shù)值見表2。

表2 詳細(xì)地給出了每?jī)蓚€(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系結(jié)果，由表中數(shù)據(jù)易得，（1）變量1年份與任意指標(biāo)之間都具有較高的相關(guān)性，尤其是與食品和衣著這兩個(gè)變量，呈現(xiàn)出較高的正相關(guān)性，說(shuō)明人們的生活水平在不斷提高，大家對(duì)衣著和食品方面的支出越來(lái)越大。（2）食品與家庭設(shè)備及服務(wù)這兩項(xiàng)指標(biāo)之間呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)性，且kendall [τ]值為-0.63，說(shuō)明相關(guān)程度較高;并且衣著與家庭設(shè)備及服務(wù)這兩項(xiàng)指標(biāo)也呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)性，說(shuō)明家庭設(shè)備及服務(wù)該指標(biāo)的增長(zhǎng)速度與它們之間是呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系的。（3）醫(yī)療保健和交通通訊、文化娛樂及服務(wù)以及雜項(xiàng)商品及服務(wù)、醫(yī)療保健與文教娛樂及服務(wù)等等，它們之間都呈現(xiàn)出較高的正相關(guān)性，相關(guān)性都較強(qiáng)。（4）觀察不難發(fā)現(xiàn)，居住這項(xiàng)指標(biāo)與各指標(biāo)間的關(guān)系均不是太強(qiáng)，但是它的增長(zhǎng)幅度從數(shù)據(jù)中可以看出，具有較大的增長(zhǎng)幅度，說(shuō)明該項(xiàng)指標(biāo)不受其他因素的影響，自身的漲幅較大，說(shuō)明大家對(duì)居住越來(lái)越重視。

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