應(yīng)用波像差理論計(jì)算Kirkpatrick-Baez系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)

（上海大學(xué) 精密儀器及機(jī)械系，上海 200072）

引言

當(dāng)X 射線在大角度掠入射的條件下照射光滑的元件表面時(shí)，會(huì)發(fā)生反射率驟增并產(chǎn)生全外反射現(xiàn)象[1]，KB（Kirkpatrick-Baez）系統(tǒng)便是基于此原理發(fā)展而成。該系統(tǒng)由2個(gè)主平面互相正交的球面鏡元件組成，作為軟X 射線真空紫外（XUV）正交光學(xué)系統(tǒng)的重要應(yīng)用之一[2]，近年來(lái)廣泛應(yīng)用于激光等離子體診斷技術(shù)領(lǐng)域。

KB系統(tǒng)成像特點(diǎn)是物方射出的光束以極大入射角度（幾乎達(dá)到90°）掠入射至元件表面，光束經(jīng)過(guò)整個(gè)KB系統(tǒng)后，其光束的聚焦位置在弧矢方向和子午方向上完全不重合，波陣面形也嚴(yán)重偏離球面，具備平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的特性。極大角度掠入射系統(tǒng)的像差非常嚴(yán)重，傳統(tǒng)的光學(xué)理論及賽德?tīng)栂癫罘治鼍鶡o(wú)法適用于該系統(tǒng)[3-7]。

上海大學(xué)呂麗軍教授研究了平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)波像差理論，該理論可應(yīng)用于一般折、反射光學(xué)系統(tǒng)光束非常入射情況下的波像差分析，被靈活應(yīng)用于大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)及非球面鏡的研究中[8]。該理論為KB系統(tǒng)提供了一種波像差計(jì)算方法，不必應(yīng)用抽樣光線計(jì)算方法便可獲得出瞳面上的波像差系數(shù)分布[9-10]。KB系統(tǒng)擁有極小視場(chǎng)、極小孔徑、極大角度掠入射等特性，因此運(yùn)用三階像差理論進(jìn)行分析具有令人滿意的計(jì)算結(jié)果。本文應(yīng)用呂麗軍的像差理論和OTF 自相關(guān)計(jì)算法，采用8節(jié)點(diǎn)Gauss-Legendre 積分法求解自相關(guān)積分，導(dǎo)出KB系統(tǒng)物理OTF的自相關(guān)積分表達(dá)式[11]，對(duì)此類(lèi)光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化起到指導(dǎo)作用。

1 波像差理論

1.1 KB系統(tǒng)波像差表達(dá)式

呂麗軍發(fā)展的一維視場(chǎng)光源的平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)三階像差理論提供了適用于包含各種面形的反射鏡光學(xué)系統(tǒng)像差計(jì)算方法。該理論將系統(tǒng)作為整體來(lái)分析，提出了以超環(huán)面[9]定義參考波陣面，從而能夠精準(zhǔn)記錄KB系統(tǒng)子午面和弧矢面內(nèi)完全不一致的聚焦位置，適合分析KB系統(tǒng)這類(lèi)光學(xué)元件在子午和弧矢平面內(nèi)聚焦有嚴(yán)重耦合作用的光學(xué)系統(tǒng)的像差，且能夠?yàn)镵B系統(tǒng)的各類(lèi)像差建立獨(dú)立的解析表達(dá)式，KB系統(tǒng)原理如圖1所示。

圖1 雙元件球面KB系統(tǒng)的理想光路圖Fig.1 Optical path of KB system with double-element spherical surface

光學(xué)系統(tǒng)總波像差是光學(xué)系統(tǒng)中各個(gè)光學(xué)元件的波像差之和[9]。KB系統(tǒng)的四階波像差可表示為[12]

式中：A、B、C為KB系統(tǒng)孔徑光線在元件1出射波陣面和元件2出射波陣面之間的坐標(biāo)傳輸方程參數(shù)，其中，

（3）式中，各參量的物理意義及部分參數(shù)值參見(jiàn)表1和圖2所示。表1中包含的符號(hào)所代表的物理意義和相應(yīng)的KB系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，適用于本文研究的雙元件球面KB系統(tǒng)[13]。

表1 本文研究KB系統(tǒng)的光學(xué)參數(shù)及釋義Table1 Optical parameters and explanation of KB system

對(duì)任何光學(xué)系統(tǒng)而言，求解波像差都需要光學(xué)系統(tǒng)的基本參數(shù)，傳統(tǒng)共軸光學(xué)系統(tǒng)是基于高斯光學(xué)定義其主要參數(shù)[14]，但對(duì)于KB系統(tǒng)，這些傳統(tǒng)光學(xué)理論并不適用于特殊光學(xué)系統(tǒng)，本文采用平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的二階波像差來(lái)定義光學(xué)系統(tǒng)的基本參數(shù)[15]。對(duì)于表1中的rm′1以及rs2等未知參數(shù)，可應(yīng)用KB系統(tǒng)的二階波像差w200=0以及w020=0來(lái)確定，即：

圖2 雙元件球面KB系統(tǒng)的二維平面光學(xué)示意圖Fig.2 2D planar optical schematic of KB system with double-element spherical surface

其中c2,0及c0,2為反射鏡元件的面形系數(shù)[9]，即：

式中：R為光學(xué)元件主半徑；ρ為光學(xué)元件副半徑，對(duì)球面鏡而言ρ=R。由表1中R1=R2=9 700 mm，結(jié)合（4）式、（5）式可得互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系式為

1.2 總波像差表達(dá)式

綜合（2）～（8）式，KB系統(tǒng)子午和弧矢方向上的波像差總表達(dá)式可由（2）式進(jìn)一步展開(kāi)為

2 光學(xué)傳遞函數(shù)計(jì)算

2.1 出瞳參數(shù)計(jì)算

如圖1所示，由于KB系統(tǒng)的元件為矩形球面鏡，光束以極大角度掠入射經(jīng)過(guò)該系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生的嚴(yán)重偏離與子午弧矢焦距的顯著差異，使光束在最后一個(gè)元件出射的投影形狀可視為一條狹長(zhǎng)的矩形。按照線性幾何關(guān)系，在KB系統(tǒng)第2塊元件，即最后一塊元件投影的矩形長(zhǎng)和寬為

式中：h為孔徑光闌直徑，對(duì)KB系統(tǒng)而言孔徑光闌與元件表面重合，故h等于光學(xué)元件的幾何尺寸；d1為孔徑光闌到最后一個(gè)元件的距離。由于KB系統(tǒng)的孔徑光闌處于M2 元件的出射表面，所以d1=0。

2.2 KB系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)表達(dá)式

本文采用自相關(guān)法計(jì)算光學(xué)傳遞函數(shù)[16]。同一般光學(xué)系統(tǒng)不同，KB系統(tǒng)的光源并非可見(jiàn)光而是X 射線，本文將KB系統(tǒng)視為單色光光學(xué)系統(tǒng)處理。對(duì)于波長(zhǎng)為λ的KB系統(tǒng)，子午方向和弧矢方向的像方空間頻率分別為υm和υs，則子午和弧矢方向上的光學(xué)傳遞函數(shù)分別為[17]

式中：系數(shù)k=2π/λ；D為出瞳面積；S為出瞳投影在子午和弧矢方向分別偏移了和之后產(chǎn)生重疊的區(qū)域[18]，如圖3所示；Wm(x,y)和Ws(x,y)分別對(duì)應(yīng)KB系統(tǒng)的子午和弧矢方向上的波像差。

圖3 光學(xué)傳遞函數(shù)的積分區(qū)域Fig.3 Integral region of optical transfer function

2.3 積分值的處理

（11）式和（12）式的被積函數(shù)為復(fù)函數(shù)，且包含e指數(shù)的高次項(xiàng)。對(duì)該類(lèi)函數(shù)直接積分無(wú)法得到結(jié)果，本文使用Gauss-Legendre數(shù)值積分法對(duì)其進(jìn)行求解。與其他數(shù)值積分方法相比，該積分法計(jì)算速度稍慢，但精度高，是一種較好的處理光學(xué)傳遞函數(shù)的方法[19]。Gauss-Legendre 求積公式為

式中：N是節(jié)點(diǎn)數(shù)；wN,k是不同節(jié)點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)；節(jié)點(diǎn)橫坐標(biāo)xN,k滿足關(guān)系：

節(jié)點(diǎn)數(shù)N取的越大，求積越精確，計(jì)算時(shí)間也相應(yīng)變長(zhǎng)。本文取節(jié)點(diǎn)數(shù)N=8，各節(jié)點(diǎn)t8,k及相應(yīng)的權(quán)值w8,k由表2給出[13]。

表2 Gauss-Legendre 求積公式節(jié)點(diǎn)和權(quán)值Table2 Nodes and weights of Gauss-Legendre quadrature formula

（14）式中d和c分別是KB系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)的自相關(guān)積分式（11）和式（12）二重積分內(nèi)外層積分的上、下限。對(duì)自相關(guān)積分式應(yīng)用Gauss-Legendre求積公式分別進(jìn)行運(yùn)算處理，從而得到KB系統(tǒng)子午面和弧矢面2個(gè)正交平面各自的MTF。

3 數(shù)值驗(yàn)證

3.1 本文方法與Zemax的結(jié)果對(duì)比

本文以文獻(xiàn)[13]中的KB系統(tǒng)（參數(shù)見(jiàn)表1）為例，使用Zemax OpticStudio 對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真，并分析了該系統(tǒng)的點(diǎn)列圖以及MTF，將結(jié)果與本文得到的MTF 導(dǎo)入計(jì)算出的點(diǎn)列圖進(jìn)行對(duì)比。點(diǎn)列圖是評(píng)價(jià)KB系統(tǒng)成像性能的傳統(tǒng)方法，但該方法只具備定性分析的能力，僅能用于評(píng)價(jià)，不能用于KB系統(tǒng)元件及結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

圖4為KB系統(tǒng)理想安裝狀態(tài)下不受離焦像差影響的中心視場(chǎng)點(diǎn)列圖成像對(duì)比結(jié)果。從圖4可以看出，兩種方法得出的點(diǎn)列圖幾何尺寸均約為70μm ×80μm級(jí)別。兩種方法的點(diǎn)列圖在尺寸和相似度上高度一致。

圖4 KB系統(tǒng)點(diǎn)列圖對(duì)比Fig.4 Comparison of KB system point diagram

對(duì)點(diǎn)列圖放大觀察時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩者之間仍然存在細(xì)微的差異，產(chǎn)生的原因在于：

1） 三階像差理論計(jì)算過(guò)程中無(wú)法考慮更高階的像差及衍生像差帶來(lái)的誤差。盡管高階像差所導(dǎo)致的誤差不足以影響KB系統(tǒng)的像質(zhì)評(píng)價(jià)，但在圖像對(duì)比上差異仍會(huì)較為直觀地體現(xiàn)出來(lái)。

2） 兩種軟件得出點(diǎn)列圖的算法不同。

圖5為本文方法計(jì)算的KB系統(tǒng)MTF曲線與Zemax模擬得到的MTF對(duì)比結(jié)果。由圖5可以看出，兩圖曲線的趨勢(shì)及線形吻合良好，產(chǎn)生差異的主要因素是應(yīng)用平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)三階像差理論時(shí)，對(duì)孔徑光線在元件出射波陣面與光學(xué)系統(tǒng)的參考坐標(biāo)間以線性傳遞為基準(zhǔn)，無(wú)法考慮非線性傳遞的貢獻(xiàn)量；次要因素是Zemax 無(wú)法為光學(xué)系統(tǒng)設(shè)置二維光源，這是無(wú)法避免的問(wèn)題。

圖5 MTF曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of MTF curves

對(duì)比結(jié)果表明，通過(guò)平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)三階像差理論來(lái)計(jì)算KB系統(tǒng)的MTF曲線，并以此分析其成像性能完全具備可行性，而且能夠滿足一定的精度要求。

圖5縱坐標(biāo)為光學(xué)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)值，越接近1表明成像品質(zhì)越優(yōu)秀，橫坐標(biāo)表示空間頻率，為顯微鏡觀察對(duì)象的分辨率級(jí)別，也就是1 mm內(nèi)有多少個(gè)觀察周期。傳統(tǒng)的KB系統(tǒng)分辨率測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，使用了線寬為6μm的金屬網(wǎng)格為參照，根據(jù)使用KB 顯微鏡系統(tǒng)所觀察到的網(wǎng)格圖像的清晰度來(lái)判斷KB系統(tǒng)的成像性能，本文的方法則將其量化為曲線圖，更為直觀地體現(xiàn)了KB系統(tǒng)在某一空間頻率下的MTF值，以MTF值的大小來(lái)判斷KB系統(tǒng)是否在該分辨率級(jí)別下依然能清晰成像。

3.2 KB系統(tǒng)的單項(xiàng)像差MTF曲線及分析

應(yīng)用平面對(duì)稱三階像差理論對(duì)KB系統(tǒng)進(jìn)行像差分析的優(yōu)越性在于可以得到光學(xué)系統(tǒng)的單項(xiàng)像差。本文計(jì)算并繪制出KB系統(tǒng)兩項(xiàng)主要的單項(xiàng)波像差作用的調(diào)制傳遞函數(shù)，球差單項(xiàng)像差MTF 如圖6所示，彗差單項(xiàng)像差MTF 如圖7所示。通過(guò)計(jì)算KB系統(tǒng)的單項(xiàng)調(diào)制傳遞函數(shù)來(lái)分析KB系統(tǒng)的像差主導(dǎo)因素，為KB系統(tǒng)的像質(zhì)優(yōu)化提供一種新思路。

圖6 KB系統(tǒng)球差單項(xiàng)像差MTFFig.6 Spherical aberration MTF of KB system

圖7 KB系統(tǒng)彗差單項(xiàng)像差MTFFig.7 Coma aberration MTF of KB system

通過(guò)圖5～7之間的對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，該KB系統(tǒng)的球差調(diào)制傳遞函數(shù)值相對(duì)較低，隨空間頻率變化的下降速度和下降幅度都劣于KB系統(tǒng)的總調(diào)制傳遞函數(shù)，而彗差調(diào)制傳遞函數(shù)值則相對(duì)較好。實(shí)際上，這一結(jié)果通過(guò)KB系統(tǒng)總波像差表達(dá)式（9）式已經(jīng)體現(xiàn)，由于彗差項(xiàng)的乘積因子帶有視場(chǎng)角v1和u1，KB系統(tǒng)視場(chǎng)角的值通常非常小，因此彗差對(duì)波像差的貢獻(xiàn)也就遠(yuǎn)小于球差的貢獻(xiàn)。由于球差在空間頻率20 lp/mm 附近的調(diào)制值已經(jīng)極低，以本文的理論方法可以推斷，按照分辨率=1/空間頻率(單位：lp/mm)的計(jì)算規(guī)則，該系統(tǒng)的分辨率可以達(dá)到50μm級(jí)別。若需要在更高空間分辨率的條件下工作，該系統(tǒng)則不能勝任。

目前，使用非球面鏡設(shè)計(jì)是進(jìn)行球差校正的重要手段，因此對(duì)該KB系統(tǒng)的光學(xué)元件進(jìn)行優(yōu)化可以采用非球面設(shè)計(jì)，從而校正球差使其分辨率進(jìn)一步提高。本文重點(diǎn)在于提出一種以波像差理論計(jì)算KB系統(tǒng)MTF曲線的方法，對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)如何進(jìn)一步進(jìn)行，本文不便贅述。

4 結(jié)論

基于傳統(tǒng)光學(xué)MTF函數(shù)的自相關(guān)積分方法，結(jié)合平面對(duì)稱光學(xué)三階像差理論計(jì)算了KB 光學(xué)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)。這種方法通過(guò)解析表達(dá)式直接求取元件的波像差，與傳統(tǒng)的光線抽樣以及光程差擬合法相比，其優(yōu)勢(shì)在于該方法不僅能定性，更能定量分析光學(xué)元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)MTF的影響，還可以單獨(dú)分析各單項(xiàng)像差對(duì)MTF的貢獻(xiàn)分布。通過(guò)該方法可以較好地對(duì)KB系統(tǒng)的成像質(zhì)量進(jìn)行分析，并進(jìn)一步優(yōu)化系統(tǒng)元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，為X 射線光學(xué)正交系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。